數學分析選講教學的探究

趙淑波 崔仁浩 劉萍

[摘 要] 數學分析選講教學的重心在于如何讓學生“學解”， 而不僅是教師在“解”;培養學生如何“數學地思維”。為此，教學中，要引導學生學會“構造”、一題多解、多題一解、深挖核心概念和定理、解題回顧等，學習數學解題主要是有意義的發現學習。

[關鍵詞] 數學分析;教學;解題;構造

[中圖分類號] G642 ?? [文獻標志碼] A [文章編號] 1008-2549（2020） 01-0107-03

學生們感到數學難學主要原因在于沒有培養好對數學分析的辯證思維、沒有掌握好豐富的數學分析方法。基于分析學掌握的困難性和重要性，加之數學學習必須突出解題練習這個環節分析選講課應運而生， 其是數學分析課的后繼課， 是對分析課的回顧、反思，同時為學生研究生入學考試分析科目的準備起協助作用。學生們對這門課的掌握情況與教師的教學有關，教與學相伴而生，教對學具有引領功效，其作用是不言而喻的。

分析的思維是否跟得上，內容有沒有掌握好，重要的檢驗方式是面對題是否會做，也就是數學分析的解題能力是否培養起來，解數學分析題當然也是解數學題，怎樣解題？通俗說，解題就是在已知與未知之間建橋;在新知識和舊知識間建立起聯系， 且聯系是非人為的、實質性的.利用已有知識及思維結構，對抽象的形式化思想材料進行加工，且依托思維而完成的。

解題重要，自然解題能力的培養是這門課教學的重中之重. 教學的重心在于以問題為載體培養學生“學解”而不僅是給“解”;教學生如何“數學地思維”。

教學生學解數學分析題就是引導學生學習數學解題，有意義地發現學習，引導學生去探索。

一 引導學生學習“構造”， 是學習解數學分析題，培養學生數學思維的重要手段

分析中關于構造的問題遍布于各章，面對涉及構造性題目，重點研究為什么這樣處理優于講怎樣處理，也就是，著重談為何這樣構造，而不僅是怎么構造。數學解題是一個嘗試過程，不同的嘗試會悟出不同的解決方法。 涉及需要輔助函數、輔助點集等的構造，多數情況，構造不唯一， 多種證明方法引導開闊了同學們的解題思路。同時伴隨著思維的訓練。

實數幾個等價的完備性定理是數學分析的邏輯基礎，其應用有一定難度。這是一道考研真題。設f在[a，b]上連續，f（a）<0，

f（b）>0。 證明： 存在x0∈（a，b）， 使得f（x0）=0且f（x）>0， ■x∈（x0，b]。其證明不管是應用區間套定理還是確界原理，都需要進行構造。

首先引導學生分析：這個題目是極限理論部分關于抽象函數的特殊點的一般存在性問題。閉區間連續函數性質這類題目證明方向是多選完備性定理;選哪個定理，其實幾個定理本質上是等價的，都從不同角度刻畫了實數系的完備性。理論上，能用一個定理解決的，一定也能用其它定理來解決。 形式上的不同又決定了同一個題目應用不同的定理證明難易程度不同。聯想與該題目相關的零點定理的證明首選確界原理、區間套定理。這里我們也不妨先選二者試之。 再引導學生回憶構造法證明存在性問題的常用思路，可先找到可疑點，再驗證真偽。怎么找？假設法，先假設已經找到可疑點，看它所應具備的條件，然后再根據這些條件想辦法構造。

對于證法一：確界原理

分析用確界原理的一般思路是先構造點集，再證確界是所找的點。 要找的點是某點集的上確界，同時又是另點集的下確界， 這就意味著可選的點集不唯一。 怎么構造簡單？假設法，假設最大零點已找到， 其必是零點集的最大數也必是上確界，所以構造的點集不妨就取零點集， 驗證其上確界為最大數，證確界為最大數只需證確界屬于集合即可。

證該問題集合的構造不唯一， 同樣可證出零點集的最大值點也是點集

E={x∈[a，b]：■y∈[x，b]f（y）>0}的下確界，此證法稍麻煩一些。

對于證法二： 區間套定理

引導學生分析：用區間套定理證題的思路是構造區間套，使得套住的點即是所求的點怎么構造？ 思路是由果索因，先假設點已找到，它應滿足上述條件，不管怎么構造，這個點一定是區間套套住的點，現在就分析這個區間套具備的條件，套住的點是零點， 所以區間套中區間必含零點， 且零點右側函數值大于零， 相應的區間右側函數值也應大于零。滿足這兩點構造即可。以上是以構造區間套為例來談如何構造，類似還有構造函數、開覆蓋、構造點列等。

有說法是引導學生學習構造浪費時間，我認為如果稱是為了所謂的教學省時間，就算數學知識可以被動地傳授給學生，但解數學題的各種典型方法、技巧、個性化解題策略和深層次蘊含的思想不可能只靠老師單純講解幾個例題， 然后學生機械模仿老師的解法，就可以獲得的。單純講授的解題方式的培養，容易造成學生只能應付一些模式固定的問題。而難以處理靈活的題目。 真正的解題能力是練出來的，而不是教出來的。學習解題好的方法就是在不斷解題中學習解題，是有意義的發現學習。 學習數學解題就是不斷積累經驗的過程，有經驗的解題人會發現解決數學問題常常就在一念之間，這一念如果被攻破，問題就迎刃而解、水到渠成。比如前面提到的構造問題，區間套的構造，一旦區間套給出問題就攻克，但問題在于，這個構造是別人給出的還是自己獲得的，只有自己點破，才對學習數學解題有意義，只有學習練就這種點石成金之功，才可能實現解題的宗旨。這種功夫基本不是別人教的，而是自己悟出來的。

學習數學解題，是有意義的發現學習，談到發現，就需要學生自己去實踐，實踐出真知。對于實踐而言，學生們已有的解題認知結構就起著決定性的作用，其包括解題知識結構、思維結構和解題元認知結構。具備一個組織良好的數學知識結構是解題者解題的必要前提。 知識結構與知識儲備相聯系。 涉及數學相關的概念、定理等，記憶里的知識被安放得井然有序會對解題有很大的幫助。 這一點數學家波利亞也曾提到。

有兩種方式形成數學的解題知識塊，一種是按照歸類的方式形成。如何歸類，依照問題關鍵事實歸類，常見如判定定理等，由此，我們將題按照解題方法進行歸類，我們稱它為多題一解;另一種方式是對每一類數學問題都盡可能地形成一種或幾種解題思路，由此我們建議一題多解。

二 實現一題多解、多題一解是形成解題知識塊的重要方式，是實現有意義發現學習的基礎

學過的知識自然希望掌握扎實、應用自如。將知識結成塊、形成網是實現這一想法的重要手段，如何結成塊？嘗試一題多解、多題一解。每每遇到問題，將其能解決的各種手段有重點的試之。比如，極限是數學分析研究的工具。以下遞推數列以歐拉常數為極限，設x0=1， xn+1（1+xn）=1（n≥0）。 證明： ■xn存在并求其極限值。證明數列極限存在的常用方法都可以試證之。 極限定義、迫斂性定理、柯西收斂準則、壓縮映像原理、單調有界定理、上下極限定義等多種方法證明。 經驗證，這些方法都可以解決此題。就一個題而言， 可以多種方法處理， 推而廣之，一類問題的解決方案同樣可以多種， 如判定■正項級數收斂的方法：收斂定義;柯西準則;四則運算、可結合性、可交換性;基本定理;判別法：比較、比式、根式、積分、拉貝判別法等，可根據方法和題的特點比較，逐一試之。 啟發學生用多種方法解決， 以幫助學生學會建立解題知識塊。 我們可以分別將各個方法的常見考研題進行歸類，總結用每一類方法的問題的特點以及用每一類方法解題的一般思路和解題步驟。

如可按照同一判定方法將下面積分不等式證明問題歸類

1.設f ″（x）>0，求證 其中為任意正數

■

2.證明，■，其中f在[0，1]上連續，且f （x）>0.

3.設φ在[0，a]上連續，f二階可導，且f ?″（x） ≥0，

■

4. 設f在[0，1]上二階可導，且f ″（x） ≤0，求證

■

其中λ為任意正數。

形成解題知識塊的重要方式是按照歸類的方式形成。

這些題目形式上看似不同，但都可用凸函數、積分不等式性來證明，解題思路相同，我們稱它為多題一解。會做這類題的同時掌握了該證明方法，題是無限的，但方法是有限的，學會用有限的方法解決無限的題，同時有助于形成解題知識塊，這也符合數學學習需要不斷提高運用抽象概況思維方法水平的特點。勢必會收到事半功倍的效果。

當然，強調多題一解、一題多解的同時，方法有所側重更是快速解決問題的必須，很多問題的解決還是有一般規律的，如在應用微分學基本定理證題時，涉及一個函數的函數值與一階導數時，先用拉格朗日中值定理證之，遇到一個函數的函數值與二階及以上導數時，先用泰勒公式處理之，看到兩個函數的函數值與一階導數時，首選柯西中值定理去解決。

為了培養學生的解題能力這個中心，分析選講的教學除了從形式上看，要注意引導學生學會構造，學會一題多解、多題一解，形成解題知識塊。內容上，要注意抓住核心概念與定理這兩個基本點。

三 注意核心定理理解的透徹性是學會解題的關鍵

定理是數學知識的重要組成部分，如果把數學概念比作數學大樹的根，我認為數學定理就是大樹的干，有了樹干才為枝葉更好地輸送養分，使得枝繁葉茂，經常我們可以直接根據概念計算證明，但是根據定理計算證明有時更直接容易。應用定理處理問題，使得解決問題的深度、廣度都擴大了，要想對定理更好地應用必須很好的掌握，如何掌握？深挖掘細體會，比如中值定理結論中形式上最簡單的是Rolle定理的結果，這個定理給出了導函數存在零點的一個充分條件，該定理的已知要求：函數f在閉區間[a，b]上連續， 但我們注意到為得同樣的結論，函數值相等可推廣為極限值相等。即設f在有限區間（a，b）內可導，f（a+0）=f（b-0）=A（A為有限數），則至少存在一點ξ∈（a，b），使得f（ξ）=0。 而且a，b不但可為有限數， 也可為a=-∞或b=+∞或a=-∞同時b=+∞即區間由有限區間可推廣為無窮區間。 而且， 極限A為有限數可推廣為A=+∞或A=-∞。 相應的拉格朗日中值定理與柯西中值定理也可作把函數值換為極限值的推廣等。

還有聯系函數極限與數列極限橋梁的歸結原則：在教科書中是這樣敘述的。設f在U0（x0; δ）上有定義， ■存在■對任何含于U0（x0; δ）且以x0為極限的數列■都存在，并且相等。我們注意定理中條件極限相等是可以去掉的，定理仍然成立。 一方面加深了對定理的理解應用，另一方面也顯現了數學的簡潔性與嚴密性之美。

四 掌握數學分析概念的教學是教好數學分析的前提，同時把握數學概念的本質及應用也是上好選講課的關鍵

有數學分析學習的基礎，分析選講教學重心在于概念、定理的深層次理解及應用上。就概念而言，從思維的形式來看，所有的思維形式都離不開概念，概念是基礎，是數學的細胞，數學分析中的概念是數學分析大廈的基石，是分析中定理與方法的源泉，根據概念證題，伴隨在整個分析學習中，不論是書中定理還是習題證明都離不開它，分析的研究對象是函數、研究工具是極限。要談概念，函數和極限當然是重中之重了，極限的ε-δ、ε-N定義，眾多核心概念依其而存在的，連續、可微、可積、一致收斂、一致連續等等。還包括函數項級數的一致收斂、含參量廣義積分的一致收斂等。談如何學習概念時，經常會提到抓住其本質，那么數學概念的本質屬性是什么呢？一般來說，一個特定數學對象，在一定的條件下，保持不變的性質，就是其本質屬性，而可變的則是非本質屬性。函數是數學分析的研究對象，它的本質屬性是什么呢？函數是一種映射，要理解函數的本質其實質就是弄清映射的本質特征，映射是兩個集合之間滿足隨處且單值定義的對應關系，而函數就是數集到數集上的對應關系，由此我們可知數集到數集上的對應、隨處定義、單值定義是函數的本質特征，是函數不變的性質。

掌握了定義、定理就掌握了基本證題術中的根據定義證題術、根據定理證題術。此外，推廣性命題證題術也是數學分析中常用的一種證題術，它包括仿照法、轉化法、變異法。根據推廣對象的特點可分為：個別向一般的推廣、一維向二維的推廣、離散問題向連續問題的推廣、有限向無限的推廣、有界向無界的推廣等。

五 解題回顧是學習數學分析解題的重要環節

解題回顧從時間順序來說，雖說是數學解題最后環節，卻是解題學習的最關鍵步驟，針對提高學生解題能力而言，回顧解題是最有意義的環節。然而在實際教學實踐中，這一點常被輕視或忽略，進而使學生錯過了更多的獲益機會。我們要清楚教學目的的問題，進行解題教學并不僅僅是求得所謂問題的結果，其真正目的是為了提高學生數學解題的能力，培養學生的創造性品質，而這一教學目的恰恰主要是通過回顧解題的授課來實現的，基于此，經驗豐富的教師總是高度重視解題回顧這一過程的教學，師生一同對解題的最終結果和多種解法進行細致分析，對解題的主要思想和關鍵要素進行簡要概況，幫助學生發現不足，獲取經驗，成為以后解題時聯想的基礎。檢驗解答、討論解法、推廣結果和思維活動反思，構成回顧解題四個方面。

討論解法一題多解、多題一解，這一點前面已闡述，我們著重談一下推廣結果。

推廣的形式多樣，可以是從具體到抽象，從特殊到一般等。

設在內可微， 證明： 在內至少有x（1-x）f ?′（經 -2的一個零點。

注意到：如果記g（x）=x（1-x），則1-2x=g′（x）

推廣到抽象函數情形：

設函數φ，ψ在[a，b]上連續， 在（a，b）內可導，且？漬（x1）= ψ（x2）=0，x1、x2∈（a，b），證明： 在（x1，x2）內至少有？漬′（x）+？漬（x） ？漬′（x）的一個零點。

從兩個推廣到多個函數情形

設函數f在[a，b]上連續， 且

■。 則f在（a，b）內至少有兩個零點。

推廣 設函數f在[a，b]上連續， 且存在非負整數n， 使得

■ 則f在（a，b）內至少有n+1個零點。

簡要地說，回顧的不僅是相關知識、解題方法，還包括開始時怎樣想的，遇到哪些問題，犯過那些錯誤，為什么會出現這些問題，分析對的理由，錯的原因。從而不斷地積累經驗，經過不斷的練習，會總結出自己的處理經驗，就是所稱的解題策略，會指導我們今后學習。同樣是行得通的思路經常是不是唯一。

解題后的回顧為今后學生們的解題積累經驗。 在浩瀚無邊的題海中，學生是爹爹不休地做題，老師是風風火火地講題，有時我們甚至把解題回顧看成是浪費時間。 正如古人所說：工欲善其事，必先利其器，解題回顧可稱是磨礪解題武器的過程，別忘了我們的目標是學會解題，而不是解完所有題，解題回顧起到事半功倍的效果。

總之，不管這門課的教學手段、形式如何，教學的主旨都是為了學生能夠更好地學習，學習不只是本門課程內容，更是要學會學習數學，進行數學學習。所談的數學學習，能夠認為是學生經過取得數學知識經驗，而引發的持續長久行為、能力和傾向變化的過程。要想學會解題，要想掌握好數學分析，是一個綜合能力的培養。 需要注意做的地方很多， 這里我只談了我認為重要的且容易忽略的幾點， 希望和讀者能有共鳴。

參考文獻：

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[4]涂榮豹.數學教學認識論[M].南京：南京師范大學出版社，2003.

（責任編輯：姜海晶）