反演法求小麥面團在凍結溫度范圍內的熱導率

,2,3,2,3,2,3,*

(1.鄭州輕工業大學食品與生物工程學院,河南鄭州 450002;2.河南省食品生產與安全協同創新中心,河南鄭州 450002;3.河南省冷鏈食品質量安全控制重點實驗室,河南鄭州 450002, 4.鄭州思念食品有限公司,河南鄭州 450011)

面團制品(包括面包、饅頭、包子、水餃等)的多個加工都涉及到傳熱,熱物性數據在面制品食品速凍加工中尤為重要[1-2]。食品加工操作的建模和設計都以其熱物性數據為基礎[3],熱導率是其中重要的物理量。了解食品的熱導率可以用來確定食品內部的溫度分布,預測食品熱加工所用時間[4],并篩選出合適的加工工藝。熱物性數據的精準度會直接影響到所建數學模型的精確度[5]。

熱導率的測定方法主要分為兩種:穩態法和瞬態法。穩態法處理簡單、試驗條件容易控制,但是需要較長時間,易引起誤差,從而影響實驗結果[6]。Kulacki等使用單板導熱儀直接測量穩態熱流面包屑和面包皮之間的溫差,并采用傅里葉導熱定律計算導熱系數[7]。瞬態法實驗時間短、測量結果比較準確,是較為常用的測定方法[8],但是該方法實際測量的是一定溫度范圍內的熱導率平均值。Komastu等采用瞬態法中的熱線法測量了發酵面團在0～100 ℃的熱導率[9]。穩態法及瞬態法在面團及其制品熱導率測定中皆有應用,但都各有缺點。反演法是確定熱導率的另一種方法,在一個傳熱過程中,根據食品的初始溫度、邊界條件,確定一個或幾個未知參數的方法,稱為反演導熱問題[10]。解決反演問題的基本原則是使溫度測定值與模型預測值之間的差異達到最小,通常采用非線性最小二乘法表示兩者之間的差異[11]。反演法可以避免上述穩態法和瞬態法的缺點,同時由于所得參數是根據溫度測定結果進行反演的結果,這將有利于在進行正向的模擬計算時給出更接近實測溫度的預測溫度值。反演法在食品加工過程中應用較少。Silva等采用反演法推算蘑菇切片干燥的過程中的熱導率[12]。Martins等通過反演法確定冰凍青豆在解凍過程中的熱導率[13]。

前人大多對面團高溫下的熱導率進行了測定[14-17],但對冷凍溫度范圍內的熱導率研究較少[18-19]。本文首先測定小麥面團的比熱,然后根據面團特定位點的溫度,通過反演計算其熱導率,并進一步建立面團的熱導率與溫度和水分之間的定量關系,為以后實現面團制品冷凍過程的計算機模擬奠定基礎。

1 材料與方法

1.1 材料與設備

河南金苑餃子粉(含水量11.62%、蛋白質11.8%、脂肪1.1%)、食鹽 均購于鄭州市高新區丹尼斯超市。

BN-100L浸漬式速凍機 廣州市寶能機電設備有限公司;Q20差式量熱掃描儀 美國TA公司;AT4508多路溫度測試儀 常州安柏精密儀器有限公司;JA1203電子天平 上海越平科學儀器有限公司。

1.2 面團制備

100 g餃子粉中加入1 g鹽,再分別加入42.55、49.80、57.82 mL水混合制成水分含量(moisture content,即MC)分別為38%、41%、44%的面團,在室溫下靜置1 h,備用。

1.3 面團比熱的測定

使用差式量熱掃描儀采用三步法測定面團的比熱[20]。將稱重后的兩個空坩堝放入差式量熱掃描儀中,首先在40 ℃平衡5 min,然后以10 ℃/min的速率冷卻到-35 ℃;在-35 ℃平衡10 min后,以同樣的速率加熱到40 ℃,由此可以得到基線。再將標準物(鋁)、空盤以同樣的程序運行[21]。最后稱重(10±1) mg的面團放入鋁坩堝中,并用鋁蓋覆蓋密封防止水分散失,以相同程序掃描。由式(1)計算得此面團的比熱[22]。

式(1)

式中,m為示樣品質量(mg),cp為比熱(J/kg· ℃),P為熱流率(J/s),sp為樣品,cal為標樣,bla為空盤。

1.4 面團冷凍過程中的溫度測定

將制備好的面團從圓形鋁筒一端小心塞入,要保證面團內及面團與圓筒壁無空氣,再用插有熱電偶的橡膠塞封緊圓筒兩端,另取一根熱電偶貼在圓筒表面記錄其表面溫度,見圖1。圖1中a、b是測量面團內部中心對稱點左右各1 cm處溫度的熱電偶,此溫度定義為測點溫度;c是測量圓筒表面溫度的熱電偶;d是測量乙醇溫度的熱電偶。

圖1 圓筒熱電偶分布Fig.1 Thermocouple distribution of cylinder

將圓筒及熱電偶組裝完成后放在室溫下平衡,待熱電偶溫度與室內溫度基本平衡后,放進浸漬式速凍機的乙醇池內,并采用多路溫度測試儀立即記錄溫度隨時間的變化。當測點溫度達到-30 ℃時停止記錄。由于鋁的熱導率比面團的高很多,且筒壁很薄,將測得的鋁銅表面溫度近似地認為等于面團圓柱表面溫度。

1.5 面團密度及橡膠塞參數的確定

面團密度的測量：首先向量筒中放入20 mL的水,取適量面團稱量后,放入量筒,使其完全浸入水中,記錄體積,最后計算出面團密度。采用相同方法測定橡膠塞密度。

胡少枝等通過熱線法對幾種橡膠制品的熱導率進行測定,發現多種橡膠制品的熱導率在(0.191±0.1) W/m·k之間[23]。周貴斌等通過DSC法對各種混煉膠比熱進行了測量,發現在50～120 ℃溫度范圍,混煉膠的比熱為1300～2100 J/kg· ℃[24]。本研究中選定橡膠塞熱導率為0.1 W/m·k、比熱為1700 J/kg· ℃。

1.6 模型建立

假設圓筒中塞滿面團,橡膠塞與面團間無縫隙。將試驗所用圓筒看作質地均勻的圓柱體,取1/4建立幾何模型作為研究對象。認為降溫時面團及橡膠中的熱量傳遞遵循傅里葉第二導熱定律[25]:

式(2)

式中,T為溫度(K),r為圓筒半徑(m),ρ為密度(kg/m3),λ為導熱系數(W/m·k),Cp為比熱(J/kg· ℃);t為時間(min)。

1.7 反演計算

采用COMSOL軟件進行反演計算。先建立圓筒中心對稱二維幾何模型,然后利用其固體傳熱模塊對傳熱過程進行分析計算。將橡膠塞各參數輸入,并通過內插函數將面團比熱、測點溫度、表面溫度數據導入,用分段函數式(3)表示面團的熱導率隨溫度的變化[26]。

式(3)

式中,k為熱導率(W/m·k),Tsf為初始凍結點溫度(K),T為面團測點溫度(K);kf、b、c、d為待定模型參數。

采用優化求解器,在表面溫度、面團測點溫度、面團比熱C輸入的情況下,將kf、b、c、d四個參數確定一個大概的值并設定初始值上下限,通過式(4)求出偏差平方和(SS),SS最小時計算出的參數即為各參數最佳值[27]。

式(4)

式中,Tobs為測量的面團測點溫度,Tpred為預測的面團測點溫度。

2 結果與討論

2.1 不同水分含量面團的比熱及校正

不同水分面團的比熱隨溫度的變化見圖2。水分結冰前,比熱隨溫度的變化很小,相變發生時比熱隨溫度變化幅度較大。在凍結溫度范圍內,由于面團中水分結冰釋放出潛熱,使得表觀比熱大幅度上升;隨水分凍結的完成,表觀比熱在達到最大值后驟降。面團的比熱隨著其含水量的增加而增加,這是因為水的比熱大于干物質的比熱,面團中的水分越多,單位時間內放出的熱量也就越多。Xu等通過差式量熱掃描法測定了面團在冷凍溫度范圍的表觀比熱,其結果與本文的大致相同[19]。圖2中,MC38%面團比熱、MC41%面團比熱、M44%面團比熱分別表示小麥面團水分含量為38%、41%、44%時面團比熱隨溫度變化的曲線;MC44%面團比熱峰形校正表示水分含量為44%面團峰形校正后比熱隨溫度變化的曲線;MC44%面團比熱冰點校正表示水分含量為44%面團峰形校正后比熱隨溫度變化的曲線。

圖2 溫度對含水量38%、41%、44% 面團比熱的影響及44%面團比熱校正Fig.2 Effect of temperature on specific heat of dough with water content of 38%,41%,44% and correction of specific heat of dough with moisture content of 44%

對于比熱曲線的校正分為兩步,第一步為峰形校正,第二步為冰點校正。因為DSC測定過程中面團內部傳熱時間長,造成面團內外溫差較大,導致比熱曲線峰形向右變形(見圖2),此時需要對比熱曲線進行校正[28]。校正公式見式(5)。

式(5)

式中,C′p(T)為DSC測定的比熱(J·kg-1· ℃-1),Cp(T)為校正之后的比熱(J·kg-1· ℃-1),τ為時間常數。τ確定的依據是要確保原比熱曲線下面積與校正后比熱曲線下面積相等。

為便于觀察,圖2僅給出了對含水量44%面團比熱的峰形校正結果,其時間常數τ=7.1。校正之后的比熱曲線峰值更高,且在達到初始凍結點后比熱下降趨勢更陡,這與Wang等的結果相一致[29]。

冰點校正:由于初始凍結點發生偏移,根據浸漬凍結過程中測得的面團冷凍曲線確定初始凍結點,對達到冰點后比熱驟降段和比熱大致平衡段做切線,切線的焦點即為初始凍結點[30],將DSC曲線向左平移使曲線初始凍結點與根據冷凍曲線的確定的初始凍結點重合。圖2中含水量44%面團比熱冰點校正是對峰形校正進行冰點校正的結果,將曲線整體向左平移了3.5 ℃。含水量38%面團曲線需向左平移5.6 ℃;含水量41%面團曲線需向左平移4.4 ℃。經過兩次校正后的比熱用于后續的熱導率反演計算。

2.2 不同含水量面團浸漬凍結過程中的溫度變化

對于不同水分含量的面團進行浸漬凍結,冷凍曲線見圖3。由圖3可以看出,面團的測點溫度先緩慢下降,通過滯后期后溫度下降速度加快;在達到冰點時,溫度下降速度大幅度降低,穿過最大冰晶生成帶后,溫度下降速度劇增。

由圖3可看出,隨面團水分的增加,面團的測點溫度降溫速率反而變慢,同時冰點升高。38%含水量面團的溫度下降最快,穿越最大冰晶生成帶及達到-30 ℃所用時間最少。其主要原因是,水的比熱比面團干物質的大,高水分面團的比熱較大,冷凍過程中需要釋放出的熱量變較多,也就需要更長的冷凍時間。

采用反演法計算熱導率時需要樣品的表面溫度作為輸入參數。在圓筒剛被放入浸漬冷凍機內時,表面溫度陡然下降,到達-5 ℃時開始緩慢下降,同時觀察到表面溫度隨著圓筒內面團水分的增加而略有上升。

圖3 面團浸漬凍結時測點溫度 及圓筒表面溫度隨時間的變化Fig.3 Change of specified-point and cylinder surface temperature with time at dough immersing and freezing注：MC38%-測點、MC41%-測點、M44%-測點分別表示小麥面團水分含量為38%、41%、44%時的測點溫度曲線;MC38%-表面、MC41%表面、MC 44%表面分別表示小麥面團水分含量為38%、41%、44%時的表面溫度。

2.3 反演法求不同含水量面團的熱導率

通過COMSOL軟件模擬計算不同時間面團的測點溫度,以SS最小為優化目標,可以得到式(3)中四個參數kf、b、c、d的值,見表1。由式(3)計算出不同含水量面團在-30～30 ℃的熱導率,見圖4。在溫度到達初始凍結點前,面團的熱導率隨溫度的降低而緩慢下降;到達初始凍結點后,面團的熱導率隨溫度的降低而升高。在冷凍范圍內,由于冰的質量分數增加,熱導率隨著溫度的降低而增加。熱導率也取決于含水量,隨著面團含水量的增加而升高。

表1 式(3)中的參數值Table 1 Values of some parameters in Eq.(3)

由表1可以看出,隨著面團水分的增加,kf、d的值隨之增加,參數b、c的值反而減小,雖然c值隨水分增加變化較大,但對反演計算結果影響不大,所以c值采用平均值,同時分別就kf、b、d與水分間關系做線性回歸,所得方程分別為:

kf=0.5667x+0.146

式(6)

b=-0.1x+0.0228

式(7)

d=0.5667x+0.146

式(8)

將所得到的線性方程代入式(3),可以計算不同水分面團的熱導率隨溫度的變化,見圖4中曲線a、b、c。圖4可以看出,如此計算出的熱導率與采用原參數計算出的熱導率相比,只有在冷凍范圍內初始凍結點處略有不同。為此,可以采用式(3)結合式(6)～式(8)綜合表示水分含量和溫度對面團冷凍過程中熱導率的影響。

圖4 面團不同水分及參數的熱導率變化Fig.4 The change in thermal conductivity of dough at different moisture and parameters

Rask等測定了不同含水量面團在不同溫度下的熱導率,其中含水量43.5%面團在-43.5、-22、23 ℃時的熱導率分別為0.92、0.88、0.46 W/m·k;含水量46.1%的面團在-38、19 ℃的熱導率分別為1.03、0.5 W/m·k[31]。Kumcuoglu等采用針狀探針法測定了土耳其傳統發酵面團在25～50 ℃溫度范圍內的熱導率,將冷凍范圍內面團熱導率確定在0.4～2.0 W/m·k,0～50 ℃的熱導率確定在0.4～0.8 W/m·k之間,這些結果與本實驗測得的結果大致相同[18]。

圖5依次是含水量38%、41%、44%面團浸漬凍結時的測點溫度實測值及用COMSOL軟件模擬計算的溫度值。可以看出實驗結果與模擬的溫度變化趨勢基本一致,這說明建立的模型是可靠的,反演計算出的熱導率是可信的。在冰點上,溫度模擬結果與實驗結果相差很小,冰點下的曲線略有差異,其中含水量38%面團較為明顯。模擬結果誤差可能是由于速凍機乙醇池內溫度不均勻導致的。

圖5 含水量38%、41%、44%面團的測點溫度及模擬溫度Fig.5 The specified-point and simulated temperature of dough with the water content of 38%,41% and 44%

2.4 模型對橡皮塞參數的敏感性分析

由于本模型中所采用的橡膠塞比熱及熱導率均為前人的測定值。為此,實驗就模型對橡皮塞參數的敏感性進行了分析。圖6是橡皮塞熱導率、比熱分別變化±10%后模擬計算出的面團溫度。由圖6可以看出,熱導率、比熱上下波動10%對凍結曲線幾乎無影響。由此可以推斷出,橡膠塞比熱及熱導率的選定對面團測點溫度的影響較小。

圖6 橡皮塞比熱及熱導率上下波動10% 對38%水分面團測點溫度曲線的影響Fig.6 The influence of 10% up and down fluctuation of rubber stopper specific heat and thermal conductivity on specified-point temperature curve of dough with the water content of 38%

3 結論

隨面團含水量的增高,面團測點溫度曲線下降趨勢變緩;同時冰點升高,凍結時間變長。在冷凍范圍內,三種含水量面團的比熱隨其含水量的增加而增加,隨著溫度的降低,面團的熱導率逐漸降低,但是當面團的溫度剛降至冰點后,面團的熱導率急劇上升,然后又呈緩慢上升趨勢;相同溫度下,面團水分越高熱導率越大。建立的面團模型可以同時預測水分和溫度對熱導率的影響,這可為速凍面制品在冷凍范圍內的加工提供基礎數據。