基于同步的有向相互依存網絡骨干結構識別

陳潔怡,涂俐蘭,余 東

(武漢科技大學冶金工業過程系統科學湖北省重點實驗室,湖北武漢 430065)

(武漢科技大學理學院,湖北武漢 430065)

1 引言

2008 年美國的關鍵基礎設施報告指出“理解跨部門基礎設施系統之間的相互依賴和相互作用, 對于評估整個關鍵基礎設施系統的恢復能力或魯棒性至關重要”[1].為了更好地理解現今社會中的重要的基礎設施系統之間的相互作用, Buldyrev 等人[2]首次在數學的框架下研究了兩個相互依賴的設施系統的協調性與級聯失效.他們的分析方法主要基于單網絡滲流和單網絡結構, 從而打開了利用復雜網絡工具研究相互依賴設施系統的大門.

相互依存網絡是由若干不同性質、不同尺度的復雜網絡由相互依存關系耦合成的網絡,所以它仍然可看作是復雜網絡, 是一種網絡中的網絡.在過去的二十年里, 復雜網絡科學中的相互依賴、相互作用研究領域吸引了大批科技工作者的關注[3?13].不只是因為這種相互依賴關系存在于基礎設施系統中, 它還廣泛存在于社會、經濟、工程和生物系統中.網絡的相互作用關系由網絡的拓撲結構來表達.網絡的結構決定了網絡的功能.相互依存網絡的結構包括子網絡結構和骨干結構(即子網間結構).相比較而言, 骨干結構扮演著更重要的角色.一個自然的且帶有挑戰性的問題是: 對于相互依存網絡, 它的骨干結構是怎樣的, 如何識別, 如何挖掘？

結構信息的挖掘問題一直是復雜網絡科學中的熱點問題.它主要涉及兩個問題: 一是結構預測問題, 即從現有觀察中出發, 挖掘網絡中的缺失信息, 進行網絡結構演化預測; 二是從動力學表征挖掘網絡結構.迄今為止, 網絡結構信息挖掘和識別已經有一系列的研究成果[14?25].Zhang 等人[14]通過結合新的模塊化功能來識別復雜網絡中的重疊社區; Liu 等人[15]探討了具有時滯的一般不確定復雜網絡的結構識別和參數識別; Sun 等人[16]利用復雜網絡的節點和連邊的特征來描述蛋白質, 通過分析、識別蛋白質網絡的結構獲得蛋白質結構的最好表達; Wu 等人[17]研究了在隨機噪聲下, 時滯/非時滯復雜網絡的未知結構恢復問題; Gui等人[18]提出了一種新的可擴展算法, 用于識別全基因組基因調控網絡(GRN) 結構; Zhou等人[19]通過引入輔助系統, 提出了兩種具有耦合時延的復雜時空網絡的有限時間拓撲識別方法.

一直以來, 利用動力學來挖掘結構信息是主流方法, 它的基本思想是基于同步控制.文獻[20–27]都是通過設置合適的控制器, 在使得復雜網絡達到同步的同時, 獲得各種復雜網絡結構的識別.

然而, 上述現有結果的研究對象都是單個的復雜網絡, 現今, 對相互依存網絡甚至網絡的網絡的結構識別研究少之又少[28].基于以上, 本文將研究由兩個子網構成的有向相互依存網絡的骨干結構識別問題.在該網絡中, 本文只考慮子網間的耦合連接, 不涉及子網的內部結構.基于李雅普諾夫穩定性理論、自適應反饋控制技術和LMI 方法, 本文對響應網絡施加合適的自適應控制器, 從理論上提出了使得驅動網絡和響應網絡達到同步的充分條件.這些條件簡單易行, 而且利用這些條件, 可同時識別出驅動網絡中的有向骨干結構.

2 預備知識

給定一個有向相互依存網絡, 它由節點數分別為N的子網G1和子網G2在相互依賴關系下構成.網絡的狀態方程可表示為

其中M是具有適當維數的矩陣.

注1本文的研究對象是網絡(2.1).本文的研究目標是: 在控制器的作用下, 如何識別出網絡(2.1) 的骨干結構即外部耦合矩陣

為了識別出骨干結構, 本文將在李雅普諾夫穩定性理論的框架下, 利用自適應同步控制技術和LMI 方法, 使得網絡達到同步的同時, 獲得拓撲結構的識別.假設網絡(2.1) 為驅動網絡, 再設響應網絡為

注2在結構識別過程中, 本文的研究目標轉化為構造出合適的自適應控制器和使得驅動網絡 (2.1) 和響應網絡 (2.3) 達到自適應同步, 即滿足

注3若令則本文結構識別的目標是在獲得式(2.6) 成立的同時, 滿足

為了更好地說明所做出的的理論結果, 下面給出本文需要用到的幾個假設和引理.

假設1本文總假設I為具有適當維數的單位矩陣, 同時設文中所用到的范數為2 -范數.

假設 2設F(t,e(t)) =f(t,y(t))?f(t,x(t)),G(t,e(t)) =g(t,y(t))?g(t,x(t)), 則由函數的有界性, 假設存在正數L1和L2, 使得成立.

假設3若令類似地, 假設存在常數L3>0, 總有

引理1[29]對于任意向量x,y ∈Rn和正定矩陣T ∈Rn×n, 下面的矩陣不等式成立

引理2[30]假設Q(x) =Q(x)T,R(x) =R(x)T和S(x) 都是x的矩陣函數, 下列線性矩陣不等式等價于下列條件中的任何一個

(1)R(x)<0,Q(x)?S(x)R(x)?1S(x)T<0,

(2)Q(x)<0,R(x)?ST(x)Q(x)?1S(x)<0.

3 主要結果

基于李雅普諾夫方法、自適應控制技術和LMI 方法, 本節獲得驅動網絡(2.1) 和響應網絡(2.3) 達到自適應同步的充分條件, 從而識別出驅動網絡(2.1) 的骨干結構.

定理1當假設1、假設2 和假設3 成立時, 若存在兩個正定的矩陣P和Q使得

成立, 那么網絡(2.1) 和網絡(2.3) 在控制器

證由網絡(2.1) 和網絡(2.3) 以及假設1 和假設2, 可得網絡的節點誤差狀態方程為

構造一個李亞普諾夫函數為

則由控制器(3.3) 和自適應律(3.4) 和(3.5), 關于誤差系統(3.6) 的導數有

所以整理得

根據引理1, 有

且

所以不等式(3.8) 可化為

整理后可得

所以若

定理1 提出了當耦合函數為非線性的情況下, 網絡(2.1) 和網絡(2.3) 達到自適應同步的充分條件.當耦合函數H(·) 為線性函數時, 就不需要用到假設3, 此時, 定理1 中的條件相對來說更簡單些, 因此得以下推論1.

推論1在假設1 和假設2 成立的條件下, 若存在兩個矩陣P>0 和Q>0 使得不等式

成立, 那么網絡(2.2) 和網絡(2.3) 在控制器(3.3) 和自適應律(3.4), (3.5) 的作用下達到自適應同步.

4 數值模擬

為了驗證定理1 的可行性和有效性, 本節將對一個由兩個子網構成的有向相互依存網絡(2.1) 和(2.3) 進行數值模擬.因為節點個數過多, 對骨干結構的識別就顯得過于復雜, 所以在本節中, 為了簡單起見, 設網絡節點個數為8, 其中子網G1和子網G2的節點個數分別為4.同樣地, 對于網絡(2.1) 和(2.3), 本節只考慮子網間的耦合, 不涉及到子網內部的耦合.對于子網G1, 設它的每個節點動力系統都是Lorenz 系統

其中a1,a2,a3是實數.當a1= 10,a2= 8/3,a3= 28 時, Lorenz 系統是混沌的.同時, 設子網G2的每個節點動力系統為Chen 系統

其中a1,a2,a3是實參數.當a1=35,a2=3,a3=28 時, Chen 系統處于混沌狀態.由Lorenz系統和Chen 系統的特點, 可知存在L1=L2=60 滿足假設2.在以下所有的數值模擬中, 設子網G1和子網G2的外部耦合矩陣為

非線性耦合函數為H(x(t))=(x1(t),x2(t),sin(x3(t)))T.此時,可設L3=1 滿足假設3.再設子網間的耦合強度c1=c2=0.5, 驅動網絡(2.1) 和響應網絡(2.3) 的節點(i=1,2,···,4)的初始值分別為

滿足定理1 中的條件(3.1) 和(3.2), 從而從理論上保證了網絡(2.1) 和網絡(2.3) 能夠達到自適應同步.在上述條件下, 利用Matlab 軟件, 本節獲得了子網G1和子網G2的誤差軌跡圖,如圖1 和圖2.圖1 中的第二和第三個子圖和圖2 均表明了誤差狀態變量在控制器的作用下,很快趨于零, 也即驅動網絡和響應網絡很快達到了漸近同步.而圖1 的第一個子圖表明誤差雖然在零的附近有很小的擺動, 但是它的軌跡仍然是有界的, 也就是說它在零的附近是漸近穩定的.

圖1: 子網G1 的誤差狀態變量軌跡

圖2: 子網G2 的誤差狀態變量軌跡

圖3: 子網G1 的反饋增益運動軌跡

圖4: 子網G2 的反饋增益運動軌跡

在驅動網絡和響應網絡達到同步的同時, 隨著時間的增大, 網絡(2.3) 的控制器的反饋增益也很快穩定在有界的值, 如圖3 和圖4 所示.而且, 此時, 驅動網絡(2.1) 的拓撲結構也同時被識別出.圖5 和圖6 分別表示了響應網絡(2.3) 中從子網G1出發和從子網G2出發的連接識別軌跡.與驅動網絡(2.1) 相比, 圖5 和圖6 表明了識別的精度非常高.隨著時間的變化,矩陣A和矩陣B的每個元素都很快穩定在矩陣式(4.1) 中的值.

5 結論

隨著社會、科技的日益發展與成熟, 我們賴以生存的自然環境、社會環境以及各種人造環境之間的聯系變得更加緊密和錯綜復雜.相互依存網絡從復雜網絡的角度, 利用網絡的拓撲結構信息闡述了這種關系.對相互依存網絡的結構的研究, 特別是骨干結構的研究是一個具有重要的理論和實際意義的熱點課題.本文研究了有向相互依存網絡的骨干結構識別問題.其中該網絡中的連接只存在于子網間, 且具有非線性連接, 而在子網間沒有連接關系.這種形式的網絡代表了實際中的很多網絡, 在以往的文獻中很少涉及到.基于李亞普諾夫穩定性理論、自適應控制技術和LMI 方法, 本文提出了自適應同步的充分條件.這些條件能夠保證驅動網絡和響應網絡中對應的每個節點的運動軌跡達到一致, 在此基礎上, 驅動網絡的骨干結構也能被響應網絡對應識別出來.而且, 本文的假設和所獲得的自適應控制器以及自適應律非常簡單, 也便于實際中運行.最后的數值模擬也證明了所提出理論的正確性和有效性.本文的研究成果是目前相互依存網絡研究的一個重要的發展和深入, 對于現實生活中存在的相互依存網絡(譬如重要的基礎設施系統等) 具有一定的理論指導意義.

圖5: (a) 矩陣的第1 列的識別; (b) 矩陣的第2 列的識別;(c) 矩陣的第3 列的識別; (d) 矩陣的第4 列的識別.

圖6: (a) 矩陣的第1 列的識別; (b) 矩陣的第2 列的識別;(c) 矩陣的第3 列的識別; (d) 矩陣的第4 列的識別.