基于恒定陡度聚焦波模型的分析與討論

郭騫隸，谷漢斌

(1.浙江海洋大學，舟山 316000；2.寧波大學 土木與環境工程學院，寧波 315211)

聚焦波一般也叫極端波、瘋狗浪、怪波等。它是指海洋上突然出現的一種波高很大的情況，一個波列過程中，最大波波高是次大波波高的兩倍以上。它對海洋結構物、海洋工程、海上船舶等具有巨大的危害。因此，聚焦波的模擬及其特性研究在海洋水動力學、海洋工程應用等方面具有重要價值和意義[1]。物理上，有四種方式產生聚焦波[2]，即波流相互作用、波與海底相互作用、波波相互作用和風波相互作用。本文只考慮波波相互作用。對于波波相互作用產生聚焦波，理論上有兩種方式[2]，一種是利用不規則波的生成方式，它需要不同波浪頻率成分很長的疊加時間，才可能出現這種聚焦波，主要特點是出現時間或地點不確定；另一種是相位速度調整的方式，本文就介紹這種方式，它的各個組成波同時在特定時間點和特定位置到達峰值。波波相互作用的聚焦波研究的基礎是Longuet-Higgins[3]的不規則波模型；它采用線性疊加原理，通過調整相位使各組成波在某一個時間和某一地點聚集起來，形成聚焦波。近年來，聚焦波問題是一個研究熱點。Schaffer研究了實驗室如何產生聚焦波。Fochesato[4]，Yan 和 Ma[5]，Turnbull[6]，NIGN D Z[7]，Bai和Eatock Taylor[8]等，通過數值波浪水池模擬生成聚焦波以及聚焦波與結構的相互作用。聚焦波模型是物理和數值模擬產生聚焦波的基礎，Kway J H L等[9]在1998年提出了應用恒定振幅譜的方式產生聚焦波。

在波聚焦的過程中，波的振幅實際上是任意的，它們既可以恒定為常數，也可以假設它們與對應的波數成反比[2]。本文中使用的恒定陡度方式與恒定振幅譜[9]相比能夠得到一個良好的破碎聚焦波，而一般在實際工程中聚焦波通常都是破碎的。并且恒定陡度方式與采用頻譜理論模擬聚焦波不同，它不需要知道譜型、有效波高、特征周期等參數；只需要恒定陡度和頻率范圍，按色散關系由水深確定波數，再確定波幅，就可以獲得聚焦波的表達式。本文通過改變水深、組成波頻率范圍、中值頻率和恒定陡度，得到對應的恒定陡度形成的聚焦波，分析了聚焦波的特征和規律。這些特征和規律有助于采用該方式快速獲得需要的聚焦波。

1 基于恒定陡度形成聚焦波

Longuet-Higgins給出了不規則波的波面過程表達式

(1)

式中：an和ωn分別為各個組成波的振幅和角頻率；εn是隨機數，取值在(0,2π)范圍內，在此基礎上人們把波浪看成定常隨機過程，可以看作不同組成成分的余弦波疊加而成。任意時間和位置的波面過程表示為[10]

(2)

式中：N為組成波的個數；ai為組成波的波幅；ωi為組成波的角頻率；ki為組成波的波數；φi為組成波的初始相位。組成波的頻率和波數滿足色散關系

(3)

假定波浪在指定時刻t=tf時聚焦于指定位置x=xf，各組成波在該處疊加，則要求各組成波的初相位應滿足

φi=-kixf+ωitf+2mπ,m=0,±1，±2，…

(4)

將φi代入到式(2)中，令m=0，這時任意位置處的波面過程η(x,t)為

(5)

在式(5)中ai和ki是未知量，這是需要來解決的關鍵。Sriram等[2,9,11]假定單個組成波的波幅ai與波數ki的乘積為常數，并定義此常數為恒定陡度Si，采用振幅增益常數Ga來表示單個余弦波的恒定陡度Si，Ga表示為

Ga=Si/π=aiki/π=c

(6)

c表示常數；意味著各組成波具有相同的振幅增益。因此，一旦頻率范圍確定，采用等區間分割，很容易給出各組成波的頻率，相對應的波幅ai與波數ki就可以求得。而聚焦波的恒定陡度S是所有組成波的恒定陡度Si的求和，即

(7)

當設定好Ga后，就可以方便地求出與之對應的圓頻率ωi、波數ki與振幅ai，由式(5)表示出聚焦波隨空間和時間的變化。

按照上述方式，確定聚焦波頻率范圍(最高頻和最低頻)、恒定陡度S(也可以用Ga代替)和水深，計算出聚焦波波面過程；然后研究水深、組成波頻率范圍、中值頻率和恒定陡度對聚焦波波形的影響。

2 聚焦波波形

為了便于分析研究，依據頻率的高低分成了低頻和高頻兩種情況，進行了不同參數變化情況下大量的計算。低頻適用于實際海洋環境、高頻適用于實驗室試驗。但這里沒有考慮波浪破碎的問題，實際上當波面陡度達到一定程度，波面從波峰處開始破碎；這個問題留待以后研究，本文不予討論。

2.1 低頻情況

表1 不同fc的低頻聚焦波參數

實際海洋環境中，波浪周期在幾秒到十幾秒之間。本文參照東海海域波浪周期范圍3～15 s[12]作為聚焦波實際波浪周期取值范圍，把周期換算成頻率，按色散關系2πL=T2gtan(2πd/L)，求得組成波波長，再計算組成波波數；選取其中5個頻率中值fc(fN=fc+△f/2)，分別為0.07 Hz、0.12 Hz、0.2 Hz、0.25 Hz、0.3 Hz；并以此計算聚焦波波形。計算時聚焦時間取100 s、聚焦位置取0 m，組成波個數N取為32。為了研究水深影響，考慮5個水深分別為8 m、15 m、20 m、30 m、45 m。設f1為頻率范圍的起始頻率，fN為頻率范圍的終止頻率，△f=fN-f1為聚焦波的頻率組成范圍。在△f/fc=0.5和Ga=0.002不變的情況下，分別進行5個水深的計算。參數取值見表1。

圖1是水深8 m時恒定陡度譜模型理論計算的波面時間過程，其他水深時波形類似，只是幅值不同；圖2給出不同水深情況下，最高波面峰值的變化；當fc較小時(如0.07 Hz)，最高波面峰值隨水深增大顯著增大；當fc較大時(如0.3 Hz)，最高波面峰值隨水深增大不明顯；同一水深情況下，fc越小，最高波面峰值越大。所有這些組次，最高波面峰與次高波面峰值的比值接近于1.58。

圖1 不同fc的低頻聚焦波波面過程線

表2 不同Ga的低頻聚焦波參數

Sriram設置參數Ga范圍為0.001 5～0.006[2]，本文為探討Ga對波形影響規律，選擇覆蓋Sriram設置的范圍，便于應用。具體范圍0.001 5～0.018，并在水深8 m、15 m、20 m、30 m、45 m的情況下，進行了聚焦波波形計算，此時聚焦時間100 s、聚焦位置為0 m，組成波個數N為32。計算中△f/fc=0.5，其他參數見表2。

圖3為計算的聚焦波波面時間過程線，同一水深情況下，Ga越大，最大波面峰值越大。圖4給出最大波面峰值與水深的關系，同一水深情況下，Ga越大，最大波面峰值越大；同一Ga情況下，水深越大，最大波面峰值越大；當Ga值較小(0.002)時，最大波面峰值隨水深增加不顯著；而當Ga值較大(0.018)時，最大波面峰值隨水深增加顯著增大。最大波面峰值與次高峰值之比接近常數1.58。

圖3 不同Ga的低頻聚焦波波面過程線

表3 不同△f/fc的低頻聚焦波參數

當fc分別為0.07 Hz、0.12 Hz、0.2 Hz、0.25 Hz、0.3 Hz，△f取0.1，Ga取0.002，其他參數見表3。計算聚焦時間100 s、聚焦位置0 m，組成波個數N為32，水深分別為8 m、15 m、20 m、30 m、45 m。

圖5為水深8 m時聚焦波波面過程線。參數fc越小(如0.07 Hz)，最高波面峰值越高，次高波峰位置越遠離最高波峰，它們之間產生的波面起伏越多；fc越大(如0.3 Hz)，最高波面峰值越低，最高波面峰與次高波面峰離得越近。其他水位與8 m水深情況類似，只是最高波面峰值隨水深增大而增大(圖6)。

圖5 不同△f/fc的低頻聚焦波波面過程線

圖7 最高峰與次高峰比值和Δf/fc關系圖

表4 不同fc的高頻聚焦波參數

表5 不同Ga的高頻聚焦波參數

在聚焦波的研究中，最高波面峰值與次高波面峰值能反映它與海洋結構物相互作用的激烈程度，本文通過修改參數，如Ga分別為0.002、0.01、0.018；水深分別為8 m、20 m、45 m生成波面過程，分析了最高波面峰值與次高波面峰值的比值變化。結果發現，最高波面峰值與次高波面峰值的比值變化與水深和Ga無關；最高波面峰值與次高波面峰值的比值與Δf/fc有關(圖7)。從圖7可以看出，不同其他參數情況下，最高波面峰值與次高波面峰值的比值隨Δf/fc的變化一致；這個變化呈一定規律性，即當Δf/fc<0.81或Δf/fc>0.94時，最高波面峰值與次高波面峰值的比值隨Δf/fc的增大而增大，當0.81<Δf/fc<0.94時，最高波面峰值與次高波面峰值的比值隨Δf/fc的增大而減小。導致這一變化規律的原因可以從圖5觀察得知，Δf/fc<0.81時，聚焦波形相對比較規則，最高波面峰值與次高波面峰值的比值較小，最大值接近5，次高波面峰值出現的位置離最高波面峰值位置較近；當Δf/fc>0.94時，次高峰出現位置與最高峰位置的距離越來越遠，兩峰值之間有比較多的波面起伏，最高波面峰值與次高波面峰值的比值可以很大；在當0.81<Δf/fc<0.94時波形處于上述兩種情況的過渡狀態，最高波面峰值與次高波面峰值的比值在4～5之間。

2.2 高頻情況

由于實驗室波浪周期一般在0.5～3 s，水深相對較淺，選擇聚焦波頻率中值fc分別為0.33 Hz、0.7 Hz、1.1 Hz、1.5 Hz、2 Hz，水深分別為0.3 m、0.5 m、0.7 m、0.9 m、1.2 m等情況進行了計算、觀察和分析。計算聚焦時間100 s、聚焦位置為0 m，組成波個數N為32。參數取值見表4。

圖8是水深0.3 m時恒定陡度譜模型理論計算的波面時間過程，其他水深波形類似，只是幅值不同；圖9給出不同水深情況下，最高波面峰值的變化；與低頻聚焦波相似，當fc較小時(如0.33 Hz)，最高波面峰值隨水深增大顯著增大；當fc較大時(如2 Hz)，最高波面峰值隨水深增大不明顯；同一水深情況下，fc越小，最高波面峰值越大。最高波面峰值與次高波面峰值之比仍接近于1.58。

在高頻時參數Ga范圍與低頻一致，在不同水深0.3 m、0.5 m、0.7 m、0.9 m、1.2 m下，進行了聚焦波波形計算。此時，聚焦時間100 s、聚焦位置為0 m，組成波個數N為32。計算中Δf/fc=0.5，其他參數見表5。

圖8 不同fc的高頻聚焦波波面過程線

圖10 不同Ga的高頻聚焦波波面過程線

表6 不同Δf/fc的高頻聚焦波參數

圖10為計算的聚焦波波面時間過程線，同一水深情況下，Ga越大，最高波面峰值越大，這與低頻情況下也一致。圖11給出最高波面峰值與水深的關系，同一Ga情況下，水深越大，最高波面峰值越大；當Ga值較小(如0.002)時，最高波面峰值隨水深增加不顯著；而當Ga值較大(如0.018)時，最高波面峰值隨水深增加顯著增大。最高波面峰值與次高波面峰值之比仍接近1.58。

當Δf/fc在0.275～1.67變化時，Δf取0.55，Ga取0.002，其他參數見表6，fc分別為0.33 Hz、0.7 Hz、1.1 Hz、1.5 Hz、2 Hz。計算聚焦時間100 s、聚焦位置為0 m，組成波個數N為32，水深與前面高頻組次相同。

圖12為水深0.3 m時聚焦波波面過程線。與低頻相似，當參數fc越小(如0.33 Hz)，其波面最大峰值越高，波面變化越劇烈；fc越大(如2 Hz)，波面最大峰值越低，最大峰值與次峰值離得越近。其他水位情況類似，只是最大峰值隨水深增大而增大(圖13)。

圖12 不同Δf/fc的高頻聚焦波波面過程線

最高波面峰與次高波面峰的比值變化與水深和Ga無關，與Δf/fc關系同低頻情況一致見圖7，這里不再贅述。

3 總結

本文分析了利用恒定陡度方式構建聚焦波的方法，分低頻和高頻兩種情況，在不同頻率、水深條件下，計算觀察了波面形狀，分析了最高峰值與次高峰值的比值。觀察分析表明，無論高頻和低頻，最高波面峰值的變化為：當fc較小時最高波面峰值隨水深增大顯著增大；當fc較大時，最高波面峰值隨水深增大不明顯；同一水深情況下，fc越小，最高波面峰值越大。Ga越大，最大波面峰值越大。最高波面峰與次高波面峰的比值變化與水深和Ga無關；與Δf/fc有一定規律性，當Δf/fc<0.81或Δf/fc>0.94時，最高波面峰值與次高波面峰值的比值隨Δf/fc的增大而增大，當0.81<Δf/fc<0.94時，最高波面峰值與次高波面峰值的比值隨著Δf/fc的增大而減小。至于考慮波浪破碎的情況，有待進一步研究。