7N01鋁合金Johnson?Cook模型參數的反算方法

呂思雨 鐘睦 葛凱

（1.軌道交通安全教育部重點實驗室，湖南長沙 410075；2.軌道交通安全關鍵技術國際合作聯合實驗室，湖南長沙 410075；3.軌道交通列車安全保障技術國家地方聯合工程研究中心，湖南長沙 410075；4.中國鐵道科學研究院集團有限公司鐵道建筑研究所，北京 100081）

7N01 鋁合金屬于Al-Zn-Mn 系鋁合金，具有較高的強度以及良好的焊接性、擠壓成形性和耐腐蝕性，被廣泛應用于動車組車體的生產制造［1］。為了研究動車組鋁合金車體在碰撞等過程中的塑性變形行為，通常采用Johnson-Cook 模型描述鋁合金的塑性本構關系，并運用有限元方法進行仿真分析。因此，確定合理的鋁合金Johnson-Cook 模型參數對有限元仿真結果的可靠性有著重要的作用。

通常根據試驗數據反算材料塑性本構模型參數，反算的方法主要有2類：①曲線擬合方法，即對試驗數據進行曲線擬合。如柳愛群等［2］對SS2196 不銹鋼進行準靜態單軸拉伸和單軸扭轉試驗，采用最優化算法擬合曲線獲取材料的Johnson-Cook 模型參數；楊揚等［3］對TC16 鈦合金進行準靜態拉伸試驗和Hopkinson壓桿動態加載試驗，根據試驗曲線采用數據擬合方法得到材料的Johnson-Cook 模型參數。曲線擬合方法計算量小，但擬合結果與試驗結果差異較大。②有限元仿真優化方法，即基于有限元仿真分析對材料參數進行優化，使仿真結果逼近試驗數據。如董菲等［4］對410 不銹鋼進行剪切試驗，采用有限元仿真分析，利用Matlab 非線性最小二乘法優化程序反算Johnson-Cook 材料模型參數；鄭華林等［5］參考 Ti6A14V 鈦合金切削試驗結果，利用有限元分析并采用遺傳算法進行優化，求取Johnson-Cook 模型參數。有限元仿真優化方法效果較好，但需要多次迭代求解，計算量較大。

本文對動車組用A7N01S-T5 鋁合金進行準靜態拉伸試驗，采用曲線擬合和有限元仿真優化相結合的方法反算材料的Johnson-Cook 模型參數，即先采用曲線擬合方法確定模型的初始參數，然后在初始參數的基礎上進行有限元仿真優化。

1 Johnson?Cook本構方程

本構方程是用于描述材料變形規律的數學模型。Johnson-Cook 本構方程主要應用于大應變、高應變速度、高溫變形的材料，適用于大多數金屬材料從準靜態變形到高速變形的仿真［6-11］。Johnson-Cook 模型的本構方程為

式中：σ為 Von-Mises 等效流變應力；A為材料初始屈服強度；B為加工硬化模量；εp為等效塑性應變；n為硬化指數；c為應變速率常數；ε為等效塑性應變率；ε0為應變速率參考值；m為熱軟化常數；T0為參考溫度；Tm為材料的熔點溫度；T為試驗溫度。

式（1）右邊3項分別代表塑性應變、應變率和溫度對流變應力的影響。本文不考慮應變率和溫度的影響，則方程簡化為

因此，根據準靜態拉伸試驗結果可反算得到材料參數A，B和n。

2 7N01鋁合金拉伸試驗

對動車組用A7N01S-T5 鋁合金試件用萬能材料力學性能試驗機進行低應變率單向拉伸試驗，獲取其在準靜態加載條件下的應力與應變關系曲線。

2.1 拉伸試樣

拉伸試樣按照GB 228—2002《金屬室溫拉伸試驗標準》制備。試樣原始標距L0=62 mm，平行長度Lc=80 mm，拉伸試樣尺寸如圖1所示。本文采用3組試樣進行拉伸試驗。

圖1 拉伸試樣尺寸（單位：mm）

2.2 試驗裝置與加載方法

拉伸試驗在MTS 647 Hydraulic Wedge Grip 萬能材料試驗機（圖2）上進行。金屬材料在彈性階段應力隨應變呈線性變化，因此試驗初始階段采用15 kN/min的恒定荷載增量加載以縮短加載時間；當進入初始塑性后，采用速度為15 mm/min 的恒定位移增量加載。試驗時環境溫度為23 ℃。

圖2 MTS 647萬能材料試驗機

2.3 試驗結果

對動車組用7N01 鋁合金試件進行了3 次拉伸試驗，得到應力-應變曲線如圖3所示。

由圖3可知，試驗數據重復性良好。取3組試驗應力-應變曲線數據的平均值進行擬合，得到A7N01S-T5鋁合金的彈性模量71.9 GPa，屈服強度367 MPa，抗拉強度422 MPa。

圖3 鋁合金準靜態拉伸試驗應力-應變曲線

3 鋁合金拉伸試驗有限元仿真

對拉伸試樣采用HyperMesh軟件建立有限元模型（圖4），采用RADISOSS 求解器進行顯式動態分析，求取仿真試驗的應力-應變曲線。利用對稱性選取試件的1/4 建立二維模型，采用殼單元劃分網格，單元數量為800。在模型對稱面上施加對稱約束，在夾持部位施加拉伸載荷，加載速度為15 mm/min。節點node 1距對稱截面62 mm，用于輸出拉伸位移的時間歷程；截面section 1 為對稱截面，用于輸出拉伸力的時間歷程。

圖4 拉伸試件有限元模型

4 材料參數反算優化

采用曲線擬合和有限元仿真優化相結合的方法反算鋁合金材料的Johnson-Cook 模型參數。首先采用曲線擬合方法確定模型的初始參數并代入有限元模型，然后借助HyperStudy 軟件實現與有限元模型及求解器的數據傳遞與過程集成，依據初始參數設置搜索區間，采用優化算法對材料參數進行迭代求解。

HyperStudy 是一個系統研究和優化工具，可無縫集成各種CAE（Computer Aided Engineering）求解器進行試驗設計、數據擬合、參數優化和可靠性研究。本文利用HyperStudy 讀取有限元模型，調用RADIOSS 求解，讀取仿真結果，從而判斷結果是否收斂。若不收斂，則采用優化算法求取新的材料參數，并自動更新有限元模型進行再次求解。重復這個過程，直至收斂得到最優解。材料模型參數反算流程如圖5所示。

4.1 曲線擬合法反算材料參數

圖5 材料模型參數反算流程

參數A可從拉伸試驗應力-應變曲線中直接得出，其值為366.8 MPa。參數B和n采用Origin 軟件對拉伸試驗的應力-應變曲線進行非線性曲線擬合，使擬合曲線與試驗曲線偏差最小。擬合迭代過程中使用Levenberg-Marquardt 算法調整材料參數以達到最優。最終得到B=550.3 MPa，n=0.727。將擬合得到的Johnson-Cook 模型參數代入有限元模型進行仿真驗證，得到仿真應力-應變曲線如圖6 所示。可知：有限元仿真結果與試驗結果有較大差異，應力最大誤差達6.9%。說明采用曲線擬合方法反算材料參數，效果不夠理想。

圖6 仿真應力-應變曲線

4.2 有限元仿真優化反算材料參數

為了實現有限元仿真優化過程的自動化，采用HyperStudy 軟件進行有限元建模、求解及優化過程的集成。設計變量為A，B，n，其初始值取曲線擬合的結果，取值區間根據初始值適當選擇，如表1所示。

表1 設計變量及其初始值、取值區間

響應取特定應變（采樣點）對應的應力，選取了12個采樣點，3組試驗中采樣點的應力和應變見表2。

根據有限元仿真與拉伸試驗應力-應變曲線的方差構建目標函數F，即

式中：N為采樣點數目；k為試驗次數；σij為第j次試驗的第i個采樣點應力；為第i個采樣點的仿真值。

優化目標是使目標函數F最小。目標函數初始值為1 221，據此設定收斂條件為F＜300 且連續3 次迭代過程的目標函數變化值小于30。

表2 拉伸試驗采樣點的應力和應變

為了分析不同優化算法的影響，本文采用遺傳算法（GA，Genetic Algorithm）和自適應響應面法（ARSM，Adaptive Response Surface Method）2 種算法分別進行優化求解。遺傳算法是一種全局優化算法，是在進化過程理論的基礎上發展起來的。遺傳算法從構建設計的一代種群開始，通過適應度來衡量設計的優劣，然后通過遺傳算子（通常是交叉和突變）來復制選定的設計，產生的個體（子代）成為下一代的成員。這個過程重復多代，直到種群進化收斂到最優解為止。自適應響應面法首先用較少的樣本構建一個初始響應面（線性回歸多項式），然后在該響應面上找到最優解，并用有限元仿真對這個最優解進行驗證。如果響應面和有限元仿真結果不接近，則使用新的仿真結果更新響應面，再次尋找最佳值。重復這個過程，直到滿足收斂條件。

采用遺傳算法進行優化的迭代次數為28次，目標函數收斂值為103，反算得到的Johnson-Cook模型參數A為371.9 MPa，B為2 123 MPa，n為1.472。采用自適應響應面法進行優化的迭代次數為15次，目標函數收斂值為215，反算得到的Johnson-Cook 模型參數A為368.3 MPa，B為1 963 MPa，n為1.236。

優化材料參數后的仿真應力-應變曲線如圖7 所示。可見，遺傳算法和自適應響應面法優化后的仿真應力-應變曲線與試驗應力-應變曲線的吻合度均較高，遺傳算法得到的應力仿真值與試驗值最大相對誤差為0.98%，自適應響應面法最大相對誤差則為2.10%。遺傳算法得到的結果更好，而自適應響應面法需要的迭代次數更少。

圖7 優化材料參數后的仿真應力-應變曲線

5 結論

1）根據7N01 鋁合金材料的準靜態拉伸應力-應變曲線，采用曲線擬合和有限元仿真優化相結合的方法反算Johnson-Cook 本構模型參數，優化收斂速度快，有限元仿真結果與拉伸試驗結果吻合度高。

2）采用曲線擬合方法計算量小，能迅速反算得到材料參數，然而效果較差，不宜直接用于確定材料參數，但可作為有限元優化求解的初始參數，用于限定材料參數的求解區間，提高有限元仿真優化的效率。

3）在曲線擬合得到的材料參數基礎上，基于有限元仿真分析，采用遺傳算法和自適應響應面方法進行優化，反算得到的參數結果均較好。遺傳算法得到的應力仿真值與試驗值相對誤差更小，而自適應響應面法需要的迭代次數更少。2種方法均可以用來進行參數反算的優化。