基于變增益模糊PID控制的移動機器人軌跡跟蹤

趙會超，師五喜

（天津工業大學 電氣工程與自動化學院，天津300387）

輪式移動機器人是一種典型的非完整性系統，具有廣泛的應用前景，機器人領域的變化趨勢由在生產線固定的機械手向能做更復雜任務的自主移動機器人過渡，比如救援、軍事行動以及日常生活服務等，移動機器人控制的一個主要問題是軌跡跟蹤控制，然而描述軌跡跟蹤的跟蹤誤差系統往往是一個耦合非線性系統，使得該問題的解決變得復雜，在實際應用中，需要充分考慮移動機器人的模型不確定性等問題，目前移動機器人軌跡跟蹤的方法主要有智能控制方法[1-3]、反步控制方法[4-5]、滑模控制方法[6-10]、自適應控制方法[11-14]等。文獻[1]采用了基于模糊神經網絡的控制方法，保證機器人對參考軌跡的實際跟蹤，文獻[2]在文獻[1]的基礎上提出了一種運動學控制器與自適應動態遞歸模糊神經滑模控制器相結合的控制結構，使不確定性估計誤差有效減小，但以上控制器的設計比較復雜，在實際應用中不宜實現，文獻[4]提出一種基于擾動補償的反演控制方法，有效抑制了在外部擾動下輪式移動機器人軌跡跟蹤容易出現速度跳變的問題，文獻[9]提出一種基于滑模控制的移動機器人軌跡跟蹤控制方法，然而滑模控制中由于慣性、滯后等因素，不可避免地存在抖振現象，文獻[10]在文獻[9]基礎上引入新型加權增益趨近律，在積分項中引入負的加權值，減少滑模控制固有的抖振問題，但改進的滑模控制方法影響了系統的魯棒性且無法完全解決抖振問題，文獻[12]針對縱向滑動參數未知的輪式移動機器人的軌跡跟蹤問題，提出一種自適應跟蹤控制策略，利用兩個未知參數來描述移動機器人左右輪的縱向打滑程度，建立了產生縱向滑動的差分驅動輪式移動機器人的運動學模型，文獻[13]針對機器人軌跡跟蹤控制品質受到參數不確定性影響的問題，設計了一種自適應非光滑控制，但該方法不適用于傳統的穩定性分析和設計工具，文獻[15]基于動力學模型設計了模糊PD控制器，實現了機器人跟蹤控制，文獻[16]在文獻[15]的基礎上，將模糊PI控制器和模糊ID控制器結合，提高了控制精度，但文獻[16]提出的二維PID模糊控制器的結構復雜，模糊控制方法實時性不高。

本文提出了一種變增益的模糊PID控制方法，將常規PID分為PI和PD的組合，控制器的輸出可以轉化為誤差和誤差變化率的和，然后設計模糊控制器的增益，該增益根據誤差的變化自適應調節，最終實現移動機器人的軌跡跟蹤，本文方法優化了控制器的輸出，結構簡單，控制精度高，實驗結果驗證了所提算法的有效性。

1 系統模型

1.1 移動機器人的運動學模型

本文研究的機器人結構如圖1所示。圖中OXY為全局平面坐標系，表示移動機器人在空間平面的位置，OcXcYc為機器人局部坐標系，Oc表示機器人的幾何中心，v為機器人前進線速度，方向垂直于機器人輪軸，w為機器人角速度，θ為機器人運動方向與X軸夾角，P表示機器人質心位置，圖中2b表示機器人兩車輪之間的距離，2r為車輪直徑，Oc與p之間的距離記為d。

圖1 輪式移動機器人模型Fig.1 Wheeled mobile robot model

假設移動機器人在理想條件下運動，即滿足機器人純滾動無滑動條件時，移動機器人運動時滿足公式：

引入機器人運動學模型控制量z，將移動機器人模型表示如下[17]：

式中：（x，y，θ）為移動機器人實際位姿。

1.2 移動機器人的動力學模型

移動機器人系統動力學模型表示為[18-19]

式中：m為機器人的質量；I為機器人的總轉動慣量，移動機器人動力學模型控制輸入為機器人驅動輪力矩狀態向量

2 移動機器人軌跡跟蹤控制器設計

本文先基于移動機器人運動學模型，設計輔助運動控制律，然后將移動機器人的線速度和角速度的輔助速度作為輸入，基于動力學模型設計模糊PID控制算法，使移動機器人的實際速度漸近收斂到輔助速度，最終實現移動機器人的軌跡跟蹤。

2.1 移動機器人運動控制律設計

假設移動機器人參考軌跡如下：

式中：vr為移動機器人期望線速度；wr為期望角速度；（xr，yr，θr）為移動機器人期望位姿。

定義軌跡誤差為

對式（6）求導可得：

設計如下的輔助運動學控制律[20]：

式中：vc為移動機器人輔助線速度；wc為輔助角速度；k1、k2、k3為輔助運動控制律參數，且k1、k2、k3>0。在輔助運動控制律作用下，移動機器人的輔助速度漸近收斂到期望速度

2.2 模糊PID控制器設計

式中：zc和z分別是移動機器人的輔助速度和實際速度，令線速度的誤差ve=e1（t），角速度的誤差we=e2（t），分別對ei（t）（i=1，2）設計PID控制算法。常規PID的控制規律為

本文將常規PID中的比例環節分為兩部分，分別與積分環節、微分環節結合，這樣將常規PID控制變為PI控制與PD控制的組合：

①PI控制器的輸出為

式中：ei（t）=ri（t）-yi（t）為誤差信號；uiPI（t）為控制器的輸出；KP1和KI為比例系數和積分系數。

將上式轉換為速度形式為：

在頻域中轉化，并利用后向差分法代入，當T>0時，利用z 反變換得到：

令KP1=GP1，KI=GI，式（14）等價于：

由式（15）設計PI控制器，輸入變量是誤差ei（kT）和誤差變化率eci（kT），輸出變量為控制量uiPI；PI控制器的輸出由下式給出：

②PD控制器的輸出為

式中：ei（t）=ri（t）-yi（t）是誤差信號；uiPD（t）是控制器的輸出；KP2和KD分別是比例系數和微分系數。

式（17）在頻域中轉換，并利用后向差分法代入，當T>0時，利用z 反變換得到：

令KP2=GP2，KD=GD，式（18）等價于

結合式（16）和式（19），式（11）轉化為

令K1=GI+GP2，K2=GD+GP1，代入式（20）可得PID控制器的總輸出為

由式（21）設計模糊PID控制算法。

2.3 模糊化和模糊控制規則

2.3.1 輸入變量及其模糊化

模糊控制器的輸入變量為誤差ei（kT）和誤差變化率eci（kT），量化后的論域取為[-L，L]，輸入變量在其相應的論域上定義為參考模糊集：負（N）、正（P），相應的隸屬度函數如圖2所示。

圖2 輸入的隸屬度函數Fig.2 Input membership functions

2.3.2 輸出變量及其模糊化

模糊控制器的輸出變量是Δu1，輸出變量在其相應的論域上定義為3個參考模糊集，分別是負（N）、零（Z）、正（P），-L，0，L分別是其各自隸屬度函數的中心值，相應的隸屬度函數如圖3所示。

輸出的隸屬度函數表達式為

輸出u1的表達式為

式中：Gu1是輸出變量Δu1的量化因子。

2.3.3 模糊控制規則

由模糊控制器的結構，指定的輸入是K1ei（kT）和K2eci（kT），輸出量是Δu1，基于模糊化中描述的輸入和輸出隸屬度數，模糊控制器的模糊控制規則的數量為4，控制規則如下：

R1：if K1ei（kT）is N AND K2eci（kT）is N THEN Δu1is N

R2：if K1ei（kT）is N AND K2eci（kT）is P THEN Δu1is Z

R3：if K1ei（kT）is P AND K2eci（kT）is N THEN Δu1is Z

R4：if K1ei（kT）is P AND K2eci（kT）is P THEN Δu1is P

2.3.4 精確化計算

“重心法”用于計算模糊PID的控制作用，模糊控制器基于當前的精確化輸出如下：

式中：μr是控制規則中的隸屬度值；Δu是輸出，根據模糊推理方法可求出個區域相應的激活度，模糊控制器的輸入組合（IC）值的區域如圖4所示。

圖4 模糊PID分量輸入組合的區域Fig.4 Fuzzy PID component input combination area

模糊控制器的區域可以分解為12個不同的區域（IC）。Δu的結果是在每個隸屬度區域應用解模糊算法獲得，將隸屬度數值帶入，整理得到：

綜上，由輔助運動學控制器和基于動力學模型的模糊PID控制器，可得系統控制器總框圖如圖5所示。

圖5 機器人閉環控制系統總框圖Fig.5 Total block diagram of the robot closed-loop control system

3 實驗

為驗證控制方法的有效性，在平臺Qbot2 上進行實驗，實驗目的是使移動機器人跟蹤給定的參考軌跡，參考軌跡為一個半徑1 m的圓形：xr=sint，yr=-cos t，θ=t，實驗環境包括：1臺Qbot2機器人，6個OptiTrack 攝像頭，1臺PC主機，PC機是系統的控制中心，安裝有實驗所需的控制軟件與攝像機跟蹤處理軟件，PC機控制軟件集成了Matlab/Simulink模塊和無線通信模塊。PC機與Qbot2 通過無線模塊進行通信，PC機和OptiTrack定位系統通過USB2.0連接，OptiTrack定位系統實時跟蹤Qbot2位置信息并在PC機上顯示。

移動機器人在平面上的運行軌跡如圖6所示。

圖6 移動機器人運動軌跡圖Fig.6 Mobile robot motion trajectory

移動機器人速度曲線如圖7所示。

圖7 移動機器人線速度和角速度曲線Fig.7 Mobile robot linear velocity and angular velocity curve

移動機器人誤差曲線如圖8所示。

4 結語

圖8 模糊PID 誤差曲線圖Fig.8 Fuzzy PID error graph

本文針對移動機器人軌跡跟蹤問題，提出了一種基于變增益的模糊PID控制方法，首先分析了移動機器人的運動學模型和動力學模型，進而建立了軌跡跟蹤控制系統模型，然后設計了結構簡單、運算較快的模糊PID控制器，從實驗結果可以看出，系統的響應速度快、調節精度提高，穩態性能好，這是傳統的PID控制難以實現的，能較明顯地提高控制效果，發揮了傳統控制與模糊控制的長處，具有較強的實際意義。