談談立體幾何中的點到直線距離的求法

甘志國

(北京豐臺二中 100071)

但用以上公式不能求點到直線的距離，下面談談立體幾何中點到直線距離的求法.

圖1

圖2

(3)在空間直角坐標系中，若三點A,B,C(兩點B,C不重合)的坐標分別是(x1,y1,z1),(x2,y2,z2),(x3,y3,z3)，則點A到直線BC的距離

在Rt△APQ中，由勾股定理可得欲證結論成立.

(ⅱ)當P∈l時，可得

=PQ.

綜上所述，可得欲證結論成立.

(2)(ⅰ)當點P?l時，由題設,得

在Rt△APH中，由勾股定理,得

(3)由結論(1)，可得點A到直線BC的距離

由拉格朗日恒等式：

若ui,vi∈C(i=1,2,…,n;n≥2)，則

令n=3，可得恒等式

=(u1v2-u2v1)2+(u1v3-u3v1)2+(u2v3-u3v2)2.

由此恒等式，可得

在該恒等式中令

a1=x2-x1,b1=y2-y1,c1=z2-z1,a2=x3-x2,b2=y3-y2,c2=z3-z2，

由①可得欲證結論成立.

注第(1)問得到的結論就是普通高中教科書《數學·選擇性必修·第一冊·A版》(人民教育出版社，2020)第33頁給出的結論的推廣.實際上，它與第(2)問的結論如出一轍.

題1如圖3所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1,AB=2，點E在棱AB上且AE=EB，求點E到直線A1D的距離.

圖3

解法1如圖4所示建立空間直角坐標系D-xyz，得點D(0,0,0),A1(1,0,1),E(1,1,0)，

圖4

所以點E到直線A1D的距離

題2(2021年高考上海卷第9題)在圓柱底面半徑為1，高為2，AB為上底底面的直徑，點C是下底底面圓弧上的一個動點.若點C繞著下底底面旋轉一周，則ΔABC面積的取值范圍是____.

解法1 如圖5所示，過點C作CC′⊥上底面于點C′，再過點C′作C′H⊥AB于點H，可得AB⊥平面CC′H，所以AB⊥CH.

圖5

可得C′H的取值范圍是[0,1](當且僅當點C′與點A或點B重合時，C′H=0；

當且僅當點C′與上底面的兩個半圓AB的中點重合時，C′H=1).

解法2 如圖6所示建立空間直角坐標系O′-xyz(其中O′是圓柱下底面的中心)，可得兩點A(0,-1,2),B(0,1,2).

可設點C(cosθ,sinθ,0)(0≤θ<2π).

圖6

由定理(2)，可得點C到直線點AB的距離