HPM視角下學生全景式思維的培養

【摘 要】具有知識論、教學論、課程論以及哲學、歷史學等多維視角的HPM，有助于學生建構包含系統思維、邏輯思維、抽象思維、發散思維、創造思維等多種思維在內的全景式思維。教師應在基于HPM視角培養學生的全景式思維方面做出自己的努力。

【關鍵詞】HPM;全景式思維;邏輯意識;方法建構;跨界發展

【中圖分類號】G623.5【文獻標志碼】A【文章編號】1005-6009（2020）01-0047-03

【作者簡介】陳小彬，江蘇省常州市武進區實驗小學分校（江蘇常州，213161）科研中心主任，高級教師，常州市優秀教育工作者。

美國數學史家莫里斯·克萊因提出：“歷史呈現了知識的來龍去脈，敘說人類的認識是如何步步深入的，在抽象的過程中我們就能體會和把握認識提升的關鍵。”數學史研究數學知識的起源、形成和發展，具有知識論、教學論、課程論以及哲學、歷史學等多維視角的HPM，已然成為幫助學生建構包括系統思維、邏輯思維、抽象思維、發散思維、創造思維等多種思維在內的全景式思維的有效途徑。

一、HPM與全景式思維

1972年，在第二屆國際數學教育大會上成立了數學史與數學教學關系國際研究小組（International Study Group on the Relations Between the History and Pedagogy of Mathematics，簡稱HPM）。今天，我們通常也將數學史與數學教育的關系這一學術領域本身稱為HPM。

基于HPM視角，帶領學生追根溯源，相對完整地呈現數學知識產生、衍化和發展的關鍵脈絡，引導學生多維度地認識、理解、“刻畫”數學、應用數學，有助于培養學生的全景式思維。基于HPM視角培養學生的全景式思維，需要教師引導和鼓勵學生嘗試從每個數學符號、每種數學知識的歷史源頭開始研究，明晰或經歷其產生和發展的關鍵過程。

二、基于HPM視角培養學生全景式思維的策略

（一）模塊重組：梳理數學史文化脈絡，喚醒學生全景式思維的邏輯意識

1.閱讀積淀，啟發學生思辨原點。

通過閱讀生動、豐富的數學歷史故事，可以讓學生了解數學發展過程中若干重要人物、重要事件與重要成果，初步了解數學產生與發展的過程，加深對數學的理解，感受數學家鍥而不舍的探索精神和嚴謹態度。蘇教版1 ～ 6年級12冊教材一共安排了65個“你知道嗎？”內容，展示了一些數學家的故事、數學趣聞、數學史料和數學應用案例等，可以借此帶領學生開展豐富多彩的數學閱讀活動，讓學生初步了解所學數學知識的歷史背景，感知數學在人類社會進步和文明發展中的作用，欣賞數學的美。

2.創設情境，搭建學生思考支架。

教學時，把一些知識點置于具體的史料情境中，引導學生開展觀察、比較、分析、抽象、概括等數學活動，有助于他們實現古今知識的對接，加深學生對數學內容及其實質的理解。例如：教學蘇教版五上《認識負數》一課時，可以以負數歷史演變的情境引入新課——我國是世界上最早使用負數的國家。戰國時期，李悝在《法經》中說“衣五人終歲用千五百不足四百五十”。成書于公元一世紀左右的《九章算術》中記載：“糧食入倉為正，出倉為負，收入的錢為正，支出的錢為負。”借助古人的主觀表達幫助學生理解負數，然后與學生現實生活中直觀的溫度計、海拔進行比較，尋找共同點，幫助學生深入理解負數。這樣教學，順應人類思維發展規律，為學生搭建起了思考的支架，在一定程度上促進了學生的數學思考和數學理解。

3.復現歷史，助推學生思維生長。

美國教育心理學家奧蘇貝爾指出：要根據學生原有的認知結構進行教學。原有的認知結構對新知識學習產生重要影響的變量主要有三個，即可利用性、可辨別性和穩定性。在教學過程中重演歷史，幫助學生在原有認知結構的基礎上構建新的認知結構，從而清晰地辨別原有知識和新知識的異同點，并按照一定的結構嚴密地組織起來。如此，面對新的學習任務，學生便能迅速地在認知結構中找到學習新知識的固定點，從而順利實現教材知識結構向學生數學認知結構的轉化，實現原有數學認知結構的擴充和新的數學認知結構的建立。例如：教學蘇教版四下《三位數乘兩位數的筆算》一課，計算123×24，就可以引導學生將古今中外的計算方法進行對比（如圖1）。

通過重演123×24計算的歷史，可以溝通古代印度、古代中國、當今中國的豎式計算方法，讓學生在古今中外數學知識互相作用的基礎上，將所掌握的數學知識形成系統，從而在頭腦中形成相應的數學知識板塊，呈板塊結構狀態的數學知識不僅便于儲存，還便于提取，是一個不斷發展、變化的動態結構，更是學生思維的生長點。

（二）系統重構：鏈接古今數學方法，指向學生全景式思維的方法建構

1.追本溯源，尋找學生概念建構的契合點。

學生學習數學概念的基本方式包括概念的形成與概念的同化。概念的形成揭示的是各種概念是如何通過個體思維的活動轉化為個體所掌握的概念的過程，它一般要經歷“辨別—分化—類化—抽象—檢驗—概括—形式化”的過程。概念的同化實際上就是利用學生已有的知識經驗，以定義的方式直接向學生揭示概念的本質過程。在概念的建構過程中，以追本溯源的方式學習關鍵概念，有助于學生重組經驗世界、拓展認知疆域、提升數學思維。例如：教學蘇教版四上《認識平行》，課始，課件演示鉛筆盒不小心從桌子上掉下去，掉出兩支鉛筆，出現兩種情況——一種是兩支鉛筆都掉到了地上;一種是一支鉛筆掉到了地上，一支鉛筆掉到了椅子上。兩支鉛筆都在地上，在數學里我們就說“兩條直線在同一平面內”。接著出示——早在3000多年前，我國《墨經》說：“平，同高也”“平，謂臺執也，若兄弟”。拓展學生的平面知識，促進學生對平行和平面知識概念的建構。

2.歷史相似，勾連數學家錯誤與學生錯誤的融合點。

學生的理解具有歷史相似性。學生當下遭遇的困難往往是相關學科的創建者經過長期思索和探討后所克服的實際困難。困擾古人的問題往往也會困擾學生，學生在其發展過程中會以類似的方式來克服類似的困難。縱觀數學科學不斷展拓的歷程，以此反觀現實中學生的數學學習。教師可以通過關注歷史上“數學家的錯誤”，深刻理解并正確對待今天課堂上學生出現的類似錯誤，尋找錯誤的同源性，對癥下藥，勾連數學家錯誤與學生錯誤的融合點。

（三）項目推進：實踐探索聚焦本質，推進學生全景式思維的跨界發展

1.序列研究，催生知識與思維的層級遞進。

序列研究是對不同年齡組的被試進行橫向研究，然后在間隔一定時間后，對同一批被試進行一次或多次重復研究，從而構成縱向研究，是橫向研究與縱向研究的結合。開展序列研究可以帶給學生探索的體驗、創新的嘗試、實踐的機會和發展的能力。例如：筆者以蘇教版五上“面積”為主題，帶領學生開展了序列研究活動。通過引導學生多角度地進行“面積”的序列研究，把學生置于歷史的時空，溝通了平面圖形、立體圖形的面積的相關知識，對接了數學中面積的相關知識在實際生活中的應用，在不知不覺中發展了學生以空間形式和數量關系為思維對象，以數學語言和符號為思維載體，以認識、發現數學規律為目的的數學思維。主要研究過程如下：

研究1：我來說面積。查找面積相關的史料，再以故事的形式講一講面積，介紹有關面積的前世今生。

研究2：三角形的面積研究。學生以小組為單位，用多種方法研究梯形、三角形的面積計算公式。

研究3：圓的面積研究。不管哪一種研究路徑，曲邊圖形向直邊圖形的轉化都是圓面積探索中無限圖形序列的終極狀態，也就是無窮系列的極限。

（1）課堂研究：

（2）劉徽方法：? （3）印度圓：S=rc÷2=πr2

（4）教材呈現：

2.跨界融通，啟動創造與思維的深度開發。

所謂跨界，是指突破原有行業的慣例和常規，通過嫁接其他行業的理念和技術實現創新和突破的行為。在數學史料視野下，筆者認為，要關注學生的深度需求，構建線上、線下相融合的學習模式，把數學學習置于大研究的背景下，讓體驗、操作、猜想、合作、交流成為學生學習的常態。如教學蘇教版五上《校園綠地面積》一課，教師將學生分成四人小組，并布置了幾個任務：（1）了解我國有哪些傳統的面積單位（如畝、分等），以及與我們現在學習的國際通用單位之間有什么聯系;（2）每個小組實地勘察，按照1︰100的比例尺繪制校園平面圖;（3）測量校園綠地面積，填寫調查表;（4）開展校園一景寫生活動;（5）設計校園綠地;（6）對校園綠地建設提出改進建議。在上述活動中，學生經歷了查閱史料、實際勘察、測量、應用公式計算等學習過程，甚至為了計算圓的面積計算公式，自覺超前學習，進一步鞏固面積的相關知識，拓展了他們學習、研究的視野。通過開展校園景色寫生、設計校園綠地、對校園綠地建設提改進建議等活動，讓學生將閱讀、研究、實踐、寫作融為一體，不斷構建學習能力的關聯性模型。

總之，HPM視角下的數學教學不僅能促進學生建構知識網絡，還能為其學習的遷移提供潛在的支持，激發學生各種思維能力協同發展，推動學生各種智力因素和非智力因素協調發展，真正實現學生思維的全景式發展。

【參考文獻】

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