概率離散模型的應用研究
——以商品的價格定位為例

鄒樂強

（河南工業和信息化職業學院 基礎部，河南 焦作 454000）

0 引 言

數學模型是近些年發展起來的新學科,是數學理論與實際問題相結合的一門科學.它將現實問題歸結為相應的數學問題,并在此基礎上利用數學的概念、方法和理論進行深入的分析和研究,從而從定性或定量的角度來刻畫實際問題,并為解決現實問題提供精確的數據或可靠的指導。 離散模型，也叫作基于選擇的結合分析模型（Choice-Based Conjoint Analysis,CBC），是一種非常有效且實用的市場研究技術。該模型是在實驗設計的基礎上，通過模擬所要研究產品/服務的市場競爭環境，來測量消費者的購買行為，從而獲知消費者如何在不同產品/服務屬性水平和價格條件下進行選擇。這種技術可廣泛應用于新產品開發、市場占有率分析、品牌競爭分析、市場細分和價格策略等市場營銷領域。同時離散模型也是一種處理離散的、非線性的定性數據的復雜高級多元統計分析技術，它采用Multinomial Logit Model進行數據統計分析。這項技術最初是由生物學家發明的，生物學家利用這種方法研究不同數量的殺蟲劑對昆蟲是否死亡的影響。本文以商品價格為例，建立商品的銷售概率模型進行分析，從而得出期望價格為最優價格的結論。

1 價格的銷售概率離散模型

在商品的銷售中，影響銷售的因素有很多，除了商品的質量、消費者的需求、銷售商的優質服務態度和生產企業良好的售后服務保障體系外，商品的價格往往起著主導作用。實際上，商品的價格能否完全被消費者接受都是事先不能完全確定的，由此帶來商品銷售和銷售收益的隨機性，這表明商品的價格以一定的概率產生相應于銷售的需求量。因此，不同的價格將會導致不同的需求概率，也必須承擔定價引起的風險。

正常買賣活動中，商家可制定出n個從小到大不同的價格：p1,p2,p3,…,pn，經過市場調查，以這些價格銷售時的銷售量依次為：n(p1),n(p2),n(p3),…,n(pn),記這些不同價格下的銷售量總和為：N=n(p1)+n(p2)+n(p3)+…+n(pn)。假定商家制定出的任一價格為p,以pr(p=pi)表示價格pi下的銷售概率。由頻率近似代表概率的定義：，于是就得到價格的銷售概率離散模型，如表1所示。

表1 價格的銷售概率離散模型

定義銷售量最大價為pi0，此時即：。

那么pr(p=pi0)＞pr(p=pi)，這說明當價格取pi0時，銷售概率也是最大的，由此得出結論：銷售概率最大價就是銷售量最大價。一般來說，價格越低銷量越大，但是最低價也有可能不是銷售概率最大價，這是由某些商品的性質決定的，比如服裝、電器等，價格太低就讓人感覺商品的質量有問題反而不去買，這里得出的價格只能由實際數據來決定，而不是憑直覺。根據一般常識，人們總是希望商品買得越多越好，利潤越大越好，那么銷量最大時是否就是利潤最大、這兩種情況下的價格關系等問題需要探討。

2 銷售概率最大價與利潤最大價的關系

2.1 銷售利潤的定義

設pi1為利潤最大價，商品批發價格q，銷售價格p，p≥q顯然成立。非批發成本c，價格p下的銷售量為g(p)，則銷售利潤：w(p)=(p-q)g(p)-c

2.2 討論銷售概率最大價與利潤最大價大小關系

根據銷售利潤的定義，分別將銷售概率最大價p和利潤最大價w代入銷售利潤公式。

①p=pi0，即以銷售概率最大價出售商品時，總體利潤如下。

②p=pi1，即以利潤最大價出售商品時，總體利潤如下。

由于以銷售概率最大價出售時，銷售量最大，故

又由以利潤最大價出售時利潤最大，得

由公式（1）（2）（3）（4）聯立可得：(pi1-q)g(pi1)-c≥(pi0-q)g(pi0)-c，化簡上式即得：(pi1-q)g(pi1)≥(pi0-q)g(pi0)。再由g(pi0)≥g(pi1)得pi1-q≥pi0-q，即得出pi1≥pi0。這就為價格的定位提出了一個理論依據：利潤最大價要高于銷售概率最大價。單從利潤最大化的角度來看，仿佛到這里就找到了最優價格，即利潤最大價，且這個價格不要求銷售量最多，而是在銷量正盛時提價，這就意味著企業要失去一部分客戶，承擔一定的風險。

3 期望價格與定價風險

3.1 期望價格及方差

3.2 價格風險函數

由金融數學知識可知方差是風險的度量，那么期望價格的風險。進一步推廣價格變量方差的定義，引入：相應于價格p的銷售概率分布，給一價格變量ξ，定義其風險函數f(ξ)=Dξ p=E(p-q)2=E(p2-2pξ+ξ2)，化簡上式得f(ξ)=Ep2-2pξ+ξ2。可知風險是給出的價格變量ξ的二次函數，由二次函數的性質得到期望價格的風險是極小值且為最小值。

3.3 比較銷售概率最大價與利潤最大價的風險大小

再由pi1≥pi0可得：①利潤最大價風險≥銷售概率最大價風險；②利潤最大價風險≤銷售概率最大價風險；③，待定。

由以上討論可知，在理論上銷售概率最大價與利潤最大價的風險大小有3種情況，但是可以明確的是風險都比期望價格的風險要大。事實上，要比較兩種價格的風險大小，有一個簡單的公式，假設兩個價格變量pj，pj并令pi≥pj。由風險函數入手，顯然pi-pj≥0，當時，f(pi)≥f(pj)，價格pj的風險較高；反之，價格pj的風險較高。

4 關于風險意義的分析與最優價的選取

4.1 風險的另一種表達

當商家提高價格時，他所顧慮的是銷售量的下降，還有客源的減少，可以稱之為銷售風險，記為p；當商家降低價格時，單價利潤就會下降，雖然銷售風險會減小，但又要承擔利潤下滑的尷尬，可以稱之為利潤風險，記為p。在這里，設定s為負值，p為正值，總體風險設為R，價格因素以外的風險稱為固有風險，設為Ir，那么R=Ir+|s+p|。由上節知道，期望價格的風險最小，即當時 ,|s|=|p|，，化簡得：。由此可知固有風險的大小，一般來自政治、自然等外在影響。

5 結 語

現實世界的變化受著眾多因素的影響，包括確定的和隨機的。因商品的銷售受多從因素的影響，本文從商品的價格對商品的影響來分析，建立了概率模型，求得銷售概率最大價、利潤最大價及期望價格，利用金融數學中方差決定風險的理論對三種價格進行風險分析，并與現代商業經營理念相結合，得出期望價格為最優價格的結論。