基于熱傳導(dǎo)方程的溫度分布模型的設(shè)計與研究

韓洪勇 陳碩 宋宇輝 山東科技大學(xué)電氣信息系

關(guān)鍵字：有限差分法 Fourier定律 熱傳導(dǎo)方程

1 模型建立

1.1 確定溫度分布情況

由于各層阻熱各向同性，所以僅考慮一維狀態(tài)下的熱量分布。將織物材料構(gòu)成的I、II、III層與空隙IV層簡化為只與厚度L有關(guān)的一維平面。

首先，先簡化問題將四層介質(zhì)簡化為兩層新的介質(zhì)a,b熱量隨時間進(jìn)行擴散，需要考慮導(dǎo)熱現(xiàn)象與冷卻現(xiàn)象。建立二層耦合溫度分布模型。再將二層耦合擴展為四層耦合模型，建立基于熱傳導(dǎo)方程的溫度分布模型。

1.1 .1 Fourier定律

Fourier 定律就是描述熱傳導(dǎo)的基本定律。對于熱傳導(dǎo)部分，主要基于Fourier定律推導(dǎo)。

1.1 .2 牛頓冷卻定律

牛頓冷卻定律是研究溫度高于周圍環(huán)境的物體向周圍介質(zhì)傳遞熱量逐漸冷卻時所遵循的規(guī)律。當(dāng)介質(zhì)表面與環(huán)境存在溫差時，單位時間單位面積散失的熱量與溫度成正比，這個比例系數(shù)稱之為熱傳遞系數(shù)。該定律用于計算介質(zhì)中對流熱量的多少。

1.1 .3 熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)

1.1 .4 二層耦合溫度分布模型的建立

首先建立二層介質(zhì)的坐標(biāo)系。根據(jù)推導(dǎo)的熱傳導(dǎo)方程分別確定介質(zhì)a,b的熱傳導(dǎo)方程根據(jù)分別帶入相應(yīng)的介質(zhì)a,b的熱傳導(dǎo)率，密度，比熱。

確定兩層介質(zhì)的初始邊值條件：

左邊界條件的確定：介質(zhì)a左側(cè)與外界接觸，其溫度與恒定的外界溫度相同，固a介質(zhì)左邊界的Dirichlet邊值條件為：

右邊界條件的確定：介質(zhì)b右側(cè)為右邊界，介質(zhì)a將熱量傳遞給介質(zhì)b，b的溫度適中高于假人皮膚的溫度，進(jìn)而，假人相當(dāng)于冷卻源對介質(zhì)b進(jìn)行熱量交換，根據(jù)牛頓冷卻定律可知，Robin右邊界條件為：

經(jīng)過以上步驟，分別得到熱傳導(dǎo)方程，初值條件，邊值條件，則在只有兩種介質(zhì)的情況下建立基于熱傳導(dǎo)方程的二層耦合溫度分布模型。

1.1 .4 四層耦合溫度分布模型的建立

在二層介質(zhì)的基礎(chǔ)上擴展為四層介質(zhì)，首先確定四層介質(zhì)的熱傳導(dǎo)方程。確定耦合條件，初值條件，邊值條件。相鄰兩介質(zhì)的臨界面公有三個，在每一個臨界面的熱流量密度和溫度相同，得到兩個耦合條件，在三個臨界面就可以確定六個耦合條件。在時刻，四層介質(zhì)的溫度均為。確定左、右邊值條件和轉(zhuǎn)化系數(shù)h。

首先查詢資料得出轉(zhuǎn)化系數(shù)h的范圍為[5,25]。其次，通過附件2給出的不同時刻下假人皮膚表面的溫度值，借助變步長多次枚舉法確定最佳轉(zhuǎn)化系數(shù)的值。粗略估計轉(zhuǎn)化系數(shù) h 的值。

經(jīng)過程序進(jìn)行分析，最佳轉(zhuǎn)化系數(shù)的值的范圍應(yīng)該在[8,9]之間。設(shè)置步進(jìn)長為0.01，在[8,9]范圍內(nèi)，經(jīng)過MATLAB枚舉，確定h的值應(yīng)在[8.61,8.63]。進(jìn)一步縮小步進(jìn)值為0.0001，范圍在[8.61,8.63]范圍之間。經(jīng)過枚舉遍歷，確定出h的精確值為8.6227。得出基于熱傳導(dǎo)方程的溫度分布模型。

2 基于熱傳導(dǎo)方程的溫度分布模型的求解

在1.1.4中建立的溫度分布模型屬于拋物型方程，因為邊值條件復(fù)雜且難以求得解析。本文將采用有限差分法。將連續(xù)的定解區(qū)域用有限個離散點結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格來代替，把定解區(qū)域上的連續(xù)變量的函數(shù)用網(wǎng)格上定義的離散變量的函數(shù)來近似，把原方程和定解條件中的微商用差商來模擬。最終，把原微分方程和定解條件用代數(shù)方程組來代替，即有限差分方程組。解此方程組就可以得到原問題在離散點上的近似值。

傳熱問題數(shù)值求解的基本思是將時間、空間上的連續(xù)物理量離散在各個節(jié)點上，用有限差分法求解物理量的數(shù)值解。

差分有顯式和隱式兩種，對于顯式格式，求解計算量更小，但精度較低，隱式差分必須求解聯(lián)立方程組，穩(wěn)定性和精確度較高但計算量較大。為了精確度，所以選用隱式差分格式。

常用的差分格式有：向前差分格式、向后差分格式和C-N差分格式（Crank_Nicolson差分格式）。

（2）溫度分布模型的求解步驟

經(jīng)過上述三種差分格式的比較，本文采用向后差分格式和迭代法求解。建立隱式向后差分格式，將差分格式整理為代數(shù)方程組。考慮溫度分布模型中的最右端頂，略去最小項，用二階中心差商代替u對x的偏導(dǎo)數(shù)：得到：

考慮溫度分布模型中的熱傳導(dǎo)方程的左端項，用一階前差商代替u對t的一階偏導(dǎo)數(shù)，得到：

建立差分格式：

在結(jié)點處考慮不同介質(zhì)下的熱傳導(dǎo)方程，得到介質(zhì)內(nèi)部的差分格式。依據(jù)熱流量密度的耦合條件，得到介質(zhì)邊界處的差分格式。依據(jù)第 IV 層介質(zhì)右側(cè) Robin 邊值條件，得到邊界4上的差分格式。之后將差分格式整理為方程組。

利用追趕法解三對角線方程組

step1：對三角矩陣A做LU分解,即A=MN。

step2：令y=NU,原方程組等價為MNU=b。

step3：追的過程：由My=b,求y。

step4：趕的過程：由NU=y，求U。

step5：求得方程組解。

根據(jù)追趕法求得不同時刻不同厚度下的溫度分布情況。四層介質(zhì)的四個臨界面相同時間間隔 下的溫度值。繪制成溫度關(guān)于時間的二維曲線。如下圖所示：