基于有限元法的空調換熱管的塑性失穩分析

岳建軍

（英格索蘭亞太工程技術中心，江蘇 太倉215400）

0 引 言

在工程設備和結構中存在著許多受壓構件，對這些受壓構件的設計校核不僅要進行強度（應力）和剛度（變形）的計算，往往還要進行穩定性計算（也稱為屈曲分析）。為了節省材料和減輕質量，寬長薄壁結構和細長桿狀結構在工程設計中得以廣泛應用，在受壓狀態下，這類結構經常因為結構失穩而導致失效或破壞，并非因為結構強度不夠或者剛度不足。歷史上也存在不少由于結構失穩而導致的重大事故：1907年發生的加拿大魁北克省勞倫斯河上的魁北克橋的倒塌事故就是由于該橋梁的懸臂下弦在受壓作用失穩所致；1987年發生在美國哈特福德市的一座體育館網架屋頂坍塌事故則是由于鋼屋架結構發生壓桿屈曲而導致的。結構失穩會導致構件突然喪失承壓能力而發生整體或局部垮塌，這種破壞有可能是災難性的。因此，研究結構的穩定性問題，對受壓構件進行屈曲分析是工程結構設計校核的主要任務之一。

工程中常見的結構失穩包括壓桿失穩[1]，以及薄板、薄殼的受壓失穩[2]。例如在內壓作用下的圓柱形薄殼，壁內應力為拉應力，這就是一個強度問題，比如商用空調機組的管殼式換熱器（如圖1）的圓筒形殼體的強度校核。但如果圓柱形薄殼受到了均勻外壓的作用，此時壁內應力變成了壓應力，則當外壓達到某一臨界值時，薄殼的圓形平衡就變為不穩定，這就是外壓作用下的薄殼失穩問題，比如管殼式換熱器中的換熱管會受到制冷劑的外壓作用，在設計時候就需要考慮其穩定性問題[3]。

圖1 管殼式換熱器

在工程計算時，要評估結構在載荷作用下的失穩風險，可以先進行線性屈曲分析（或稱特征值屈曲分析），線性屈曲分析可以預測結構在失穩或塌陷之前所能承受的最大荷載（或稱臨界載荷）。基于有限元模型的特征值分析不僅可以得到屈曲載荷，還可以顯示相應的失穩模態，該方法分析簡單，計算速度快。但特征值屈曲分析基于線彈性理論，其往往產生非保守的結果，計算得到的臨界載荷要高于實際情況。因此，在實際工程結構分析中一般不采用特征值屈曲分析，但特征值屈曲分析可以作為非線性屈曲分析的初步評估。

在實際的工程應用中，結構在外力作用下往往會經歷材料的非線性或邊界的非線性過程，而結構本身也可能存在初始幾何缺陷，因此要研究此情況下的結構失穩問題，就需要進行非線性屈曲分析。非線性屈曲分析基于非線性靜力學分析，在計算時隨著荷載的逐漸增加來尋找結構失穩的荷載水平，直到求解過程開始趨于發散為止[4]，如圖2所示。計算模型中可以包括結構的初始幾何缺陷、材料的塑性行為、邊界條件的非線性及大撓度響應等特征[5-7]。基于彈塑性材料的非線性屈曲分析還可以模擬結構的塑性失穩，即構件在載荷作用下在整體上或某一局部的全厚度上發生過度塑性變形而不能保持原有形狀的一種失穩的失效形式。例如受外壓的薄殼（如前文提到的管殼式換熱器中的換熱銅管）在外壓較大時會被壓潰。

圖2 非線性屈曲分析載荷-位移（撓度）曲線

1 基于有限元法的非線性屈曲分析

1.1 算例

本文以某一長度為200 mm、外徑為26 mm、內徑為24 mm、壁厚為1 mm的薄壁圓管為例（如圖3），假設的邊界條件為兩端剛性固定，受均勻外壓作用，并給定材料的彈性模量為2×105MPa，泊松比為0.3。運用大型商用有限元分析軟件ANSYS Workbench進行非線性屈曲分析，通過給定不同的幾何初始缺陷、不同的材料屈服強度及彈塑性材料模型來分析研究幾何初始缺陷、材料的屈服強度及塑性硬化對結構失穩的臨界載荷的影響。

圖3 薄壁圓管算例

1.2 結果分析

1.2.1 初始幾何缺陷對屈曲臨界載荷的影響

在該算例中，分析時采用雙線性隨動硬化的彈塑性材料模型, 并假定材料的屈曲應力（以Ys表示）為200 MPa，塑性硬化階段材料的切線模量（以Et表示）為1500 MPa。需要說明的是，初始幾何缺陷系數的施加需基于ANSYS Workbench特征值屈曲分析的計算結果，特征值屈曲分析結果的第一階屈曲模態如圖4所示。

圖4 線性屈曲分析結果（第一階屈曲模態）

由圖4可知，該屈曲模態的最大位移約為1.12 mm，圓管的初始幾何缺陷可以通過缺陷系數乘以線性屈曲模態位移來施加。比如定義缺陷系數為0.1，其對應的最大初始缺陷為0.112 mm。

計算不同的幾何缺陷系數（Defect Factor，以DF表示）下的圓管在均勻外壓作用下的載荷位移曲線，如圖5所示。該圓管屈曲后的結構變形如圖6所示。從該曲線可以看出，隨著載荷的增加，屈曲載荷位移曲線在到達某一臨界點后出現突變，該突變處所對應的載荷即為結構的失穩臨界載荷，在該臨界點之后，隨著載荷的微小增加，位移呈現急劇上升的趨勢。在初始幾何缺陷系數分別為0.100、0.010、0.001的情況下，該圓管的屈曲臨界載荷分別為12.4、18.8、20.5 MPa。可見，改善初始幾何缺陷可以有效提高結構失穩的臨界載荷。同時也可以看到，當幾何缺陷系數從0.01降低到0.001時，屈曲臨界載荷僅從18.6 MPa增加到20.5 MPa，這說明當初始幾何缺陷能夠控制在足夠小的范圍內時，幾何缺陷的進一步降低對結構失穩臨界載荷的改善呈下降趨勢。

圖5 不同幾何缺陷系數DF下的載荷位移曲線

1.2.2 材料屈服強度對屈曲臨界載荷的影響

在該算例中，假定圓管的初始幾何缺陷系數（以DF表示）為0.01，分析時仍采用雙線性隨動硬化的彈塑性材料模型，并假定塑性硬化階段材料的切線模量Et為1500 MPa，通過給定三種不同的屈服應力水平（200、225、250 MPa）來研究材料的屈服強度對屈曲臨界載荷的影響。

計算不同的材料屈服強度Ys下的圓管在均勻外壓作用下的載荷位移曲線如圖7所示。

圖6 圓管屈曲后的結構變形

圖7 不同材料屈服強度Ys下的載荷位移曲線

從圖7可以看出，在材料的屈服強度分別為200、225、250 MPa的情況下，該圓管的屈曲臨界載荷分別為18.8、20.8、22.5 MPa。由此可見，由于材料屈服強度的提高，使得結構的承載能力更強，結構失穩的臨界載荷也會相應增大。

1.2.3 材料應變硬化對屈曲臨界載荷的影響

塑性材料在超過屈服階段之后，此時材料應力將會隨著應變的增大而不斷加大，這說明材料又恢復了抵抗變形的能力，要使其繼續變形，就必須增加載荷，這一現象稱為材料的強化（或稱應變硬化）[1]。材料經過應變硬化階段后其屈服強度得以提高，根據1.2.2節的計算結果可以看出，經過材料應變硬化過程的結構，其抵抗失穩的能力也會得以提高。

材料在屈服之后，應力應變曲線呈現非線性。在進行工程分析時，通常需要對應力應變曲線進行簡化，如前述的雙線性隨動硬化的彈塑性模型，將塑性應變硬化階段用直線代替，其對應的斜率以切線模量Et來表征，這樣與彈性階段（對應的斜率為材料的彈性模量E）共同組成一個雙線性的材料本構關系，如圖8所示。

在實際工程應用中，某些材料在屈服后有明顯的屈服流動階段，當屈服流動階段比較長或者硬化程度比較小時可以忽略，這時可以簡化為理想彈塑性材料模型[8]，即應力達到屈服點之前，應力應變呈線性關系，應力達到屈服點之后，應力保持為常數σs。此時對應的切線模量Et=0。在本算例中，假定圓管的初始幾何缺陷系數（以DF表示）為0.01，并假定材料的屈服強度（以Ys表示）為200 MPa，通過給定三種不同的切線模量（0、1500、3000 MPa）來研究材料的塑性應變硬化階段的材料切線模量對屈曲臨界載荷的影響。

計算不同的材料塑性應變硬化階段的切線模量Et下的圓管在均勻外壓作用下的載荷位移曲線如圖9所示。

圖8 材料拉伸應力應變簡化曲線

圖9 不同材料切線模量Et 下的載荷位移曲線

從圖9可以看出，在材料的切線模量分別為0（即理想彈塑性材料）、1500、3000 MPa的情況下，該圓管的屈曲臨界載荷分別為18.6、18.8、19.1 MPa。由此可見，由于材料切線模量的增大（通常體現在材料具有更高的抗拉強度或更小的延伸率和韌性），材料呈現更短的屈服流動階段及更大的塑性硬化程度，結構失穩的臨界載荷也會相應增大。

1.3 實際案例

結合以上分析，對某實際空調產品中的換熱管設計進行了有限元仿真計算。在實際應用中，為了增加換熱管的換熱面積，提高換熱效果，通常采用的是螺旋翅片管（包括光管段、過渡段及翅片段），如圖10所示。

盡管在翅片加工時由于材料的擠壓變形，導致翅片段的最小壁厚小于光管段，但在有限元分析時候，考慮到翅片加工時材料的應變硬化行為，翅片段材料的屈服強度得以提高，其抵抗失穩的載荷反而要高于光管段和過渡段，這也與實驗結果相吻合。實際的高效換熱管的樣件測試結果表明，塌陷（失穩）通常發生在光管段和過渡段。而基于有限元分析得到結構發生失穩時的臨界載荷與試驗結果也十分接近（如表1）。

圖10 螺旋翅片換熱管

表1 實驗失穩壓力與FEA計算結果對比

2 結 論

相比于線性特征值屈曲分析，非線性屈曲分析可以在計算模型中考慮結構的幾何初始缺陷、材料的塑性行為、邊界條件的非線性及大撓度響應等特征，能較好地得到結構的屈曲特性，在工程分析中越來越受到重視。考慮彈塑性材料的非線性屈曲分析還可以模擬結構的塑性失穩，從而可以進一步提高工程分析的精度。本文結合基于彈塑性材料的薄壁圓管非線性屈曲分析算例，研究了幾何初始缺陷、材料的屈服強度及應變硬化對結構失穩臨界載荷的影響，為空調管殼式換熱器中換熱管的設計提供了借鑒與指導。計算結果表明，在進行空調管殼式換熱器中換熱管的失穩分析時，不僅要考慮結構的初始幾何缺陷，必要時還需考慮材料的彈塑性力學行為（比如翅片換熱管加工時所發生的材料應變硬化行為）。在條件允許的情況下，建議通過拉伸試驗得到材料的實際應力應變曲線作為有限元分析的輸入，從而可以更準確地預測結構失穩的臨界載荷，達到降低實驗成本、優化結構設計的目的。