壓電陶瓷復合換能器固有頻率的有限差分法?

張 超 姚春東 具自強 賈賀通 董子龍 武 勇

0 引言

超聲換能器是超聲振動系統中最重要的部分之一[1]。在1880年居里兄弟發現壓電效應以及1916年法國物理學家郎之萬發明壓電換能器之后[2]，壓電陶瓷換能器因其機電轉換效率高、成本低、容易成型等優勢，已成為應用最為廣泛的一種換能器。壓電陶瓷復合超聲換能器是近幾年國內外專家學者的研究熱點。事實上，壓電陶瓷復合超聲換能器的結構形式多種多樣，例如：壓電陶瓷圓管復合超聲換能器(由壓電陶瓷圓管與金屬預應力管組成)、鑲拼式復合壓電超聲換能器(由金屬預應力管、可調柱形彈性脹套內芯和柱面壓電陶瓷環組組成)、寬頻帶壓電陶瓷換能器(由兩個徑向增強復合振子沿軸向疊加組成)等[3?5]。該類換能器的結構形式大多是在壓電陶瓷圓環(管)與金屬圓環(管)的復合結構上進行的進一步改進或集成。

為獲得換能器的最佳工作狀態，換能器的工作頻率需為其固有頻率，因此對換能器徑向振動固有頻率的計算就顯得極為重要。考慮到換能器中壓電陶瓷圓管與金屬外圓管復合結構的典型性，本文以由徑向極化的壓電陶瓷圓管與金屬預應力管沿徑向復合而成的二元壓電陶瓷復合換能器為例，利用有限差分法，通過對其固有頻率的研究，以期說明有限差分法在計算壓電陶瓷復合超聲換能器固有頻率方面的可行性及準確性。相關專家對上述結構換能器的固有頻率進行了大量研究。例如：文獻[6]基于薄殼理論，忽略了壓電陶瓷薄圓管中的徑向正應力及剪切力，分析了壓電陶瓷薄圓管換能器的固有頻率。文獻[7]對由徑向極化的壓電陶瓷薄壁圓管和金屬薄壁預應力管復合而成的換能器進行了固有頻率的相關研究。文獻[8]研究了由壓電陶瓷薄壁圓管與金屬預應力管所復合而成的換能器，對其固有頻率進行了相關計算。文獻[9]則研究了由徑向極化的壓電陶瓷圓管與金屬預應力管沿徑向復合而成的換能器，將其近似看成力學中的平面應變問題，分析了其純粹的徑向振動，得出了其等效電路及頻率方程。針對上文中所指出的幾種換能器的研究，都是基于本構方程、相容方程、波動方程，將換能器等效為等效電路圖，從而推導出換能器徑向振動的頻率方程。這種方法可以對換能器徑向振動的固有頻率進行計算，但計算過程較為繁瑣，且不易于計算機實現。

與之相比，有限差分法是求解變系數微分方程的有效手段，具有適用性強、邏輯清晰、計算機可編程程度高等顯著優點[10]。利用有限差分法對換能器固有頻率進行計算，可以大大縮短數學推導過程，公式復雜程度也會得以簡化，還可進一步簡化計算機編程過程。且有限差分法對換能器固有頻率進行計算未見相關公開報道。基于以上考慮，本文提出計算換能器固有頻率的有限差分法，希望能夠豐富換能器固有頻率的研究理論，以及提供一種新的計算方法供工程人員選擇。本文推導了該換能器徑向振動的數學模型及其有限差分形式，給出了對換能器徑向振動固有頻率理論計算的有限差分方法，并分析了換能器徑向振動固有頻率與其結構尺寸的影響關系。本文所建立的換能器徑向振動固有頻率的有限差分法具有一定的通用性，同樣適用于結構形式相近的換能器及其他元器件。

1 換能器徑向振動的有限差分形式

為便于研究，做如下假設：(1)換能器的軸向尺寸遠大于其徑向尺寸，按照彈性力學中的平面應變問題[11]，忽略其軸向振動，將其看作純徑向振動進行分析。(2)忽略壓電陶瓷圓管與金屬預應力管之間過盈量的影響。

圖1為一個由內部徑向極化的壓電陶瓷圓管和外部金屬預應力管復合而成的壓電陶瓷復合超聲換能器，圖1(a)褐色部分為壓電陶瓷圓管，空白部分為金屬預應力管。ra、rb分別為壓電陶瓷圓管內外徑；rb、rc分別為金屬預應力管內外徑；h為換能器的高度；Er為外界激勵電壓。壓電陶瓷圓管和外部金屬預應力管為過盈配合。工作時，給予壓電陶瓷圓管以外界電壓激勵，激發外部金屬預應力管發生徑向振動，從而沿徑向產生聲波輻射。

圖1 換能器結構示意圖Fig.1 Schematic diagram of the transducer structure

1.1 換能器徑向振動的力學模型

由換能器的結構及工作原理，將換能器簡化為由壓電陶瓷圓管與金屬預應力管組成的組合厚壁筒力學模型。圖2為壓電陶瓷復合超聲換能器力學模型，Pe為換能器所受環境載荷。

圖2 換能器徑向振動的力學模型Fig.2 Mechanical model of radial vibration of transducer

1.2 換能器徑向振動的數學模型

固有頻率是物體的固有屬性[12]，進行換能器固有頻率計算時換能器應處于自由振動狀態，此時沒有外加電壓激勵和環境壓力。針對1.1 節所建立的力學模型，綜合壓電彈性力學、厚壁筒理論可推導出換能器徑向振動的數學模型為

其中，

式中，u1r、u2r分別為壓電陶瓷圓管、金屬預應力管的徑向位移；分別為聲波在壓電陶瓷材料、金屬材料中的徑向傳播速度；ρ1、ρ2分別為壓電陶瓷、金屬材料的密度；σ1r、σ1θ、σ2r、σ2θ分別為壓電陶瓷圓管、金屬預應力管的徑向、周向應力；SE11、SE12、SE13、SE33分別為壓電陶瓷的彈性柔順常數；E、γ分別為金屬材料的楊氏模量和泊松比。

1.3 數學模型的有限差分形式

利用有限差分法進行計算，需先建立換能器徑向振動的離散模型。取r-z平面為研究平面，沿徑向將換能器進行離散為I個節點，單元長度為dr。壓電陶瓷圓管內壁處為第一個節點，壓電陶瓷圓管與金屬預應力管配合處為節點i0，金屬預應力管外壁處為節點I。圖3為換能器徑向振動的離散模型示意圖。

對位移函數進行分離變量，有u1r=u1ejωt、u2r=u2ejωt，并由牛頓前差公式、中心差分公式，可得以下結論。

在壓電陶瓷圓管內邊界處， 0 邊界條件σ1r|r=ra=0的差分形式為

壓電陶瓷圓管波動方程的差分形式為

圖3 換能器徑向振動的離散模型Fig.3 Discrete model of radial vibration of transducer

其中，

式中，k1=ω/V1為壓電陶瓷圓管振子徑向振動的波數；

壓電陶瓷圓管與金屬預應力管連續處，節點i0的差分形式為

其中，

金屬預應力管的波動方程的差分形式為

其中，

金屬預應力管外壁邊界處，邊界條件σ2r|r=rc=0的差分形式為

其中，

由以上結論，可以得到如下n階齊次方程組：

根據本文所建立的有限差分法，可以對式(2)～(6)進行變形處理為

式(8)中的第1 式和第5 式分別對應所建立力學模型的內外邊界條件，在處理邊界條件時，可以引入有限差分法進行邊界處的節點進行數值計算；第2 式、第3式和第4 式可以對內部節點進行數值計算。當對時間同樣進行離散處理時，并給定初始位移和初始速度時，可以根據所建立的有限差分法構建如圖4所示的差分網格。

圖4 差分網格Fig.4 Difference grid

圖4中，矩形a 表示有限差分法進行計算時內邊界處(第1 個節點)是如何進行數值計算的：首先假設內邊界處節點位移為0；其次，根據初始條件計算出其他內部節點的位移；最后根據第2 個節點對內邊界處節點位移進行覆蓋計算。矩形b 表示有限差分法進行計算時外邊界處(第I個節點)是如何進行數值計算的：首先，根據初始條件計算出其他內部節點的位移；最后根據第I-1個節點對外邊界處節點位移進行計算。矩形c、矩形d 則表示內部節點的數值計算路線：某內部節點每一時刻的位移是由前一時刻的3 個節點位移及前二時刻的一個節點位移計算所得。

2 換能器徑向振動的特征方程

式(7)為齊次線性方程組，其有非零解的條件是系數行列式為0，即：

矩陣Q為三對角矩陣，由高斯消元法對行列式|Q|進行處理，可得

其中，

方程(10)即為換能器徑向振動的特征方程，求解方程(10)即可得換能器徑向振動的n-1階固有頻率。

3 計算實例1

對壓電材料為PZT-4 和金屬預應力管為鋁合金的換能器進行固有頻率計算，以期驗證有限差分法的可行性及準確性。其材料參數為：ρ1=7500 kg/m3，SE11=12.3×10?12m2/N，SE12=-4.05×10?12m2/N，SE13=-5.31×10?12m2/N，SE33= 1.55×10?12m2/N，ρ2= 2700 kg/m3，E= 7.15×1010N/m3，γ= 0.34。其結構參數為：ra= 21 mm，rb= 26 mm，rc= 31 mm，l1=l2=34 mm。

利用數值仿真軟件進行編程，取不同的節點數以檢驗是否滿足計算精度。節點數與固有頻率關系曲線如圖5所示。由圖5可以看出，隨著節點數的增加，固有頻率也隨之變大，直至接近某一固定值。針對該計算實例，可以看出，節點數從2001 個開始，固有頻率變化非常緩慢，有限差分法達到一定的精度要求。為保證計算結果的準確性，取計算節點為2501 個，如表1所示，計算結果ft與文獻[7]已有實驗結果fe相差4.2%，符合很好，滿足工程要求。

圖5 頻率與節點數關系曲線Fig.5 Relationship between frequency and number of nodes

表1 換能器固有頻率的理論計算值及實驗測量值Table 1 Theoretical calculation and experimental measurement of the natural frequency of the transducer

4 計算實例2

為進一步驗證有限差分法的可行性及準確性，對與計算實例1 尺寸不同的換能器進行計算，其材料參數與計算實例1 完全一致，其結構參數為：ra= 50 mm，rb= 58 mm，rc= 63 mm，l1=l2=84 mm。

該計算實例固有頻率與節點數的關系曲線如圖6所示。由圖6可以看出，固有頻率在節點數為1951,之后變化非常緩慢，并隨著節點數的增加，逐漸接近某一固定值。為保證計算精度，取節點為2601 個，如表2所示，計算結果ft與文獻[7]已有實驗結果fe相差1.85%，符合很好，滿足工程要求。

圖6 頻率與節點數關系曲線Fig.6 Relationship between frequency and number of nodes

表2 換能器固有頻率的理論計算值及實驗測量值Table 2 Theoretical calculation and experimental measurement of the natural frequency of the transducer

5 換能器徑向振動的固有頻率與其結構尺寸的關系

針對不同結構尺寸的換能器，給出其徑向振動固有頻率與其結構尺寸之間的關系。換能器主要的結構尺寸為壓電陶瓷圓管與金屬預應力管的內外徑，即ra、rb、rc。利用數值仿真軟件進行編程計算，通過換能器徑向振動特征方程得出不同結構尺寸下的換能器徑向振動的固有頻率。

保持壓電陶瓷圓管與金屬預應力管的壁厚不變，只改變壓電陶瓷圓管的內徑，即ra。取ra= 21～31 mm，壓電陶瓷圓管與金屬預應力管的壁厚為5 mm，計算結果如圖7所示。由圖7可以明顯看出：換能器徑向振動的固有頻率隨壓電陶瓷圓管內徑的增大而降低。

圖7 固有頻率與壓電陶瓷圓管內徑的關系Fig.7 Relationship between natural frequency and inner diameter of piezoelectric ceramic tube

保持換能器總壁厚不變，只改變壓電陶瓷圓管與金屬預應力管套裝處尺寸rb，取ra= 21 mm、rc= 31 mm。引入壁厚比λ= (rb-ra)/(rc-ra)，壁厚比表示壓電陶瓷圓管厚度占換能器總厚度的比例。當λ為0時，換能器就成為了一個金屬預應力管；λ為1 時，換能器就成為了一個壓電陶瓷圓管。計算λ= 0～1 時，結果如圖8所示。由圖8可以明顯看出：換能器徑向振動的固有頻率隨換能器壁厚比的增大而降低。這可能是因為壓電陶瓷材料的彈性模量比金屬材料的彈性模量要小，當換能器的壁厚比變大時，相當于換能器中壓電陶瓷材料所占比例變大，因此固有頻率會變小。

圖8 固有頻率與壁厚比的關系Fig.8 Relationship between natural frequency and radius ratio

6 結論

(1)本文以由徑向極化的壓電陶瓷圓管與金屬預應力管沿徑向復合而成的二元壓電陶瓷復合換能器為例，驗證了有限差分法在計算壓電陶瓷復合超聲換能器固有頻率方面的可行性及準確性。有限差分法可以大大縮短數學推導過程，簡化公式復雜程度和計算機編程過程。

(2)推導了換能器徑向振動的數學模型及其有限差分形式，給出了徑向振動的特征方程。通過對計算實例固有頻率的計算驗證可知：對換能器所取離散節點處越多，計算結果越接近真實值，但會增加計算時長，需取用合適的節點處進行理論計算。

(3)通過對不同結構尺寸的換能器徑向振動固有頻率的計算可知：換能器徑向振動的固有頻率隨壓電陶瓷圓管內徑的增大而降低，隨換能器壁厚比的增大而降低。

(4)本文所建立的換能器徑向振動固有頻率的有限差分法具有一定的通用性，同樣適用于結構形式相近的換能器及其他元器件。