單位圓盤上凸調和函數的系數條件與擬共性延拓

江蘇南京理工大學理學院 楊佳霖 張 珣 邱鄭宜人

一、緒論

有關調和函數的更多細節，我們可以查閱參考文獻[8]，[9]和專著[2]。

則函數f ∈H 是α 階的凸調和函數（見[9]）。我們記CH（α）為α 階凸調和函數組成調和函數類。

當f 是調和 的 時候，通過(1.2)，Avci 和Zlotkiewicz([1])利用系數an，bn給出了f 成為星象函數的一個充分條件，Silverman([10])給出了當b1=0 時，f 是單葉的、保向的和星象的充分條件。Jahangiri ([6])推廣了當b1不一定為0時的相應結果。Hamada等（[5]）給出了使f 可以擬共性延拓到整個復平面的一個充分條件。

二、α 階凸的充分系數條件

在本節中，對于f ∈H，我們將證明關于f ∈CH（α）以下充分條件。

那么f 在單位圓盤Δ 內是單葉調和函數，且f ∈CH（α）。

證明 首先我們證明f 是局部單葉的且在單位圓盤△內保向，這是因為

在下文中，我們驗證f 是單葉的。如果g（z）=0，則f 是解析的，并且其單葉性遵循其凸性（[3]）。如果g（z）≠0，我們現在證明當z1≠z2時，f（z1）≠f（z2）。

對于單位圓盤Δ 內的z1≠z2，我們得到z（t）=（1-t）z1+t z2∈Δ，其中0 ≤t ≤1。因此可以寫成：

另一方面，通過(2.1)

聯合(2.2)和（2.3），我們可以得到f 是單葉的。

下面證明f ∈CH（α）。根據(1.3)，我們只需要證明

其中，z=reiθ，0 ≤θ＜2π，0 ≤r＜1, and 0 ≤α＜1。

不難驗證Rew ≥α 當且僅當|1-α+w|≥|1+α-w|，因此我們只需證明|A(z)+（1-α）B(z)|-|A(z)-（1+α）B(z)|≥0，

通過(1.2)中h 和g 的系列展開，我們得到了

將(2.5)、(2.6)與條件(2.1)、(2.4)相結合，得到

證明完畢。

三、調和函數的擬共形和擬共形延拓

由于f 不是仿射映射，通過(2.1)，易知

結論2 f 在單位圓盤Δ 上是絕對連續的。

對于任意z1，z2∈Δ，且z1≠z2，有

這意味著f 在單位圓盤Δ 上是絕對連續的。

在[5]中證明了以下定理：

定理3的證明 根據定理A，為證明定理3，我們只需要驗證（2.1）是否滿足定理A 中的條件。

對于任意n ≥3，且

證明完畢。