巧用中點解題

江蘇省蘇州國際外語學校 吳妍迪

線段的中點把線段分成長度相等的兩個部分，是幾何圖形中的一個特殊的點。圖形中出現的中點，可以引發我們豐富的聯想。解題中，經常需要根據問題具體情境，利用中點構造恰當的輔助線，解決問題。下面結合幾道例題具體談談如何巧用中點解決問題。

例1：如圖1，在△ABC 中，AB=AC，延長AB到點D，使BD=AB，取AB 的中點E，連接CD 和CE。求證：CD=2CE。

分析：從條件分析，圖中出現了兩個中點：E 為AB 中點，B 為AD 的中點。而E、B 在邊AD 上，不能發揮中線或中位線的作用。但從結論分析，此題目求證的是長度的2 倍關系，聯想到三角形中位線、直角三角形斜邊上的中線構造輔助線，然而此題未出現直角，只能構造中位線，并且構造長度為DC 一半長度的中位線，即找到了以B 為一端點的中位線。

所 以，取AC 中 點F，連 接BF。BF 為△ADC 的 中 位 線，BF=CD，易證△EBC ≌△FCB，則CE=BF，得證。

小結：本題中直接給出一個中點，認真審題后不難發現：點B 是線段AD 的中點。當已知條件中出現中點時，常常構造三角形中線或中位線來解題。又因為求證倍半關系，在未出現直角的情況下，選擇構造三角形中位線求解。

例2： 如 圖2， 已 知 正 方 形ABCD 中，E 為對角線BD 上一點，過E 點作EF ⊥BD 交BC 于F，連接DF，G 為DF 中點，連接EG，CG。

（1）求證：EG=CG；

（2）將圖2 中△BEF 繞B 點逆時針旋轉45°，如圖3 所示，其他條件不變，問（1）中的結論是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由。

分析：（1）本小題要求證的線段EG、CG 分別是兩個直角三角形△EFD、△CFD 內的線段，而G 點為公共斜邊DF 上的中點，則EG、CG 分別為兩個三角形斜邊上的中線，易聯想到直角三角形中線性質定理，DF 為公共邊，從而證明兩條線段相等。

（2）本小題在進行旋轉變換后，DF 的中點G 不屬于直角三角形中，EG、CG 不再是中線，無法發揮三角形中線的作用。按照題（1）的經驗，如果能構造出直角三角形斜邊上的中線模型，即可得證（見法一、法二）。如果不構造直角三角形，那么借助中點，仍可聯想中位線模型嘗試解決（見法三）。

法一：借助EF ⊥AB,構造直角三角形。延長EF 與CD 交于點H，連接GH（如圖4 所示）。此時GH 為Rt △FHD 的中線，是DF 長度的一半，與GF 長度相等，從而易證△EFG ≌△CHG，得證。

法二：借助DF 的中點G、EF ∥AD，構造“×字型”全等及直角三角形。延長EG 與AD 的延長線相交于H 點，連接EC、HC。（如圖5 所示）此時，EG=GH，G 為EH 的中點。又易證△EBC ≌△HDC，則∠ECH=90°，從而用直角三角形斜邊上的中線得證。（也可用其他方法得到，如證明△ECH 為等腰直角三角形等）

法三：借助DF 的中點G，取AE 的中點H，連接AG，如圖6 所示,此時GH 為梯形EFDA 的中位線，與EF 平行，加之H 為AE 的中點，易證△AGE 為等腰三角形，AG=EG。由對稱變化可得AG=GC，從而得證。

小結：本題第一小題給出具有公共邊的兩個直角三角形，利用斜邊上的中線證明線段相等，給出中點聯想三角形中線的方法。運用到第二小題，只給出中點，對比第一小題，缺少直角三角形的條件。通過對題目已知條件的分析，利用EF ⊥AB、DF 的中點G 分別構造直角三角形模型，解決問題。同時，在沒有出現直角三角形的情況下，運用中點聯想到常用的中位線模型，同樣能快速解決問題。

直角三角形中斜邊中線及其性質在直角三角形中起著重要作用，除了出現2 倍關系之外，這條中線還把直角三角形分割成兩個頂角互補、底角互余的等腰三角形，借助中點，如果我們能把握圖形特征，恰當構造出直角三角形斜邊上的中線，借助它的性質，往往能幫助我們迅速打開解題思路，順利解決問題。

中位線是三角形中具有重要性質的線段，三角形中位線定理更是平面幾何中具有重要價值的定理，它既呈現出了線段之間的位置關系，又傳遞了線段長度的關系，在一些幾何解題中，我們常常會見到它的身影，特別是又遇到了中點，往往會聯想到三角形中位線，利用中位線定理建立模型，解決問題。

巧用中點解決問題，當我們把握住圖形的特征，讀懂題目條件的含義，分析結論，構造恰當的中線及中位線，就能幫助我們迅速、正確地解決復雜問題。