三元實二次型的分類

劉歡 魏姣

【摘要】三元實二次型的規(guī)范形是由二次型唯一確定的，根據(jù)規(guī)范形的類型對三元實二次型進行一個全面的分類.化二次型為規(guī)范形的方法有很多種，比如，非線性替換法、合同變換法.本文介紹一種特征值判別法，根據(jù)二次型矩陣的特征值的正負(fù)性確定其規(guī)范形.

【關(guān)鍵詞】特征值;實二次型;規(guī)范形;分類;

【基金項目】國家自然科學(xué)基金（11801525）.

二次型f（X）=X′AX是線性代數(shù)中的重要內(nèi)容，在研究二次型時，首先要研究其標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形.眾所周知，化實二次型為規(guī)范形的方法有很多種，比如，非退化線性替換法、合同變換法、配方法[1，2]等等.由于三元實二次型在線性代數(shù)教材中出現(xiàn)的頻率高，另外二次曲面與三元二次型聯(lián)系緊密，因此，研究三元實二次型的分類顯得尤為重要.本文利用特征值判別法研究三元實二次型的分類，即根據(jù)二次型矩陣的特征值的正負(fù)性確定其規(guī)范形.

定理1?任意一個實二次型f（X）=X′AX都可以經(jīng)過某一個正交線性替換X=TY化為標(biāo)準(zhǔn)形f（X）=λ1y21+λ2y22+…+λny2n，其中λ1，λ2，…，λn恰為A的n個實數(shù)特征值.

推論2?如果A的特征值中有p個為正，q個為負(fù)，那么實二次型f（X）=X′AX可以經(jīng)過一個非退化線性替換化成規(guī)范形f（X）=z21+z22+…+z2p-z2p+1-z2p+2-…-z2p+q.

證明?不妨設(shè)A的特征值λ1，λ2，…，λp為正，λp+1，λp+2，…，λp+q為負(fù).令

Y=diag1λ1，…，1λp，1-λp+1，…，1-λp+q，1，…，1ZT1Z，做非退化線性替換X=TT1Z，實二次型f（X）=X′AX化為規(guī)范形f（X）=z21+z22+…+z2p-z2p+1-z2p+2-…-z2p+q.

例1?利用特征值法求實二次型f（x1，x2，x3）=x21-4x1x2+4x1x3-2x22+8x2x3-2x23的規(guī)范形.

解?二次型f（x1，x2，x3）的矩陣為

A=1-22-2-2424-2，其特征多項式為

|λE-A|=λ-12-22λ+2-4-2-4λ+2=（λ-2）2（λ+7），

則A的特征值為λ1=λ2=2，λ3=-3，進而可知二次型f（x1，x2，x3）在某一非退化線性替換X=TY下化為規(guī)范形為f=y21+y22-y23.

實對稱矩陣的特征值肯定是存在的，而且?guī)缀沃財?shù)等于代數(shù)重數(shù)，但是對某些實對稱矩陣來說，其特征值求解是非常困難的，比如，下面的問題.

例2?求實二次型f（x1，x2，x3）=3x21+x22+5x23+4x1x2-8x1x3-4x2x3的規(guī)范形.

分析?二次型的矩陣A=32-421-2-4-25，其特征多項式為|λE-A|=λ3-9λ2-λ+1.該三次多項式在實數(shù)域分解因式是非常困難的，從而無法給出特征值的精確值.所幸的是，確定規(guī)范形只需要特征值的正負(fù)個數(shù)，不必求精確值.

解?假設(shè)實對稱矩陣A的三個特征值為λ1，λ2，λ3，則

λ1λ2λ3=-1，?λ1+λ2+λ3=9.

由λ1λ2λ3=-1可知三個特征值必為兩正一負(fù)，否則三個都為負(fù)，這與λ1+λ2+λ3=9矛盾.從而可知該二次型在經(jīng)過某一個非退化的線性替換X=TY化為規(guī)范形f=y21+y22-y23.

根據(jù)上述問題，將其結(jié)論推廣，從而得到下面關(guān)于三元實二次型分類的一個定理.

定理3?任意一個三元實二次型f（X）=X′AX，其中X=（x1，x2，x3）′，A為二次型的矩陣，其特征多項式為|λE-A|=λ3-tr（A）λ2+ξ（A）λ-|A|，其中tr（A）為A的跡，ξ（A）為A的所有二階主子式之和.

（a）如果|A|>0，tr（A）<0，則規(guī)范形為f=y21-y22-y23;

（b）如果|A|<0，tr（A）>0，則規(guī)范形為f=y21+y22-y23;

（c）如果|A|>0，tr（A）>0，且

（1）ξ（A）>0，則規(guī)范形為f=y21+y22+y23;

（2）ξ（A）<0，則規(guī)范形為f=y21-y22-y23;

（d）如果|A|<0，tr（A）<0，且

（1）ξ（A）>0，則規(guī)范形為f=-y21-y22-y23;

（2）ξ（A）<0，則規(guī)范形為f=y21+y22-y23;

（e）如果|A|=0，

|λE-A|=λλ-tr（A）+tr2（A）-4ξ（A）2·λ-tr（A）-tr2（A）-4ξ（A）2，

可以算出特征值的精確值，從而得到其規(guī)范形.

證明?情形（a）和（b）的證明思路和例2類似，情形（e）根據(jù)一元二次方程求根公式即證.由于情形（c）和（d）類似，下面只需證明情形（c）.

假設(shè)A的特征值為λ1，λ2，λ3，由于|A|>0，則λ1，λ2，λ3三個為正或者兩負(fù)一正.事實上，tr（A）=λ1+λ2+λ3，ξ（A）=λ1λ2+λ1λ3+λ2λ3.

（1）如果ξ（A）<0，則λ1，λ2，λ3必是一正兩負(fù)，否則λ1，λ2，λ3三個為正，與ξ（A）<0矛盾，即證.

（2）如果tr（A）>0，ξ（A）>0，則λ1，λ2，λ3三個為正，否則λ1，λ2，λ3一正兩負(fù).不妨設(shè)λ1>0，λ2<0，λ3<0，由于λ1+λ2+λ3>0可知λ1>-λ2-λ3>-λ2，進而可知λ1λ2+λ1λ3+λ2λ3<-λ2（λ2+λ3）+λ2λ3<-λ22<0，與ξ（A）>0矛盾，即證.

【參考文獻】

[1]王長群，李夢如.線性代數(shù)：第二版[M].北京：高等教育出版社，2012.

[2]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組.高等代數(shù)：第五版[M].北京：高等教育出版社，2019.