一道題，一節課，又不止一節課

孫莉

【摘要】中考復習階段的備課，重在選題，支持入選例題評講的理由有很多，比如，貼近某知識點或依據某數學方法或解題策略，或嘗試由一道題關聯多個知識點、數學思想方法，以達到精選精煉，通過解題發揮例題的價值.

【關鍵詞】解題教學;一課一題;立足題目;探究解法;呈現通法

【基金項目】課題名：南京市教育科學“十三五”規劃課題;《“基本圖形”在初中幾何教學中的滲透策略研究》《波利亞解題思想在初中幾何命題教學中的實踐與延伸》.

一、案例背景

中考復習階段的備課，重在選題，支持入選例題評講的理由有很多，比如，貼近某知識點或依據某數學方法或解題策略，或嘗試由一道題關聯多個知識點、數學思想方法，以達到精選精煉，通過解題發揮例題的價值.本文將呈現近期筆者在中考二輪復習期間與學生一起探究一道中考題的教學實踐與教學思考，與同行們分享.

二、案例呈現

（一）題目

（2017年南京市中考數學第27題）

折紙的思考.

【操作體驗】

用一張矩形紙片折等邊三角形.

第一步，對折矩形紙片ABCD（AB>BC）（圖①），使AB與DC重合，得到折痕EF，把紙片展平（圖②）.

第二步，如圖③所示，再一次折疊紙片，使點C落在EF上的P處，并使折痕經過點B，得到折痕BG，折出PB，PC，得到△PBC.

①

②

③

（1）說明△PBC是等邊三角形.

【數學思考】

（2）如圖④所示，小明畫出了圖③的矩形ABCD和等邊三角形PBC.他發現，在矩形ABCD中把△PBC經過圖形變化，可以得到圖⑤中的更大的等邊三角形.請描述圖形變化的過程.

④

⑤

（3）已知矩形一邊長為3 cm，另一邊長為a（cm）.對每一個確定的a的值，在矩形中都能畫出最大的等邊三角形.請畫出不同情形的示意圖，并寫出對應的a的取值范圍.

【問題解決】

（4）用一張正方形鐵片剪一個直角邊長分別為4 cm和1 cm的直角三角形鐵片，所需正方形鐵片的邊長的最小值為cm.

（二）“一課一題”的教學記錄

教學環節一?圍繞等邊三角形的熱身問題

活動一?展示交流課前作業，學生自評、互評、交流.

課前作業：嘗試用不同的方法在A4紙中折出等邊三角形.

要求：①虛線畫出折痕，實線畫出等邊三角形;②說明理由.

（課前采圖，課上PPT展示）

S1-S4的展示如下：

⑥

⑦

⑧

⑨

追問1?如何想到上述折法的？

追問2?解讀題目，注意到哪些關鍵詞？如何解讀這些關鍵詞？

關鍵詞最近聯想

不同方法的多樣

A4矩形

折軸對稱：全等，對應邊（角）相等;對應點的連線被對稱軸垂直平分

等邊三角形等邊三角形的判定：三邊相等的三角形是等邊三角形;三角相等的三角形是等邊三角形;有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形

追問3?哪種折法最便捷？

設計意圖：操作體驗以體驗與發現為載體，重直接經驗，更重知識理解.學生通過展示交流在解題教學的意識下將知識結構化，尋找解決問題的通法.雖是折紙也是解題，解題的第一步就是弄清題意，先思再折，先動腦再動手，不同折法的解題切入點不同，但共性是抓住圖形的特征以及折疊（軸對稱）的性質.折疊性質最易構造的是等腰三角形，再尋找腰底相等比構造角的條件要容易得多.

教學環節二?更大的等邊三角形探究

活動二?你能找出更大的等邊三角形嗎？它們之間有怎樣的位置關系呢？

追問1?幾何學習中，主要關注圖形的哪些方面？

追問2?剛剛折疊產生的圖形形狀都是等邊三角形，它們的大小有什么關系？全等嗎？它們的位置又有怎樣的關系？

追問3?如何理解“更大”？

追問4?為什么圖⑧⑨中的等邊三角形比圖⑥⑦中的等邊三角形更大？

追問5?如何得到“更大”？為什么要旋轉？為什么要位似呢？

設計意圖：基于活動一以及研究幾何圖形的基本思路，自然提出活動二.“更大”直觀上指面積更大，而對形狀相同的等邊三角形，進一步要求邊長更大.想得到更大的圖形一定是要經歷位似變換的，而從圖④直接放大，顯然在矩形中沒有足夠的放大空間，但只要稍加旋轉，問題就迎刃而解了.在尋找“更大”的過程中也會形成一種自覺的反思和心理傾向：有沒有“最大”，所以“更大”既是前面活動經驗的積累，又是解決后續問題的引申.

如圖④所示，小明畫出了圖③的矩形ABCD和等邊三角形PBC.他發現，在矩形ABCD中把△PBC經過圖形變換，可以得到圖⑤中的更大的等邊三角形.請描述圖形變換的過程.

追問1?在描述圖形變換的過程中，語言敘述如何才能做到完整呢？

追問2?旋轉角是任意的嗎？

追問3?圖④如何得到圖⑧呢？

設計意圖：追問1是在學生書寫的過程中教師介入的，在活動二之后學生已經對為了得到“更大”需要旋轉+位似達成了共識，但是有少數學生在書寫過程中明顯對這兩種位似變換的要素有些淡忘導致語言不準確，本質上是由于概念理解不到位.另外，有學生在書寫過程中提到“旋轉一定的角度”，所以有了追問2，這里旋轉的角度是不可以超過30°的，這也是追問3中要提到的“最大”，起初不想給后面“最大”的探究帶來干擾，“最大”在活動二中不提及，但基于學情，自然生成了追問3.

教學環節三?最大的等邊三角形的探究

活動三?已知矩形一邊長為3 cm，另一邊長為a cm.對每一個確定的a的值，在矩形中都能畫出最大的等邊三角形.請畫出不同情形的示意圖，并寫出對應的a的取值范圍.

追問1?為什么示意圖不止一個？

追問2?為什么要分類討論？討論的對象和標準分別是什么？

追問3?約定彩色紙短邊是3 cm，根據需要裁出想要的矩形紙片并在其中畫出最大的等邊三角形.上黑板貼出你所找到的答案，后面展示的學生要求給出的圖形與前面的不同.

學生陸續貼出了圖⑩到圖B13.

⑩

B11

B12

B13

追問4?給出的矩形可以排序嗎？

追問5?觀察圖⑩到圖B13，每個矩形中的等邊三角形都是最大的嗎？例如，圖⑩中的等邊三角形為什么不是圖B14的擺放方式呢？

B14

B15

追問6?還有其他情況嗎？圖⑩中，隨著a的增大，等邊三角形會如何變化？

追問7?哪個圖中的a比較好求呢？其他圖中的a的取值范圍又該如何確定呢？

追問8?回看整個尋找“最大”的過程，用到了哪些數學知識、數學思想？

追問9?對上述折紙過程你有什么思考？

追問10?關注了“大小、位置”，“大小”研究完了嗎？最大是多大？接下來我們還可以拓展嗎？形狀可以進一步研究嗎？在有限的時間里，你還想研究什么樣的問題？你想如何研究？

設計意圖：由a的不確定自然聯想到要分類討論，但是這種分類是無序的，在追問1，2中學生自主發現等邊三角形的位置擺放隨著矩形的長、寬比變化而變化，為了更直觀易操作教師介入有了追問3，這在考試過程中也是可行的.追問4可以讓學生更好地用“生長”的眼光看待a，亦為追問6埋下了伏筆.追問5再次點破解決問題的關鍵是“旋轉+位似”，也是“更大”活動中知識的遷移、經驗的轉化.在追問7中很自然地選擇了臨界狀態并利用三角函數解決了問題.追問8～10是對整個解題的過程的回顧，有知識的、有經驗的，更多是題目的生成過程，學生在回答追問10中提出要探究“尋找矩形中的最大等腰三角形、最大菱形、正方形……”等一系列問題，都是源于學生已經通曉幾何圖形的研究內容“形狀、大小、位置”以及找到這類問題解決的通法，即不僅知道了對類似這樣的問題該如何思考，更要知道題目的生成過程.

教學環節四?反思拓展

B16

問題解決?用一張正方形鐵片剪一個直角邊長分別為4 cm和1 cm的直角三角形鐵片，所需正方形鐵片的邊長的最小值為cm.

設計意圖：在教學實踐中此題作為課后作業.經歷了探究矩形中的等邊三角形的“有”到“更大”再到“最大”這一過程，學生關注了圖形的大小、位置;后續學生們提到尋找最大的菱形、正方形，這是關注了“形狀”，這三方面是研究任何一個幾何圖形應該關注的，這與題目的生成是息息相關的.對外部的四邊形從“特殊”的A4紙到“一般”的矩形再到“特殊”的正方形.“特殊”作為解決問題的突破口切入點，以“特殊”為起點進行歸納、概括找到解決一般問題的方法和規律，再反過來指導特殊問題的解決.

三、設計反思

（一）規范推理和書寫過程

在平面幾何教學中，要關注學生分析問題的思路、推理的嚴謹性，如在問題1的“說明理由”過程中很多學生書寫如下：

由折疊，BF=CF，∠BFP=∠CFP.

又∵∠BFP+∠CFP=180°，

∴2∠BFP=180°，

∴∠BFP=90°，

∴EF垂直平分BC，

∴PB=PC.

又由折疊，BC=BP，

∴△BCP為等邊三角形.

卻不知由折疊得全等即可得到對應邊相等，即如下書寫：

由折疊，PB=PC，BC=BP，

∴△BCP為等邊三角形.

由此走彎路的現象不難看出學生對折疊的性質還不夠明確，所以應當引導學生理解圖形變換的性質，重視邏輯推理的過程.此外，還要注重書寫格式，發展表述能力，如在問題2中，學生語言表達的不完整還是由于對圖形變換的要素不清晰，在幾何教學時應注重概念形成的過程并將知識內化、運用，真正做到言之有理、落筆有據.

（二）引導關注解題教學

在A4紙中折出“等邊”的方法有很多種，題中是給定明確的折法，要求學生說理即可，筆者不禁思考：如果就給一張A4紙，學生能自行折出等邊三角形嗎？又有多少種折法呢？哪種折法最便捷呢？這些都該如何思考呢？這就需要教師關注學生分析、解決問題的過程以及方法的優化，在平常教學中堅持“解題教學”，并在該教學活動中，教師給學生要提出一些要求.首先，要求學生學會“咬文嚼字”，學會分析題目中每句話的意思，并且和相關聯的知識點建立聯想，即由已知想可知，由未知想需知.如在教學環節一當中，對每個關鍵詞的解讀，當我們看到“折”，要引導學生想到與軸對稱相關的知識點，等等.其次，要學會建立聯系，如何將“已知的聯想”與“未知的聯想”建立聯系，一旦發現，問題即可得到解決.最后，回顧反思，看看這道題能不能從“個案”變“類案”，能否舉一反三，找到解決問題的通法.

（三）突出與強化分類討論思想

數學中的分類討論思想與新課改中提出的培養學生的創新精神與探索精神是一致的，它可以培養學生思維的連貫性和有序性，培養學生完整、細致地分析問題的習慣和探索問題的能力，對養成學生嚴謹的思維品質有較大的益處，然而在初中數學中分類討論問題往往是學生不容易掌握好的一類問題，從問題3的課堂實踐不難看出，學生由a的不確定知道要分類討論卻不知如何討論，學生呈現出的構圖是碎片式的，以至于對a的取值憑直覺是沒有依據的，究其原因，主要是平時的教與學中，對分類討論的數學思想滲透不夠，“要分類嗎？為什么？分類的對象是什么？分類的標準是什么？”這是教學中應當培養和滲透的.

（四）深刻品題，關注題目生成

好題是造出來的，也是教出來的，又是學生做出來的.在平常的教與學中，教師和學生往往是一個“打工者”，關注的更多的是解決問題中應用的知識、思想方法，而在本題教學實踐過程中，筆者發現學生一直保持著良好的自主探究意識，其原因正是學生明確研究幾何圖形應關注“形狀、大小、位置”這三方面的內容，在折完等邊三角形后自然關注它們的“大小、位置”“大小一樣嗎？有更大的嗎？彼此之間又通過怎樣的圖形變換得到呢？”生成了問題2“更大”之后自然聯想到“最大”，在教學過程中也曾經試圖在A4紙中連續探究“更大、最大”，再到一般化的矩形，但又有“將學生思維限定”的顧慮，所以把“最大”從特殊的A4紙落到了一般的矩形，生成了問題3.“有了研究‘等邊三角形的經驗，其他幾何圖形可以類比嗎？”，此時關注“形狀”生成了問題4，課堂中學生生成的結果比試題更廣泛，因為這節課意在立足題目、探究解法、呈現通法，也是因為這樣的一道題，教學過程呈現出來是一節課，又不止一節課，這正是教師所喜聞樂見的.