不等式lnx≤x-1應(yīng)用三例

楊妮

【摘要】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開解題，在解答某些與函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)有關(guān)的問題時，若能利用一些熟知的結(jié)論或者其變形進行解答，往往能化難為易，取得事半功倍的效果.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)解題;變形;問題本質(zhì)

在教材中，有如下重要結(jié)論：

若x>0，則lnx≤x-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立.

在解答某些與函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)有關(guān)的問題時，若能利用這一熟知的結(jié)論或者其變形，比如，ln（x+1）≤x（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立）、ex≥x+1（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立）等進行解答，往往能化難為易，取得事半功倍之效.下面舉例說明.

例1?設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-mx2+2nx（m∈R，n>0），若對任意的x>0，都有f（x）≤f（1），則（??）.

A.lnn<8m

B.lnn≤8m

C.lnn>8m

D.lnn≥8m

解?因為f（x）=lnx-mx2+2nx，

所以f′（x）=1x-2mx+2n.

因為對任意的x>0，都有f（x）≤f（1），

所以當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x）的最大值為f（1），

因為f′（x）在（0，+∞）上連續(xù)，

所以f′（1）=0，即1-2m+2n=0，

所以2m=2n+1.

由于n>0，所以lnn≤n-1<8n+4=4（2n+1）=8m，

即lnn<8m.應(yīng)選A.

例2?借助“以直代曲”的思路可以進行某些函數(shù)的函數(shù)值的近似計算，比如，|x|足夠小時，有ex≈x+1，ln（1+x）≈x，sinx≈x等.據(jù)此，若|x|足夠小時，有l(wèi)n1+e-x2≈ax+b，則a+b的值為.

解?因為當(dāng)|x|足夠小時，e-x-12也足夠小，

又因為ln（1+x）≈x，

所以ln1+e-x2=ln1+e-x-12≈e-x-12，

由于ex≈x+1，所以e-x-12≈（-x+1）-12，

所以a=-12，b=0，故a+b=-12.

例3?已知函數(shù)f（x）=ex-ln（x+m）.

（1）設(shè)x=0是f（x）的極值點，求m并討論f（x）的單調(diào)性;

（2）當(dāng)m≤2時，證明f（x）>0.

參考答案如下：

解?（1）因為f′（x）=ex-1x+m，由x=0是f（x）的極值點得f′（0）=0，所以m=1.

于是f（x）=ex-ln（x+1），其定義域為（-1，+∞），

又f′（x）=ex-1x+1，

所以函數(shù)f′（x）=ex-1x+1在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，且f′（0）=0.

因此，當(dāng)x∈（-1，0）時，f′（x）<0;

當(dāng)x∈（0，+∞）時，f′（x）>0.

所以f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增.

（2）當(dāng)m≤2，x∈（-m，+∞）時，ln（x+m）≤ln（x+2）.所以只需證明當(dāng)m=2時，f（x）>0.

當(dāng)m=2時，函數(shù)f′（x）=ex-1x+2在（-2，+∞）上單調(diào)遞增.

又f′（-1）<0，f′（0）>0，故f′（x）=0在（-2，+∞）上有唯一實根x0，且x0∈（-1，0）.

當(dāng)x∈（-2，x0）時，f′（x）<0;

當(dāng)x∈（x0，+∞）時，f′（x）>0.

從而當(dāng)x=x0時，f（x）取得最小值.

由f′（x0）=0，得ex0=1xn+2，ln（x0+2）=-x0.

故f（x）>f（x0）=1x0+2+x0=（x0+1）2x0+2>0.

綜上，當(dāng)m≤2時，f（x）>0.

評注?解答第（2）問的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化，若運用熟知的不等式ex≥x+1以及x≥ln（x+1）進行證明，結(jié)果更為簡潔.

由ex≥x+1，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立;

又因為ln（x+m）≤x+m-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1-m時等號成立.

所以當(dāng)m<2時，x+m-1ln（x+m）;當(dāng)m=2時，1-m=-1=0.

而ex≥x+1與ln（x+m）≤x+m-1兩式的等號不能同時成立，從而ex>ln（x+m）.

所以當(dāng)m≤2時，ex-ln（x+m）>0.

事實上，許多經(jīng)典不等式如ex≥x+1，lnx≤x-1（x>0）等，都能聯(lián)系曲線的“切線”直觀得出，其證明可以利用函數(shù)的單調(diào)性得到.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開解題，學(xué)生能否有效、高效地解決數(shù)學(xué)問題深刻地反映了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科能力和核心素養(yǎng).因此，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生“入乎其內(nèi)，出乎其外”，樹立用思想引領(lǐng)解題的意識，抓住問題的本質(zhì)，優(yōu)化解題過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力，最終轉(zhuǎn)化為創(chuàng)造能力，才能真正培養(yǎng)和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).