化“靜”為“動”巧解題

李大偉

【摘要】坐標法思想是解析幾何中的重要思想方法.很多平面幾何的問題也可以通過坐標法思想進行處理.學生對哪種平面幾何問題可以建系以及如何建系存在困難.本文通過介紹坐標法思想在解三角形和向量中的巧妙應用，為學生打開思路.

【關鍵詞】坐標法思想;解三角形;向量

所謂坐標法思想，即建立坐標系，把幾何對象轉化為代數對象，把幾何問題轉化為代數問題，利用代數的工具、方法研究并獲得結論，然后再解釋幾何現象.坐標法的第一步就是建立坐標系，筆者在實際教學中發現，在平面幾何問題中，很多學生不會靈活建系，只會根據題目建好的坐標系進行解題，這大大窄化了坐標法思想的應用范圍.事實上，很多平面幾何問題都可以通過建立坐標系，通過化“靜”為“動”，實現化繁為簡，快速解決問題.如何想到建系，怎樣建系，這是非常有價值的教學點，下面筆者結合教學經驗，談談自己的想法.

一、坐標法思想在解三角形最值問題中的應用

解三角形問題本質上是幾何問題，其中最值問題一直是學生不易解決的難點.三角形在學生的腦海中是“靜”的，而最值問題是“動”的，三角形的“靜”使得學生難以發現圖形的變化規律，只能從代數角度進行解題，使得自己陷入“繁”“難”的困境.而坐標法思想正是溝通“靜”和“動”的有力工具.解三角形的最值問題中，根據給定條件的約束，變化的圖形往往都是有跡可循的.建立坐標系，把幾何對象中的點、線轉化為代數對象中的實數對、方程進行表示，然后再重新表述條件，往往能發現運動的點、線滿足的規律，這樣就可以從幾何角度找到點的特殊位置，進而解決問題.

例1?若△ABC滿足AB=2，AC=2BC，求面積△ABC的最大值.

分析?這道題目的條件非常簡潔，很多學生的思路是利用面積公式S=12AB·BCsinB來求解.具體解法如下：

解?設BC=x，則AC=2x，根據面積公式得S△ABC=12AB·BCsinB=x1-cos2B，根據余弦定理得cosB=AB2+BC2-AC22AB·BC=4+x2-2x24x=4-x24x，代入上式得S△ABC=x1-4-x24x2=128-（x2-12）16.

由三角形三邊關系有2x+x>2，x+2>2x， 解得22-2

這種解法入手容易，但學生往往不知如何把面積轉化為關于某個變量的函數，且計算量比較大，學生往往會陷入繁雜的運算不能自拔.事實上，學生如果能注意到條件AC=2BC，如果點A，B是固定的，那么動點C的軌跡就有跡可循了.把條件變形成ACBC=2，就可以聯想到阿氏圓，點C的軌跡方程是圓，從而這樣建系就有了必要性.

解?以AB中點O為原點，建立如圖1所示的直角坐標系xOy，A（-1，0），B（1，0），設點C（x，y），因為AC=2BC，所以（x+1）2+y2=2（x-1）2+y2，化簡得圓D：（x-3）2+y2=8，S△ABC=12AB·|yC|=|yC|，因為（x-3）2=8-y2≥0，所以-22≤y≤22，所以S△ABC的最大值為22.

例2?（2018常州高三期末，14）已知在△ABC中，AB=AC=3，△ABC所在平面內存在點P使得PC2+PB2=3PA2=3，則△ABC面積的最大值為.

分析?本題的難點在于條件PC2+PB2=3PA2=3的轉化，在平面幾何中，線段的轉化比較困難，學生很難把這個條件與三角形的面積聯系起來，思維往往會陷入僵化.如果換個角度思考，點P要滿足上述等式，顯然點P的位置是要受到約束的，也就是說點P的軌跡是有章可循的，此外，PA=1也可以聯想到動點P到點A的距離為定值，說明點P在定圓上，分析到這里，建系也就水到渠成了.

解?以BC的中點O為原點，建立如圖2所示的直角坐標系xOy，設B（-a，0），C（a，0），A（0，b），P（x，y），且a2+b2=3.

PC2+PB2=（x-a）2+y2+（x+a）2+y2=3，化簡得圓O：x2+y2=3-2a22，PA2=1，得圓A：x2+（y-b）2=1，所以點P在圓A，O上，圓A，O有交點，所以1-3-2a22≤3-a2≤1+3-2a22，化簡得a2≤2316.

S△ABC=12BC·3-a2=a3-a2=-a2-322+94，當a2=2316時得S△ABC的最大值為52316.

二、坐標法思想在向量中的應用

例3?給定兩個長度為1的平面向量OA和OB，它們的夾角為120°.如圖3所示，點C在以O為圓心的圓弧AB上運動.若OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，則x+y的最大值是.

分析?本題的難點在于對OC=xOA+yOB的轉化，學生不知如何與結論中的x+y建立聯系.通過建立坐標系就可以找到向量坐標表示，從而找到x，y滿足的關系，從而解決問題.

以O為原點，建立如圖4所示的直角坐標系xOy，

則A（1，0），B-12，32，

設C（cosθ，sinθ），θ∈0，2π3.

OC=（cosθ，sinθ），xOA+yOB=x-12y，32y，

所以cosθ=x-12y，sinθ=32y.

解得x=cosθ+33sinθ，y=233sinθ，

所以x+y=cosθ+3sinθ，θ∈0，2π3，

即x+y=2sinθ+π6，θ∈0，2π3，

所以當θ=π3時，x+y的最大值為2.

例4?如圖5所示，在矩形ABCD中，AB=2，BC=2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若AB·AF=2，則AE·BF的值是.

分析?條件AB·AF=2的難點在于AF的模長和夾角都不知道，學生不知如何利用這個條件.如果建立坐標系，就可以快速確定點的位置，從而快速解決問題.

以A為原點，建立如圖6所示的直角坐標系xAy，B（2，0），E（2，1），設F（a，2），則AB=（2，0），AF=（a，2），則AB·AF=2a，所以a=1.

則AE=（2，1），BF=（1-2，2），所以AE·BF=2.

例5?（2018南京，鹽城一模）如圖7所示是蜂巢結構圖的一部分，正六邊形的邊長均為1，正六邊形的頂點稱為“晶格點”.若A，B，C，D四點均位于圖中的“晶格點”處，且A，B的位置如圖所示，則AB·CD的最大值為.

分析?點C，D的位置在圖中沒有給出，其可能出現的情況眾多，學生不知依據什么標準來尋找最值.通過建立坐標系，可以把AB·CD轉化為代數式，從而找到C，D的最優位置.

以A為原點，建立如圖8所示的直角坐標系xBy，A32，92，B（0，0），因為AB已知，要使AB·CD最大，即CD在AB方向上的投影長度最大.所以CD所在位置如圖所示，此時C（0，5），D（-3，0），所以AB·CD=-32，-92·（-3，-5）=24.

三、總?結

能夠利用坐標法思想進行解題的題型還有很多，在平面幾何的教學中教師應該突出坐標法思想的教學，重視建系的過程，授學生以“漁”，讓學生能夠自主靈活建系，突破平面幾何問題的難點.