任意項級數斂散性的判定方法研究

許秀娟

【摘要】本文主要討論了任意項級數斂散性判定的幾種有效方法.根據冪級數收斂域的特點，構造冪級數，判定任意項級數的斂散性.

【關鍵詞】任意項級數;斂散性;冪級數;收斂域

無窮級數是高等數學的重要內容之一，判定級數的斂散性是無窮級數理論的重要組成部分.在無窮級數的教學中，介紹正項級數斂散性[1]的方法較多，而對判定任意項級數的收斂與發散的方法沒有系統地討論說明.本文主要針對任意項級數收斂性判定問題進行探討.

所謂任意項級數，即在級數∑∞n=1un中，一般項un（n=1，2，…）的值正負沒有規律.

一、用級數收斂的必要條件判定

級數收斂的必要條件：如果級數∑∞n=1un收斂，則一般項 limn→∞un=0.

由級數收斂的必要條件知：如果 limn→∞un≠0，則級數∑∞n=1un發散.用此結論可以判斷級數是否發散.

例如，級數∑∞n=1（-1）nn（n+1）n2+1，由于un=（-1）n·n（n+1）n2+1，而 limn→∞|un|=limn→∞n（n+1）n2+1≠0，

則 limn→∞un≠0，故級數∑∞n=1（-1）nn（n+1）n2+1發散.

二、用冪級數的收斂域判定

用冪級數的收斂域判定時，根據級數∑∞n=1un的形式，構造冪級數∑∞n=1anxn，把數項級數看作是冪級數在x=x0處的級數，通過冪級數的收斂域范圍，判定對應的數項級數的收斂性.

例如，級數∑∞n=1（-1）nnnn！，設冪級數∑∞n=1nnn！xn，當x=-1時即為所求.級數∑∞n=1nnn！xn的收斂半徑為R=limn→∞nnn！（n+1）n+1（n+1）！=limn→∞nn+1n=1e，故在x=-1時，級數∑∞n=1（-1）nnnn！發散.

如果是級數∑∞n=1nnn！（2e）n，因為冪級數∑∞n=1nnn！xn的收斂區間為-1e，1e，則在x=12e時，級數∑∞n=1nnn?。?e）n收斂.

三、用夾逼準則判定

在數列極限的存在準則中有夾逼準則，此準則可推廣到無窮級數的斂散性的判定上.

如果級數∑∞n=1an與∑∞n=1bn收斂，且an≤un≤bn（n=1，2，…），則級數∑∞n=1un也收斂.

例如，級數∑∞n=1（-1）nn10n，因為-n10n≤un=（-1）n·n10n≤n10n（n=1，2，…），而級數∑∞n=1n10n與∑∞n=1-n10n收斂，所以級數∑∞n=1（-1）nn10n也收斂.

四、用絕對收斂的性質判定

定理?如果級數∑∞n=1|un|收斂，則級數∑∞n=1un也收斂[2].

此方法的優點在于可以把任意項級數的收斂性問題轉化為正項級數收斂性來判斷.但是如果∑∞n=1|un|發散，并不能斷定原級數∑∞n=1un也發散.但是用比值判別法 limn→∞un+1un=ρ>1或根值判別法 limn→∞n|un|=ρ>1判定級數∑∞n=1|un|發散，可以斷定級數∑∞n=1un也發散.

例如，級數∑∞n=1（-1）n1an1+1nn2（01，故級數∑∞n=1（-1）n1an1+1nn2發散.

此外，還可以用部分和{sn}的極限、萊布尼茨定理[3]、阿貝爾判別法[4]等來判定級數∑∞n=1un的斂散性.

上述論述闡述了高等數學中任意項級數斂散性判定的一些常用方法.在解決具體問題時，要根據級數自身的特點，靈活選擇方法.

【參考文獻】

[1]王帥，等.高等數學（上）[M].上海：同濟大學出版社，2015：6-9.

[2]盛祥耀.高等數學：第四版[M].北京：高等教育出版社，2008：265.

[3]同濟大學數學系.高等數學：第六版[M].北京：高等教育出版社，2007：262.

[4]華東師范大學數學系.數學分析：第四版[M].北京：高等教育出版社，2010：24.