用留數定理計算實定積分限制條件的新證明思路

周磊 王春娥

【摘要】在可以用留數定理計算的三類定積分形式中，第二類和第三類的定積分的分母x的最高次冪m與分子x的最高次冪n必須分別滿足m大于等于n+2和m大于等于n+1.區別于書本上煩瑣的證明過程，本文提出了一個更加清晰明了、簡單易懂的新證明思路來幫助學生深入理解這兩類定積分使用留數來計算的限制條件.

【關鍵詞】留數定理;定積分計算;限制條件;新證明思路

一、引?言

使用留數定理計算三類定積分是復變函數一個重要的應用分支.其中第二類和第三類定積分的分母中x的最高次冪m和分子中x的最高次冪必須滿足一定條件才能用留數定理來計算.這三類定積分分別為：

（1）第一類定積分：∫2π0R（cosθ，sinθ）dθ;

（2）第二類定積分：∫+∞-∞R（x）dx，限制條件為m≥n+2;

（3）第三類定積分：∫+∞-∞R（x）eiαxdx（α>0），限制條件為m≥n+1.

各種教材中對第二類和第三類定積分計算的限制條件均有詳細的證明[1][2]，但晦澀難懂.在一些科研論文[3-8]中也遵循同樣的證明思路.這非常不利于學生對使用留數定理計算第二類、第三類定積分限制條件的理解，也不利于學生靈活地運用留數定理計算定積分.故找到一種清晰明了、簡單易懂的證明思路才是解決這一教學難點的關鍵所在，下文先給出證明思路，然后給出詳細的證明過程，最后在小結本證明思路的優點.

二、證明思路

先證明第二類積分的限制條件，然后引申出第三類積分的限制條件.第二類積分限制條件的證明基本流程如圖1所示.其中CR為圍繞R（z）所有極點的逆時針半圓弧路徑，R為圓弧半徑.

證明開始

↓

s1：證明m≤n時，定積分不存在

↓

s2：引出 limR→∞∮C RR（z）dz=0是限制條件

↓

s3： limR→∞∮C RR（z）dz=0得出m≥n+2結論

↓

證明結束

三、證明二類積分m小于等于n時積分不存在

對R（x），可以寫成：

R（x）=a0+a1x+…+anxnb0+b1x+…+bmxm.（1）

當m≤n時，R（x）必可改寫為：

R（x）=c0+c1x+…+cn-mxn-m+d0+d1x+…+dm-1xm-1b0+b1x+…+bmxm，

保證分子中x的最高次冪小于分母中x的最高次冪一次，其中cn-m≠0.

由于∫∞-∞（c0+c1x+…+cn-mxn-m）dx=cn-m∞，

故∫∞-∞R（x）dx=cn-m∞，

即二類積分在m≤n時積分不存在.

四、證明m大于n時二類積分存在的限制條件

在m>n時，做x=z=u+iv替換，把定積分引入復數域.取圍住所有R（z）在Img（z）>0內的所有極點的半圓弧CR與實軸-R到R構成積分路徑C，如圖2所示.

替換后可得：

∮CR（z）dz=∮CRR（z）dz+∫R-RR（z）dz

=∮CRR（z）dz+∫R-RR（u）du，

在取極限后：

limR→∞∮CR（z）dz=limR→∞∮CRR（z）dz+∫∞-∞R（x）dx，

可見，只要：limR→∞∮CRR（z）dz=0，（2）

便可得：

limR→∞∮CR（z）dz=∫∞-∞R（x）dx

=2πilimR→∞∑m2i=1Res[R（z），pi]，

其中，pi為R（z）在上半復平面上的極點.這樣二類積分便轉化為求留數.

現代入公式（1）到公式（2）化簡后，設z=Reiα，dz=Rieiα，再代入公式（2）可得：

limR→∞∮CRR（z）dz

=limR→∞∮CR1zm-na0z-n+a1z-n+1+…+anb0z-m+b1z-m+1+…+bmdz

=limR→∞∮CR1zm-nanbmdz

=anbmlimR→∞∫π0[Rn-m+1eiα（n-m+1）]dα

=anbmlimR→∞∫π0dα=anbmπ，n-m+1=0，anbmlimR→∞Rn-m+1n-m+1eiα（n-m+1）|π0=0，n-m+1<0.

最終得到公式（2）為0的條件為n-m+1<0.而n與m是自然數，故最終二類積分可用留數定理來求的限制條件可證明為n-m+1≤-1，即m≥n+2.

五、證明三類積分的限制條件為m大于等于n+1

考查三類積分中的eiαx項，在CR上當R→∞時的情況.取x=z=u+iv時：

eiαx=eiαz=e-αveiαu.

由于在CR上，在R→∞時，α>0時，-αu→-∞，eiαz→0.這說明R→∞，z→∞時，eiαz相當于1z，即在R→∞時，R（z）eiαz相當于R（z）z.

由此，根據二類積分的限制條件，limR→∞∮CRR（z）zdz=0的條件為n-（m+1）+1≤-1，即三類積分可以用留數定理求的限制條件為m≥n+1.

六、小?結

至此，根據圖1的證明流程完整、清晰地證明了二類積分可以用留數定理求的限制條件為m≥n+2，并經過簡單地引申，使用二類積分的證明得到了三類積分可以用留數定理求的限制條件為m≥n+1.證明過程非常自然地貼近常規思維分析過程，沒有任何突兀的假設，有利于學生在學習的時候抓住用留數定理求第二類和第三類實定積分限制條件的本質.

【參考文獻】

[1]西安交通大學高等數學教研室.工程數學：復變函數[M].北京：人民教育出版社，1981.

[2]鐘玉泉.復變函數論：第3版[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3]徐建中.留數定理在實積分中的應用研究[J].西昌學院學報（自然科學版），2018（3）：57-59.

[4]李夢雨，岳曉蕊.復變函數積分種類和辦法及留數簡單計算技巧[J].高教學刊，2017（24）：119-121.

[5]王玉磊，李彩娟.利用留數定理計算一類廣義積分[J].高師理科學刊，2016（10）：23-24.

[6]智麗麗，李艷青.留數定理在積分計算中的應用[J].昌吉學院學報，2014（1）：79-81.

[7]沈進東.采用比較教學法講解“用留數定理計算實積分”[J].教育教學論壇，2012（31）：94-96.

[8]許平，張海亮.留數定理在定積分計算中的應用[J].數學學習與研究，2012（3）：81-82.