化圓為方及立方倍積的尺規思考

【摘要】用空間多一個維度結合壓縮相似理念給出了一種關于1°的角的尺規畫法之后，在這同一理念下又解決了任意角的尺規等分問題.

【關鍵詞】化圓為方;立方倍積;三等分角.

話說化圓為方、立方倍積、三等分角都是二千五百年前古希臘王朝遺留的幾何難題.可喜的是《整數度角的尺規作圖》用空間多一個維度結合壓縮相似理念完美地給出了1°角的尺規畫法.于是與整數度角有關的尺規心結都能迎刃而解.

由于立方倍所積涉及的方程為：

2v3=V3.（1）

（1）中v，V分別為兩立方體的邊長，將（1）的兩邊同時開立方得：

32v=V.（2）

（2）中32之值的小數點后有永無止境的小數數位，而這無疑是一汪叫作32=1.2599210498949……的深深海洋，數學家們認為，在這樣機關重重的苦海中顛簸，立方倍積之舟永遠也不可能到達幾何的尺規港灣.由于化圓為方所涉及的方程為：

πR2=S2.（3）

（3）中R為圓的半徑，S為正方形的邊長，將（3）兩邊同時開平方得：

πR=S.（4）

（4）中π之值是一個超越數的算術平方根，數學家們認為，有此神秘之君作祟，化圓為方的尺規作圖根本就不可能用普通的方法求得答案.那么怎樣才能清除前進中的障礙而到達那理想的目的地呢？對此我們不妨取（4）為例來解釋：

第一，從數軸OX的原點O開始，令化圓為方中的半徑R=1，因已知π=1.7724531023415……進而知道式中各小數位上的數與OX軸上的點有各自的對應.由于本求作過程有序且連續，故我們可從π之值的任意指定小數位開始操作，若把式中的第一小數位定義為第一級精度，則知緊隨其后會有第二級精度、第三級精度……

第二，利用第一級精度數字7，可設a1=1.8，b1=1.7，此中a1的小數位比b1的小數位大1，這是把π之值的第一小數位后的數去除（即縮小）而定為b1，并在b1的小數位上加1（即增大）而定為a1，如此則a1和b1成了OX軸上的特定已知點，且因做過增大和縮小處理，知π之值處在a1和b1之間，即知有范圍式a1>π>b1存在.因a1和b1的小數位相差1，知在1.7與1.8之間還有1.71，1.72，1.73，…，1.79存在.依次作線段a1b1中各等分點的垂線，則有交點c1，c2，c3，…，c9產生，從π之值的等式中知第二級精度數字是7，進而知此7是處在過c6和c8的兩垂線之間，即知有范圍式c8>π>c6存在，可以看到c8>π>c6控制的范圍比a1>π>b1縮小了許多.

第三，與第一級精度操作的情形完全相同，由于第二級精度數字是7，在照前面的縮小和增大中，設a2=1.78，b2=177，而知a2和b2是OX軸上的特定已知點，且因做過增大和縮小的處理，知π之值處在a2和b2之間，即知有范圍式a2>π>b2存在.由于a2和b2的最后一位小數相差1，知在1.77與1.78之間還有1.771，1.772，1.773，…，1.779存在.依次作線段a2b2中的各等分點的垂線，則知有交點d1，d2，d3，…，d9產生，又從π之值的等式中知第三級精度數字是2，而知此2處在過d1和d3的兩垂線之間，即有范圍式d3>π>d1存在，可以看到d3>π>d1控制的范圍比a2>π>b2又縮小了許多.

第四，由于第三級的精度數字是2，在照前面的縮小和增大的過程中，可設得a3=1.773，b3=1.772，且我們認識到在1.772與1.773之間還有1.7721，1.7722，1.7723，…，17729存在，依次作線段a3b3中各等分點的垂線，則知有交點e1，e2，e3，…，e9產生，從π之值的等式中，我們了解到第四級的精度數字是4，進而知此4處在過e3和e5的兩垂線之間，此即知有范圍式e5>π>e3存在，可以看到e5>π>e3控制的范圍比a3>π>b3又縮小了許多許多.

第五，按照上述一級接一級的垂線的作圖，進而可完成第四級、第五級……的精度操作.由于本文指定的操作是從π之值的第一小數位開始，且知a1b1的十分之一是a2b2，a2b2的十分之一是a3b3，a3b3的十分之一是a4b4……我們把文中線段變化的情形定義為精度速率，則知從第一級到第二級的精度速率為110、從第二級到第三級的精度速率為1102、從第三級到第四級的精度速率為1103……如若把“圓周率詩”的算術平方根中的已知小數位設為n，則知最后的一個步驟的精度速率為110n（即10-n）.如若把線段a1b1之長確定為10 cm，則本精度操作只需進行有限的十多次就知π之值已然被縮短到了一個很小的范圍之內，乃至其長縮短到比一個原子的直徑還要短了許多，比如確定原子的直徑為10-10 cm吧，我們仍可對其長依次進行過各等分點的垂線的尺規畫作，如果感覺這個距離太小，則可從思考里放大千倍萬倍再作無窮級的操作，回到現實之時，再看此距之小，定然叫人驚詫莫名.而π之值就處在這樣相互靠近的兩根現實的垂線之間，于是我們說此種作垂線的操作的所有要素早已渾然一體，而π之值的尺規作圖就是此渾然一體的垂線與OX軸形成的交點.

總之，以上方法是過已知點作垂線的最典型的尺規作圖，雖π之值的作圖位置是我們在利用各級精度數字，機械地一步一步地作垂線的過程中間接得出的，但這畢竟使得化圓為方的尺規作圖第一次真正意義地擺在了世人的面前.

【參考文獻】

[1]黃正洪.整數度角的尺規作圖[J].數學學習與研究，2017（23）：153-154.

[2]黃正洪.任意角的尺規等分[J].數學學習與研究，2018（3）：148-149.

[3]黃正洪.圓周的任意尺規等分[J].數學學習與研究，2019（2）：161.