考慮減輕軸系彎曲振動的船舶軸系雙向校中優化

王建午，樓京俊，李欣一，楊慶超

(1. 海軍裝備部駐上海地區第二軍事代表室，上海 210000；2. 海軍工程大學 動力工程學院，湖北 武漢 430033)

0 引 言

軸系是船舶推進系統的重要組成，其校中質量對推進系統乃至整個船舶的長期安全可靠運行具有重要意義。為改善軸系軸承的負荷分配、軸段應力分布等，使軸系處于更為優良的工作狀態，目前國內外船廠普遍采用合理校中技術。在軸系合理校中優化理論研究方面，周瑞平[1]、周瑞[2]運用最優化方法得到軸承的最優變位值，使軸系尾后軸承負荷最小；Reeves[3]和魏穎春等[4]基于有限元法建立了校中模型，通過優化程序對船舶軸系的各軸承進行了合理變位；陸金銘等[5]提出了一種基于反影響數矩陣的校中優化方法，并用該方法對實船軸系進行了雙向校中。在軸系校中與軸系振動間相互作用規律的研究方面，楊俊等[6]通過數學建模得出了不對中軸系激勵力幅值與振動的相互關系；方國強[7]用有限元法對軸系校中參數與軸系振動特性的相關性開展了仿真研究；劉學偉等[8]用傳遞矩陣法分別建立了軸系校中與彎曲振動數學模型，并發現在不同校中實例中，高頻段的軸承響應具有明顯差別。

現有軸系校中技術在實施過程中都是從靜力學角度出發，將軸系敷設成軸承負荷、軸段應力等處于規定范圍內的某一曲線狀態，以確保軸系強度滿足安全運行要求，并未考慮校中對軸系振動的影響。本文在合理校中的基礎上，利用奇異函數法和傳遞矩陣法分別構建了軸系校中計算和軸系振動模型，并用雷諾方程實現模型間的參數轉化，最后利用多目標優化技術對軸系雙向校中模型進行求解。這樣，在校中時就將軸系振動特性計入了優化過程中，且能滿足原有軸系校中的各項要求。研究結果表明，該方法能有效改善軸系的受力狀態和振動特性，提高校中質量。

1 理論依據

1.1 奇異函數法與校中狀態參數計算

軸系校中的實質是軸承位置的改變，不同軸系校中方案下，軸系狀態參數如軸系軸承負荷、軸段應力、截面轉角等也不同。根據《CB/Z 338-2005船舶推進軸系校中》標準中的規定，校中完成后軸系各狀態參數應在合理范圍內，因而軸系校中的前提是求解這些狀態參數。奇異函數法是一種計算軸系校中狀態參數較為精確簡潔的方法，其基本表達式如下：

將軸系承受的載荷用奇異函數表示后，當已知特定校中方案下各軸承變位，結合靜力平衡條件即可計算出軸系各狀態參數[9]。

1.2 傳遞矩陣法與軸系彎曲振動求解

以螺旋槳末端為坐標原點，沿船艏方向為x軸，過原點垂直于x軸向上為y軸建立直角坐標系xoy，根據該坐標系對船舶推進軸系進行簡化如圖1所示。圖中F（t）為施加在螺旋槳處的單位橫向簡諧力，k1，k2，k3，k4，k5為各軸承支承剛度。本文采用修正后的Timoshenko梁自由彎曲振動方程求解軸系振動的場傳遞矩陣，其表達式如下：

圖1 船舶推進軸系簡化圖Fig. 1 Simplified diagram of ship propulsion shafting

式中：E，G分別為梁的彈性，剪切模量；A為梁橫截面；I為梁截面慣性矩；m為梁單位長度質量；r為梁半徑；K'為梁有效剪切系數；y（x，t）為梁位移變形量。

求解式（2）可得出梁振型函數，并進一步求得軸系各狀態參數[8]。設圖1中軸系最左端狀態矢量為[y0a0M0Q0]，最右端狀態矢量為[y a M Q]，[Ti]為各軸段場傳遞矩陣，[Pi]為各集中質量及軸承支承點處的傳遞矩陣，則有：

式中，[T]=P0T1P1T2P2T3P3T4P4T5P5T5P6。

結合軸系邊界條件可對式（3）進行求解，并得出各支承軸承處狀態參數，其中位移響應y（x，t）與軸承剛度的乘積即經軸承傳遞到基座上的作用力。

用一個周期內傳遞到基座的能量平均值，即用穩態傳遞功率流來衡量推進軸系各支承軸承處彎曲振動情況如下式：

式中：Re（）表示取實部；“*”表示取共軛；vi，Fi分別為第i個軸承的速度響應與傳遞到基座上的作用力；vi可由位移響應yi微分后求得。

1.3 雷諾方程與軸系校中參數的轉化

軸承剛度主要取決于油膜剛度。為求解不同校中方案下的軸系振動響應，須將軸系校中時的軸承負荷變化量轉化為軸承剛度變化量。這要用到求解軸承潤滑特性的雷諾方程：

式中：x為圓周切向；z表示軸向；h為油膜厚度；μ為潤滑油動力粘度；p為油膜壓力；U為軸徑圓周切向速度。

用有限差分法迭代求解無量綱化后的式（5），可得出軸承靜平衡時的位置與油膜壓力分布；根據軸承靜平衡位置，并用擾動法求解各軸承油膜剛度如下式：

式中：Fy1，Fy2為軸心由靜平衡位置經垂向分別向上、下擾動距離Δx后，軸承上的作用載荷值。

綜上各式，可將軸系校中過程中各軸承負荷實時換算成軸承油膜剛度，并用于1.2中軸承彎曲振動響應求解。

2 優化模型的構建

軸系校中時主要有兩類優化算法：軸承軸向位置優化和合理校中優化，分別指各軸承位置沿軸系縱向與垂向進行優化。本節將整合這2種算法，并在校中時考慮減輕軸系彎曲振動，對軸系進行雙向校中優化。

2.1 設計變量的選取

軸系雙向校中優化通常只調節中間軸承軸向位置及舷內各軸承垂向位置。因此，以各中間軸承的軸向變位值xn與舷內各軸承的垂向變位值ym為設計變量：

式中：n，m分別為中間軸承和舷內軸承個數。

2.2 優化目標的定義

2.2.1 中間軸承軸向位置優化目標的選定

校中軸系須先確定各軸承軸向位置[5]。中間軸承軸向位置的改變，不但會影響各軸承本身承載，還會改變整個軸系的軸承負荷均勻度，影響軸系的運轉性能。因而將軸承負荷均勻度作為第一優化目標：

式中：Ri為第i個支承軸承負荷；R為各支承軸承負荷均值；n為軸承總個數。

以中間軸承所處軸向位置對各軸承負荷的影響程度，即綜合負荷影響數作為第二優化目標：

式中：m為中間軸承序號；n1，n2分別為起始、終止軸承序號；Rim為中間軸承對第i個軸承的負荷影響數。

一些文獻還將尾軸承負荷最小作為中間軸承軸向位置的優化目標，因中間軸承離尾軸承較遠，其位置變化對尾軸承負荷影響數較小，在此未考慮。

2.2.2 軸承垂向位置優化目標的選定

軸承最優軸向位置應使艉軸承負荷達到最小，以減輕“邊緣負荷”現象；還應有合適的軸承負荷均勻度，防止軸系不均勻磨損和其他損傷事故發生，故設定第一優化目標為艉后軸承負荷：

式中：R1表示尾后軸承負荷。

以軸承負荷均勻度作為第二優化目標，計算過程同式（10）。

在0～120 Hz單位橫向簡諧激勵力作用下，選取尾后軸承、尾前軸承及推力軸承三處傳遞功率流之和最小作為第三優化目標函數：

式中：Q1，Q2，Q3分別為尾后、尾前、推力軸承處的傳遞功率流。

2.3 約束條件的確定

2.3.1 中間軸承軸向位置優化約束條件

受軸系結構強度與安裝誤差限制，軸承軸向位置L應遵循下式：

另外，為不影響軸系法蘭的安裝與對中，軸承中心到兩端法蘭中心間距應為0.2倍軸承間距左右。

2.3.2 軸承垂向位置優化約束條件

根據軸系校中標準的要求，軸承垂向位置優化應遵循下列條件[10]：

1）軸承負荷約束。軸系運轉時各軸承負荷應處于一定范圍內，既不超過生產廠家的最大負荷限制，也不出現脫空現象：

式中：[Rimin]和[Rimax]分別為軸系第i個軸承最小、最大允許負荷，可由下式導出：

式中：[P]為軸承材料許用壓強；L為軸襯工作長度；W左，W右分別為軸承左，右側軸段質量；ΣP為軸承兩跨軸上的總載荷。

2）軸段彎曲應力約束。不同軸段的最大許用彎曲應力不同：[σ尾軸]≤20 MPa、[σ中間軸]≤20 MPa、[σ推力軸]≤15 MPa。

3）螺旋槳下沉角約束。不同的尾后軸承材料，對螺旋槳下沉角要求不同：

4）主機輸出端法蘭處剪力與彎矩約束。對主機與推進軸系直接相連的軸系，在校中時須使主機輸出端法蘭處剪力、彎矩處于制造廠家規定的范圍內。

2.4 優化模型的求解

軸系雙向校中是一個多目標優化問題，其一般式為：

式中：F（x）為目標函數；X為優化變量；gi（x），hi（x）分別為等式，不等式約束。

本文采用線性加權和法構造評價函數求解該多目標優化模型，即構造函數：

式中，wi≥0且

用層次分析法來確定上式中各優化目標加權系數。在運用層次分析法之前，須對各子目標進行統一量綱處理：用層次分析法確定各子目標加權系數基本步驟如下[11]:

1）根據各子目標重要程度和相關性建立判斷矩陣；

2）計算判斷矩陣各行乘向量，確定各元素權重，即各子目標加權系數；

3）檢驗判斷矩陣一致性。

當判斷矩陣一致性檢驗通過后，將計算得出的各權重系數用于對各子目標加權處理，將其轉化為單目標優化函數再進行求解。

3 優化算法及計算流程

基于上述構建的軸系雙向校中優化模型，在Isight優化軟件中，將Pointer優化器與Matlab組件相結合，編制優化計算程序，其基本流程如圖2所示。

程序中優化計算模塊包含了優化變量、約束條件、輸出變量、目標函數的定義與設置，它能根據選定的計算方法對模型進行求解，并輸出各軸承優化后的變位值。另外，文中采用的Pointer優化算法是Isight優化軟件提供的一種智能優化專家，其整合了線性單純形法、序列二次規劃法、最速下降法與遺傳算法，而且能夠自動地形成一種最優的優化策略，從而充分發揮優化設計的優越性。

圖2 優化計算流程圖Fig. 2 Flow diagram of optimum calculation

4 工程應用

某船舶推進軸系結構如圖3所示。該軸系總長20.27 m，由首至尾依次為主推進裝置、輪胎離合器、中間軸承、彈性聯軸器、推力軸承、尾前軸承、尾承、尾后軸承、螺旋槳。合理簡化該軸系各結構得到其計算模型如圖4所示。

4.1 中間軸承軸向位置優化計算結果

圖3 某船舶推進軸系結構示意圖Fig. 3 The schematic diagram of ship propulsion

圖4 某船舶推進軸系校中計算模型Fig. 4 The module diagram for ship propulsion shafting alignment calculation

對中間軸承位置進行軸向優化，得出中間軸承布置在20.105 m時，加權形成的單目標函數有最優值。優化前后各軸承負荷如表1所示。可以看出，經中間軸承軸向位置優化后，各軸承負荷變得更為均勻，軸承負荷均勻度下降了5.7%，軸系受力狀態更為合理。

表1 中間軸承軸向位置優化后軸承負荷表Tab. 1 Load of bearings after optimization of intermediate bearing's axial position

表2為優化前后各軸承相對于中間軸承的負荷影響數取值。由表2可知，優化后各軸承相對于中間軸承的負荷影響數均有所下降，其中尾中軸承相對于中間軸承的負荷影響數下降最為明顯，減少了約31%。

表2 各軸承相對于中間軸承負荷影響數表Tab. 2 The load influence value of each bearing relative to the intermediate bearing

4.2 軸承垂向位置優化計算結果

將中間軸承軸向位置優化結果作為輸入條件之一代入軸承垂向位置優化流程，導入各約束條件與優化目標，計算得出各軸承垂向變位值如表3所示。由表3可知優化后軸系變為曲線狀態，其中尾中、推力軸承垂向位置都處于理論中心線以下。

表4為軸承垂向位置優化后各軸承負荷值。由表4可知，優化后艉后軸承負荷降為67 514 N，艉中軸承負荷由3 191 N變為9 100 N，達到軸承許用負荷范圍要求。各軸承負荷均勻度有所增大，這是由于垂向位置校中優化約束條件比中間軸承位置校中時更為嚴格。

表3 軸承垂向優化變位表（mm）Tab. 3 Vertical displacement value of bearings （mm）

表4 軸承垂向優化后軸承負荷表Tab. 4 Load of bearings after optimization of bearings' vertical position

圖5為4種不同校中狀態下，在螺旋槳處施加單位橫向簡諧力，尾后軸承、尾前軸承、推力軸承3處的傳遞函數曲線。由圖5可知，經中間軸承軸向位置優化后，各軸承振動傳遞函數頻譜圖與初始狀態時基本一致；軸承垂向位置校中優化后，各軸承傳遞功率流級在6 Hz附近低頻段的數值有所增大，其他頻率范圍內均有下降。與軸承位置垂向優化相比，考慮減輕軸系彎曲振動的軸承垂向位置優化后，尾后、尾前、推力軸承處的振動傳遞曲線均有下降，軸系振動特性改善明顯。

5 結 語

提出一種以奇異函數、傳遞矩陣法及雷諾方程為理論基礎的，考慮減輕軸系振動的軸系軸承位置雙向校中優化方法，該方法以中間軸承軸向變位值、各軸承垂向變位值作為優化變量，分別以中間軸承對各軸承綜合負荷影響數、軸承負荷均勻度和尾后軸承負荷、軸承負荷均勻度及尾后、尾前、推力軸承處的傳遞功率流之和最小作為優化目標。以某船舶推進軸系為例，基于Isight優化軟件與Matlab組件，對其進行了校中優化。優化結果表明，各目標函數在校中前后均得到了不同程度地優化，且各約束變量均達到了標準規定的范圍內，這也驗證了本文在常規軸系校中的基礎上，將考慮減輕軸系振動作為優化目標之一，以進一步提高軸系校中質量、改善軸系振動特性的優化計算方法的合理、有效性。

圖5 尾后、尾前、推力軸承處傳遞函數曲線Fig. 5 Transfer function curve of rear bearing, front bearing and thrust bearing