非理想反電動勢無刷直流電機Simulink仿真

方 偉 葉 新 楊東軍

(1.中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所， 長春 130033;2.中國科學院大學，北京 100049)

0 引言

與傳統有刷電機相比，無刷直流電機不包含電刷，其使用霍爾元件作為位置反饋，并通過特定的換相邏輯，控制橋臂導通來進行電機驅動。隨著材料和電機設計的不斷更新進步，無刷直流電機的成本進一步下降，加上無刷直流電機擁有的無磨損、使用壽命長、效率高、動態響應高等優勢，使得無刷直流電機越來越多地應用于消費類電子產品、工業工程、交通運輸等領域。理想的無刷直流電機的相反電動勢波形為120°平頂寬的梯形波，但在實際應用中，無刷直流電機由于電機制造工藝等因素，很難將無刷直流電機的反電動勢波形設計成標準的120°平頂寬的梯形波。因此對于非理想反電動勢無刷直流電機進行仿真分析，可以更好地反映出無刷直流電機的實際性能。

無刷直流電機的轉矩波動較大，限制了其在高精度、高穩定性伺服領域的應用。事實上除了由無刷直流電機換相和由PWM調制方式引起的轉矩波動外，非理想反電動勢波形也會對轉矩波動產生影響[1]。針對無刷直流電機的轉矩波動問題，國內外研究人員提出了多種轉矩波動抑制方法。由電機換相引起的轉矩波動，可以采用超前角補償、重疊換相、電流滯環控制等方法減小轉矩波動[2-4]。模糊控制、自抗擾控制與直接轉矩控制技術也被用于抑制轉矩波動[5-8]。文獻[9]分析了PWM調制方法對轉矩波動的影響，文獻[10]提出了PWM_ON_PWM調制方式,在消除了非換相期間的續流現象的同時使得換相轉矩波動最小。

目前Simulink中針對無刷直流電機模型僅能通過更改修改平頂寬度來改變反電動勢波形，并不能完全反映出實際的非理想反動電動勢的情況，一定程度上限制了對非理想反動電動勢無刷直流電機的仿真研究。本文提出了一種基于傅里葉級數展開的非理想反電動勢無刷直流電機建模方法，該方法具有很強的通用性。并通過該模型搭建了非理想反電動勢無刷直流電機轉速閉環控制系統，對非理想反電動勢無刷直流電機的轉矩波動進行仿真研究，探討了轉矩波動抑制策略對非理想反電動勢無刷直流電機轉矩波動抑制的抑制效果。

1 無刷直流電機基本數學模型

假設無刷直流電機的系數均為常數，且各相繞組對稱分布，根據上述假設，建立了無刷直流電機的數學模型：

(1)

式中,Ua、Ub、Uc為相電壓，R為相電阻，ia、ib、ic為相電流，L為相電感，ea、eb、ec為相反電動勢。

圖1 無刷直流電機驅動等效電路圖

無刷直流電機的電磁轉矩為：

(2)

式中,ωe為電機電氣角速度。

2 基于傅里葉級數的非理想反電動勢電機建模方法

Simulink中無刷直流電機的電氣模型如圖2所示，從圖中可以看出，無刷直流電機的電氣模型主要由霍爾信號生成模塊、反電勢與磁通量生成模塊和狀態方程模塊組成。霍爾信號生成模塊用來無刷直流電機的上的霍爾傳感器的輸出信號，一般情況下，霍爾信號經過邏輯電路處理后可用來控制驅動器橋臂的通斷；反電動勢與磁通量生成模塊用來生成電機的反電動勢ea、eb、ec和電機的磁通量ψa、ψb、ψc用來計算電機的電磁轉矩；狀態方程模塊生成電機的三相電流ia、ib、ic用來計算電機的電磁轉矩。

圖2 無刷直流電機電氣模型Simulink框圖

圖3所示為無刷直流電機的霍爾信號生成模塊，模塊以無刷直流電機的電氣角位置信號θe為輸入，通過對電氣角度θe的判斷，來模擬生成三個霍爾傳感器的輸出信號。圖中所模擬的三個霍爾傳感器的安裝位置相差120電角度。可以通過修改霍爾信號的生成區間，來模擬在有霍爾傳感器安裝偏差下或在霍爾傳感器故障模式下無刷直流電機的轉矩波動與運行狀態。

圖3 無刷直流電機的霍爾信號生成模塊框圖

無刷直流電機的反電動勢與磁通量生成模塊如圖4所示，模塊以無刷直流電機的電氣角位置信號θe和電氣角速度ωe為輸入，通過對電氣角位置信號θe的處理生成無刷直流電機的三相磁通量ψa、ψb、ψc，再與電氣角速度ωe相乘得到無刷直流電機的三相反電動勢ea、eb、ec。無刷直流電機的三相反電動勢相位差為120°電角度。

圖4 無刷直流電機電氣模型的反電動勢與磁通量生成模塊框圖

無刷直流電機的狀態方程模塊如圖5所示，該模塊根據公式(1)搭建，輸入為無刷直流電機的三相反電勢ea、eb、ec和無刷直流電機的線電壓Uab、Ubc，利用差分方程模擬出無刷直流電機相電流ia、ib，在根據基爾霍夫定律求出相電流ic。

圖5 無刷直流電機的狀態方程模塊框圖

為了對非理想反電動勢無刷直流電機進行仿真分析，需要對無刷直流電機電氣模型中的反電動勢與磁通量生成模塊進行設計來模擬出無刷直流電機的非理想反電動勢。

圖6所示為原有的無刷直流電機反電動勢與磁通量生成模塊中的A相反電動勢與磁通量生成模塊框圖。從圖中可以看出，在原有的A相反電動勢與磁通量生成模塊框中，利用余弦與飽和模塊對無刷直流電機的理想梯形反電動勢波形進行了仿真。

圖6 無刷直流電氣模型中A相反電動勢與磁通量生成子模塊

為了對無刷直流電機的非理想反電動勢波形進行仿真，需要對反電動勢的仿真機制進行分析。通常，在轉速穩定時，任意反電動勢波形周期為2π，設反電動勢函數為f(x)，其中x為電機的電氣角度，由反電動勢周期可知f(x)=f(x+2π)。且f(x)滿足Dirichlet條件，因此可以利用傅里葉級數對f(x)進行展開，如公式(3)所示：

(3)

對于任意反電動勢波形都可利用傅里葉級數進行近似逼近。

可以利用公式(3)的傅里葉級數法對圖6中A相反電動勢與磁通量生成子模塊進行修改。修改后的A相反電動勢與磁通量生成子模塊如圖7所示。

圖7 基于傅里葉級數法的A相反電動勢和磁通量子模塊

電機反電動勢在電氣角度(-π,π)內，可以根據公式(3)對反電動勢進行傅里葉級數展開。圖7中的A相反電動勢子模塊中的反電動勢傅里葉級數展開為：

(4)

此時的無刷直流電機三相反電動勢如圖8所示。從圖8中可以看出此時無刷直流電機的反電動勢波形并非理想的120°平頂寬的梯形波，而是由公式(4)近似出的非理想反電動勢波形。

圖8 基于傅里葉級數法仿真出的非理想反電動勢波形

根據此方法與實際無刷直流電機仿真需求設計了如圖9所示的非理想反電動勢無刷直流電機建模流程。首先在無刷直流電機轉速穩定時測得電機的反電動勢波形，通過對電機反電動勢波形的傅里葉展開，得到傅里葉級數的各項系數。將各項系數帶入到公式(3)中即可建立非理想反電動勢無刷直流電機的電氣模型。

圖9 基于傅里葉級數法的非理想反電動勢無刷直流電機建模流程圖

傳統對無刷直流電機的仿真大多局限于理想梯形反電動勢無刷直流電機，通過確定相電阻和相電感來確定無刷直流電機的數學模型如公式(1)，利用該數學模型進行建模直接對無刷直流電機進行仿真。而圖9中所示的基于傅里葉級數法的非理想反電動勢無刷直流電機建模流程，則將無刷直流電機制造時的所產生的非理想反電動勢也在電機建模時作重要的建模參考。可對非理想反電動勢無刷直流電機進行的實際運轉情況進行更好的模擬，有助于對無刷直流電機的性能分析和驅動設計。

3 非理想反電動勢無刷直流電機轉速閉環控制系統設計

3.1 控制系統組成

無刷直流電機閉環控制仿真模型由無刷直流電機模塊、功率驅動電路、PWM驅動器信號生成模塊和PID控制器組成。圖10為無刷直流電機轉速閉環控制系統系統方框圖。

圖10 無刷直流電機轉速閉環控制框圖

3.2 控制系統仿真實現

將基于傅里葉級數法的非理想反電動勢無刷直流電機模型與圖10所示的無刷直流電機轉速閉環控制系統相結合，得到了如圖11所示的非理想反電動勢無刷直流電機轉速閉環控制系統，其中功率驅動器的母線電壓為28 V。

圖11 非理想反電動勢無刷直流電機轉速閉環仿真模型

模型中的PID控制器根據轉速偏差來計算產生控制電壓信號，控制電壓信號經由驅動器控制信號模塊進行PWM調制，生成相應的功率驅動器橋臂的開關信號來控制橋臂的導通和關斷，來對無刷直流電機的相電壓進行控制，從而對無刷直流電機的轉速進行控制。

圖11非理想反電動勢無刷直流電機轉速閉環仿真模型中的驅動控制信號生成模塊可以根據無刷直流電機的所用的驅動方式來進行調整，通常情況下該模塊是根據無刷直流電機的霍爾信號和PID控制器的輸出電壓信號來生成控制功率驅動器的橋臂導通PWM信號。但當無刷直流電機采用特殊的驅動方法時如 PWM_ON_PWM或是SVPWM驅動時，由三個霍爾元件組成的無刷直流電機角位置傳感器的信號將無法滿足特殊驅動方法的所需的位置分辨率信息。需要增加霍爾元件的數量，或是換為角分辨率更高的反饋元件。

仿真所用的無刷直流電機參數如表1所示。

表1 無刷直流電機仿真模型參數

在研究無刷直流電機的非理想反電動勢時，需要使得無刷直流電機保持轉速的穩定。這就構建非理想反電動勢無刷直流電機的轉速閉環控制系統仿真模型，如圖11所示。

非理想反電動勢無刷直流電機的轉速閉環控制系統仿真模型的控制器采用數字PID控制器，以轉速偏差信號為輸入計算出，調整到目標轉速所需的驅動器需要的控制電壓。再利用PWM技術進行線電壓調節，最終使得非理想反電動勢無刷直流電機的轉速穩定在目標轉速值。為了使得非理想反電動勢無刷直流電機的轉速閉環控制系統具有良好的動態響應性能，需要對數字PID控制器的控制參數進行整定。根據公式(1)和公式(2)推導出無刷直流電機的傳遞函數W(s)為：

(4)

將表1中的點擊參數帶入到公式(4)中得到：

(5)

根據公式(5)無刷直流電機傳遞函數，在Simulink中建立無刷直流電機轉速控制系統仿真模型如圖12所示。

圖12 無刷直流電機轉速控制系統仿真模型

對數字PID控制器中的控制參數進行整定。整定后的PID控制參數為Kp=3.849 5，Ki=89.661 6，Kd=-0.001 77。PID控制器的最大輸出為母線電壓最大值28V，最小輸出為0V。

將整定好的PID參數帶入到圖11的非理想反電動勢無刷直流電機轉速閉環仿真模型中，并進行仿真得到圖13所示的仿真結果。

圖13 非理想反電動勢無刷直流電機轉速閉環仿真結果

當目標轉速為1 000 rpm時，電機經過0.5 s左右可以達到目標轉速。圖14是這一動態過程中，PID控制器計算輸出的電機線電壓的仿真結果圖。從圖中可以看出，在這一動態過程中，當實際轉速與目標轉速偏差較大時，PID控制器輸出28 V線電壓，使得電機可以以最大轉矩進行加速。當實際轉速接近目標轉速時，PID控制器輸出的線電壓數值開始下降，最終當轉速穩定在1 000 rpm時，PID控制器輸出的線電壓穩定在8.2 V。通過圖13和圖14可以看出，整定出的PID控制器參數可以很好的滿足非理想反電動勢無刷直流電機閉環控制系統的動態響應需求。

圖14 非理想反電動勢無刷直流電機PID控制器輸出線電壓仿真結果

4 非理想反電動勢無刷直流電機轉矩波動仿真實驗分析

利用第3節中建立的非理想反電動勢無刷直流電機轉速閉環模型，可以在轉速穩定時對非理想反電動勢無刷直流電機的轉矩波動進行仿真分析。在不同種PWM調制方式、不同驅動波形下對非理想反電動勢無刷直流電機轉矩波動進行仿真。

4.1 PWM調制方式對電機轉矩波動的影響

用于無刷直流電機驅動的PWM調制方式可以分為：PWM_PWM、H_PWM-L_ON、H_ON-L_PWM、PWM_ON、ON_PWM和PWM_ON_PWM共6種調制方式，如圖15所示。

圖15 6種PWM調制方式的開關管狀態

為了分析不同PWM調制方對非理想反電動勢無刷直流電機的轉矩波動影響，利用非理想反電動勢無刷直流電機轉速閉環控制仿真模型對6種PWM調制方式進行仿真得到圖16的6種PWM調制方式下的轉矩曲線。

圖16 六種PWM調制方式的轉矩曲線

從圖16中可以直觀地看出在PWM_PWM調制驅動方式下，電機的轉矩波動最大，傳統的H_PWM_L_ON與H_ON_L_PWM調制驅動方式下的轉矩波動基本一致，小于PWM_PWM調制驅動方式，但略大于ON_PWM調制驅動方式，PWM_ON與PWM_ON_PWM調制驅動方式下，電機轉矩波動較小。6種PWM調制方式下的轉矩波動數據見表2。

表2 6種PWM調制方式下的轉矩波動數據

4.2 重疊換相對于轉矩波動抑制

重疊換相常用來抑制相電流換相引起的轉矩脈動。將關斷相延遲一定時間關斷，或者將導通相提前一定時間導通。使得關斷相電流下降和導通相電流增加可以互相抵消，最終保證非換相電流穩定，來抑制換相引起的轉矩波動。以PWM-ON調制方式為例，利用非理想反電動勢無刷直流電機轉速閉環仿真模型對重疊換相法進行仿真。圖17是未采用重疊換相時的電機電磁轉矩曲線，圖18是加入重疊換相后的電機電磁轉矩曲線。

圖17 未采用重疊換相時PWM-ON調制方式下的電機轉矩曲線

圖18 采用重疊換相后的PWM-ON調制方式下的電機轉矩曲線

未采用重疊換相時，在PWM-ON調制方式驅動下，電機的轉矩波動峰峰值為0.0417 1 N·m，采用重疊換相后，在PWM-ON調制方式驅動下，電機的轉矩波動峰峰值為0.0330 7 N·m。仿真結果表明，在非理想反電動勢無刷直流電機驅動中，采用重疊換相可以抑制轉矩波動。

4.3 正弦波驅動對于轉矩波動的抑制

無刷直流電機的非理想反電動勢波形近似與正弦波，這種情況下可以考慮采用正弦波驅動來改善方波驅動下的轉矩波動較大的問題。

基于SVPWM調制方式，利用非理想反電動勢無刷直流電機轉速閉環仿真模型，對非理想反電動勢無刷直流電機的正弦波驅動方是進行仿真。通過仿真得到圖20 SVPWM調制方式下電機的相電流波形，從圖中可以看出相電流呈正弦波。與圖19 PWM_ON調制方式下的相電流波形相比，可以看出采用SVPWM調制方式可以避免由于換相引起的相電流跌落。此時非理想反電動勢無刷直流電機的電磁轉矩曲線如圖21所示，轉矩波動峰峰值為0.0126 1 N·m。圖22將正弦波與方波驅動時電機轉矩波動峰峰值比較，可以看出相比于6種方波驅動方式以及重疊換相改進方法，采用正弦波驅動可以更為有效抑制轉矩波動。

圖19 PWM_ON調制方式下相電流波形

圖20 SVPWM調制方式下相電流波形

圖21 SVPWM調制方式下的電機電磁轉矩曲線

圖22 正弦波驅動與方波驅動下轉電機轉矩波動對比

5 結束語

本文提出了一種基于傅里葉級數的非理想反電動勢無刷直流電機建模方法。并在Simulink中構建了非理想反電動勢無刷直流電機轉速閉環控制系統，驗證了該方法能夠對復雜非理想反電動勢無刷直流電機進行仿真模擬。通過對非理想反電動勢無刷直流電機轉矩不同驅動方式下波動仿真實驗結果表明，在使用方波驅動時，PWM調制方式對于非理想反電動勢無刷直流電機的轉矩波動有影響，選擇合理的PWM調制方式可以減小非理想反電動勢無刷直流電機的轉矩波動；采用重疊換相法有助于進一步抑制轉矩波動；相比于方波驅動，利用正弦波驅動非理想反電動勢無刷直流電機，可以更為有效地對轉矩波動進行抑制。根據實際情況，綜合技術與成本等因素，可以從中選出合適的驅動方式，為非理想反電動勢無刷直流電機機的驅動設計提供了參考依據。