基于期望系統(tǒng)的PID頻域逼近設(shè)計(jì)

(河海大學(xué) 物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院，江蘇 常州 213022)

0 引言

PID是過程控制系統(tǒng)中應(yīng)用最廣的控制器，其類型可分為固定參數(shù)PID和自適應(yīng)PID[1-3]。對于大多數(shù)工業(yè)控制過程，固定參數(shù)PID基本能夠滿足系統(tǒng)的控制性能要求。

在固定參數(shù)PID的整定方法中，不論是依賴被控對象的參數(shù)模型還是非參數(shù)模型(自整定方式)[4-5]，大多集中在頻域進(jìn)行參數(shù)計(jì)算，其中最流行的是基于穩(wěn)定裕度[6-10]或最大敏感度[11]的PID整定方法。由于頻域性能指標(biāo)與時域性能指標(biāo)難以形成一個有效的映射關(guān)系，按照頻域性能指標(biāo)設(shè)計(jì)往往難以保證時域指標(biāo)(如超調(diào)量、調(diào)節(jié)時間)。

為了獲得期望的時域性能，有學(xué)者提出了超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間受約束的PID整定方法[12]，但這種方法適用于低階被控對象。還有一類方法將時域性能蘊(yùn)含在一個期望系統(tǒng)中，通過Macraulin展開技術(shù)實(shí)現(xiàn)模型逼近，以此來獲得期望的時域響應(yīng)[13-16]。這類方法在被控對象的脈沖響應(yīng)[17]或階躍響應(yīng)[18]條件下，利用系統(tǒng)的輸出數(shù)據(jù)計(jì)算PID參數(shù)，因此，很容易形成一種未建模條件下的PID自整定方案。

基于Macraulin展開的模型逼近技術(shù)，實(shí)質(zhì)上也是一種頻域逼近技術(shù)，這種方法雖然能夠得到很好的低頻逼近特性，但由于沒有考慮到影響系統(tǒng)穩(wěn)定性的中頻段特性，因此無法確保系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕度。為此，不少學(xué)者提出將極點(diǎn)配置與穩(wěn)定裕度條件相結(jié)合[19-22]的方案。但對于高階或時滯系統(tǒng)，極點(diǎn)位置只能定性地反映系統(tǒng)時域性能，無法與調(diào)節(jié)時間和超調(diào)量建立定量關(guān)系。因此，這類方案也只適合于低階系統(tǒng)。

考慮到期望系統(tǒng)具有綜合表達(dá)系統(tǒng)性能的優(yōu)點(diǎn)以及穩(wěn)定性的重要性，本文將采用期望系統(tǒng)模型來表征設(shè)計(jì)指標(biāo)，并采用當(dāng)前通行的頻域設(shè)計(jì)方法[6-11]，從頻域逼近和穩(wěn)定性入手，提出一種新的PID參數(shù)整定方法，以獲得時域性能和頻域性能的期望逼近。

1 PID開環(huán)頻域逼近設(shè)計(jì)

由線性系統(tǒng)理論可知，系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的低頻段決定了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性，中頻段影響著閉環(huán)系統(tǒng)的瞬態(tài)性能。由于幅值裕度、相角裕度以及最大敏感度這三種頻域指標(biāo)均處于開環(huán)頻率特性的中頻段，因此，為了實(shí)現(xiàn)最佳逼近效果，必須考慮同時中頻段和低頻段頻率特性的影響。

圖1 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

設(shè)控制系統(tǒng)如圖1所示。圖中，Gc(s)為PID控制器：

其中:Kp、Ki、Kd分別為比例增益、積分增益和微分增益。

設(shè)被控對象Gp(s)的頻率特性模型為：

Gp(jω)=u(ω)+jv(ω)

考慮自衡工業(yè)過程，由于Gp(s)不含積分環(huán)節(jié)，于是有：

(1)

由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖易知，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：

G(s)=Gc(s)Gp(s)

相應(yīng)的頻率特性模型為：

G(jω)=Gc(jω)Gp(jω)=p(ω)+jq(ω)

其中：

(2)

設(shè)期望的系統(tǒng)模型為Φ*(s)，其頻率特性模型為：

Φ*(jω)=x(ω)+jy(ω)

若Φ*(s)為無靜差系統(tǒng)，即Φ*(0)=1，則有：

(3)

其等價的期望開環(huán)頻率特性為：

式中,

(4)

若能實(shí)現(xiàn)期望開環(huán)幅相頻率特性逼近，則在理想情況下，在任意頻率ω(ω∈R+)處，有：

但這種條件大多情況下難以滿足。

在開環(huán)頻率特性的低頻段，令ω→0。為了避免虛部趨近無窮，上式修改為：

(5)

將式(1)～(4)代入到式(5) 中，即可得到比例增益Kp和積分增益Ki：

(6)

對于大多數(shù)工業(yè)受控對象：

若期望模型為：

則式(6)可簡化為：

(7)

由式(7)不難發(fā)現(xiàn)，比例增益和微分增益與期望系統(tǒng)的模型參數(shù)a無關(guān)，即：在期望模型相同的情況下，一階純滯后對象(a=0)和二階純滯后對象(a≠0)的比例增益和微分增益完全相同。

在控制系統(tǒng)的頻域設(shè)計(jì)中，穩(wěn)定裕度(包括相角裕度和幅值裕度)是兩個重要的性能指標(biāo)，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性有著重要的意義，同時，系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度也影響著系統(tǒng)的時域動態(tài)性能指標(biāo)。

相角裕度是指系統(tǒng)開環(huán)幅值為1時(此處角頻率用ωp表示)，系統(tǒng)相角距-180°的差值；幅值裕度是指系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性在-180°處(此處角頻率用ωg表示)，系統(tǒng)幅值的倒數(shù)。當(dāng)相角裕度大于零且幅值裕度大于1時，系統(tǒng)穩(wěn)定。

為了確保校正后的系統(tǒng)穩(wěn)定裕度不低于期望系統(tǒng)，在開環(huán)系統(tǒng)的中頻段，要求待校正系統(tǒng)G(ω)的幅值小于或等于期望開環(huán)系統(tǒng)G*(ω)的幅值，即：

|Gc(ω)| |Gp(ω)|≤|G* (ω)|,ωp≤ω≤ωg

式中，ωp為G*(ω)在相角裕度處的截止頻率，ωg為G*(ω)在幅值裕度處的穿越頻率。

于是有：

解上式得微分增益Kd的參數(shù)范圍：

(8)

這個參數(shù)范圍由于滿足了期望穩(wěn)定裕度的性能要求，因此將其稱之為微分增益Kd的置信區(qū)間。

2 仿真研究

2.1 二階時滯對象

選取二階純滯后對象：

(9)

期望閉環(huán)傳遞函數(shù)與文獻(xiàn)[22]設(shè)置完全相同，即：

(10)

由式(10)知，期望的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

期望開環(huán)頻率特性G*(ω)在幅值裕度和相角裕度處的特征頻率分別為ωp=0.140 9和ωg=0.546 1。

根據(jù)式(7)可得比例增益和積分增益：

(Kp，Ki)=(0.028 5，0.286 8)

考察ωp和ωg及其中間值ω=0.343 5這三處的Kd范圍：首先計(jì)算這三個頻率處的幅值|G(ω)|和|G*(ω)|，然后將其代入到式(8)中，得：

Kd([0.070 7 28.78],ωp=0.140 9

Kd([0.060 3 4.801],ω=0.343 5

Kd([0.046 7 1.877],ωg=0.546 1

由上面結(jié)果可以看出：

1)Kd范圍隨著取樣頻率的增大而縮小，其區(qū)域邊界值也隨著取樣頻率的增大而減小；

2)ωp和ωg兩特征頻率處Kd范圍的交集決定了中頻段Kd的置信區(qū)間：Kd∈[0.070 7, 1.877]。

由于Kd置信區(qū)間存在近25倍的范圍比，為了研究Kd取值對系統(tǒng)逼近程度的影響，在該區(qū)間分別取三個值：區(qū)域兩邊界值和區(qū)間中值。

表1列出Kd不同值對系統(tǒng)頻域指標(biāo)的影響。在Kd的置信區(qū)間內(nèi)，Kd取值越小，所得頻域性能越接近期望系統(tǒng)，當(dāng)Kd取值增大時，相角裕度高于期望的相角裕度，但幅值裕度會小于期望值。

表1 頻域性能

從圖2中的開環(huán)幅相頻率曲線可以看出，當(dāng)Kd增大后，由于微分特性的影響，隨著系統(tǒng)的頻率增大開環(huán)幅值快速增大，從而影響了系統(tǒng)的頻域指標(biāo)。

圖2 時滯系統(tǒng)開環(huán)頻率響應(yīng)

圖3是三個不同微分增益的時域響應(yīng)對比曲線。時域響應(yīng)的逼近程度與頻域開環(huán)幅相頻率曲線的極為相似，Kd取值越小，對設(shè)置值的跟蹤越接近期望系統(tǒng)。當(dāng)Kd取置信區(qū)間下限時，系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線幾乎與期望系統(tǒng)重合。

圖3 時滯系統(tǒng)閉環(huán)時域響應(yīng)

2.2 非最小相位對象

考察非最小相位對象[22]：

(11)

其期望系統(tǒng)仍采用式(10)所示模型。

由式(7)得：

(Kp，Ki)=(0.131 8，0.286 8)

由式(8)得：

則Kd的置信區(qū)間：Kd∈[0.099 7, 1.846]。

表2列出了該區(qū)間三個不同Kd值的頻域指標(biāo)。對于非最小相位對象，Kd對系統(tǒng)性能的影響與純滯后系統(tǒng)十分相似：在置信區(qū)間內(nèi)，Kd取值越小，頻域性能(如圖4)和時域性能(如圖5)指標(biāo)越接近期望系統(tǒng)。

表2 頻域性能

圖4 非最小相位系統(tǒng)開環(huán)頻率響應(yīng)

圖5 非最小相位系統(tǒng)閉環(huán)時域響應(yīng)

2.3 不同PID對比研究

為了與其它PID整定方法進(jìn)行比較，選取式(11)所示非最小相位被控對象，時域和頻域性能指標(biāo)由式(10)所示期望模型確定。

文獻(xiàn)[18]采用模型逼近所得的比例增益Kp和積分增益Ki與本文方法完全相同，而微分增益Kd則處于本文的置信區(qū)間內(nèi)，距置信區(qū)間下限非常接近。

文獻(xiàn)[10]按照式(10)所示期望系統(tǒng)的頻域指標(biāo)設(shè)計(jì)，比例增益Kp和積分增益Ki也與本文方法十分接近，微分增益Kd雖然也處于本文的置信區(qū)間內(nèi)，但接近于置信區(qū)間的上邊界。

文獻(xiàn)[22]提供的方法無法直接對非最小相位對象進(jìn)行PID參數(shù)求解，采用的方案是：先將式(11)非最小相位對象用式(9)所示二階時滯模型近似，然后計(jì)算PID參數(shù)。

表3給出了式(11)所示非最小相位對象的四種PID的參數(shù)值。

表4給出了4種情況下的頻域指標(biāo)，本文方法與文獻(xiàn)[18]所得穩(wěn)定裕度幾乎完全相同；文獻(xiàn)[10]的幅值裕度偏低，且穿越頻率偏高；文獻(xiàn)[22]的幅值裕度高于期望值，但相角裕度低于期望值。

表3 PID參數(shù)

表4 頻域性能

圖6給出開環(huán)幅相頻率曲線的對比圖，可以看出本文與文獻(xiàn)[18]較另外兩種方法逼近期望效果更好。在中低頻段，文獻(xiàn)[10]和文獻(xiàn)[22]所示系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性曲線明顯偏離了期望曲線。

圖6 開環(huán)頻率響應(yīng)

圖7是4種PID的閉環(huán)控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線。由響應(yīng)曲線可以看出，本文方法在快速性和平穩(wěn)性方面性能最佳；文獻(xiàn)[18]雖然與本文方法具有非常相近的穩(wěn)定裕度，但在超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間上還是與本文有明顯的差別；文獻(xiàn)[10]由于只考慮了穩(wěn)定裕度，因而跟蹤性能在4種PID中表現(xiàn)最差。

圖7 4種PID階躍響應(yīng)曲線

3 實(shí)驗(yàn)測試與分析

3.1 系統(tǒng)建模

當(dāng)前的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法幾乎都是基于被控對象的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行參數(shù)整定。因此，要獲得控制器參數(shù)，首先需要建立被控對象的數(shù)學(xué)模型。

本文選取的被控對象是一單容水箱的水位控制系統(tǒng)。水箱的液位高度控制系統(tǒng)是過程控制中常見控制系統(tǒng)。進(jìn)水量通過調(diào)節(jié)電動閥的開度實(shí)現(xiàn)。由于水在管道中的傳輸需要一段時間，因此系統(tǒng)呈現(xiàn)明顯的時滯特性。另外水箱下部的出水量與水位高度平方根有關(guān)：

式中，A為放水孔的截面積，a和b分別是與流出和流入速度有關(guān)的常量，h為水位高度，u為閥門開度。因此系統(tǒng)又表現(xiàn)出一定的非線性。

由于參數(shù)a和b無法測量，本實(shí)驗(yàn)通過開環(huán)階躍測試，得到電機(jī)控制電壓和水位高度的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，然后利用Matlab的系統(tǒng)辨識工具箱，將這個非線性時滯系統(tǒng)近似為一階純滯后環(huán)節(jié)：

該模型的階躍響應(yīng)與實(shí)驗(yàn)測試數(shù)據(jù)的逼近程度為87%。被控對象的開環(huán)調(diào)節(jié)時間為739秒。

3.2 期望模型選擇

本文所述系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法，理論上能夠確保待設(shè)計(jì)系統(tǒng)逼近期望系統(tǒng)的性能。但在仿真驗(yàn)證時，未考慮物理系統(tǒng)的各種約束條件，如控制量受限、非線性因素等，這些客觀約束條件的存在，會導(dǎo)致系統(tǒng)的實(shí)際性能與期望的性能存在一定的差距。因此，期望系統(tǒng)的模型選擇必須慎重。

我們知道，超調(diào)量δ%和調(diào)節(jié)時間ts是時域性能指標(biāo)中的兩個重要物理量。對于一階系統(tǒng)：

和二階系統(tǒng)：

來講，超調(diào)量δ%(0<ξ<1)和調(diào)節(jié)時間ts分別存在如表5所示對應(yīng)關(guān)系。如果系統(tǒng)存在時滯L，則調(diào)節(jié)時間再加上L，超調(diào)量不變。

表5 時域指標(biāo)與期望模型的關(guān)系

為了研究不同期望模型對實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)性能的影響，實(shí)驗(yàn)中的選擇三種期望模型進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計(jì)：

考察系統(tǒng)在非線性以及控制量受限的約束條件下，所得實(shí)際系統(tǒng)性能與期望系統(tǒng)性能的逼近程度。

由三種期望模型，很容易得到系統(tǒng)的時域期望性能指標(biāo)(見表6)。

表6 期望的時域性能指標(biāo)

3.3 實(shí)驗(yàn)分析

表7給出了3種期望模型下的PID比例增益和積分增益參數(shù)以及微分增益的置信區(qū)間。

表7 不同期望模型的PID參數(shù)

根據(jù)三組期望模型，在各自的置信區(qū)間內(nèi)，分別取三組PID參數(shù)值：

PID1：(Kp,Ki,Kd)=(26.7, 0.11, 24.5)

PID2：(Kp,Ki,Kd)=(39.3, 0.16, 47.1)

PID3：(Kp,Ki,Kd)=(74.4, 0.31, 71.9)

水箱水位的期望高度設(shè)定為6厘米，采樣周期為1秒。

圖8～圖10分別是三組PID控制系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線。從實(shí)驗(yàn)曲線上看，采用第二個期望模型進(jìn)行PID參數(shù)計(jì)算，所得校正后系統(tǒng)與期望系統(tǒng)的逼近程度較高。

圖8 PID1實(shí)驗(yàn)曲線

圖9 PID2實(shí)驗(yàn)曲線

圖10 PID3實(shí)驗(yàn)曲線

表8是三組PID控制系統(tǒng)的時域性能指標(biāo)。

表8 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的時域性能指標(biāo)

從表8可以看出，PID1系統(tǒng)盡管滿足了超調(diào)量的要求，但響應(yīng)速度偏慢；PID3所示系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間，均與期望的性能差別較大。

PID3所對應(yīng)系統(tǒng)的超調(diào)量與期望的超調(diào)量差距較大，其主要原因：當(dāng)要求系統(tǒng)響應(yīng)速度快時，系統(tǒng)需要提供較大的控制作用，但實(shí)驗(yàn)裝置的控制量限制在0～100范圍內(nèi)，電動調(diào)節(jié)閥一直處于飽和運(yùn)行狀態(tài)，原有的控制規(guī)律不再符合設(shè)計(jì)要求，從而產(chǎn)生了較大的超調(diào)量。

PID3的實(shí)驗(yàn)結(jié)果說明：由于受物理?xiàng)l件的限制，期望的響應(yīng)速度不應(yīng)該設(shè)置太快，否則時域性能指標(biāo)難以滿足期望的要求。

對比實(shí)驗(yàn)中，只有PID2所示系統(tǒng)與期望的系統(tǒng)十分接近。因此，建議期望模型的響應(yīng)速度一般選擇為被控對象開環(huán)響應(yīng)的4～5倍為宜。這樣實(shí)際系統(tǒng)的性能基本上可以接近期望系統(tǒng)的性能。

4 結(jié)束語

為了滿足系統(tǒng)的時域性能指標(biāo)要求，本文提出了一種PID頻域逼近設(shè)計(jì)方法。該方法將期望的時域指標(biāo)轉(zhuǎn)換為期望的開環(huán)模型，通過期望開環(huán)低頻特性逼近和中頻段穩(wěn)定裕度約束，獲得了PID參數(shù)及其置信區(qū)間。與其它PID設(shè)計(jì)方法不同的是，本文給出了比例增益和微分增益的定量計(jì)算方法，而微分增益給出的是一個置信區(qū)間，使得本方法所設(shè)計(jì)的PID控制器非常靈活，能夠在滿足穩(wěn)定性的前提下，最大限度地逼近期望性能。仿真對比研究證明了本文方法的有效性。

由于實(shí)際物理系統(tǒng)均具有非線性以及控制量受限的約束條件，要在工程應(yīng)用獲得與期望系統(tǒng)更近的性能時域性能，期望模型的選擇需要依據(jù)被控對象的開環(huán)響應(yīng)速度來決定。本文在液位控制實(shí)驗(yàn)中討論了不同期望模型對實(shí)際控制性能的影響，建議期望的響應(yīng)速度以被控對象開環(huán)響應(yīng)速度的4～5倍為宜。