多彈性支承-軸向運動導紗梳櫛的振動模型

蘇柳元， 孟 婥， 王亞誠， 葛曉逸， 張玉井

(1. 東華大學 機械工程學院， 上海 201620； 2. 福建屹立智能化科技有限公司， 福建 莆田 351146)

經編機導紗梳櫛由于振動引起彎曲變形會造成導紗針與舌針摩擦，阻礙了經編機向高速化發展，因此需對其動力學特性開展研究。導紗梳櫛具有橫截面小、長度長、多支承和高速往復軸向運動的特點，可將其等效為連續梁結構進行動力學特性研究。連續梁結構廣泛應用于航天航空、機械工程和土木建筑等領域，其振動模型是研究橋梁、管道和導彈彈道等動力學問題的關鍵。對于中間支承較多的連續梁，其彎曲振動問題復雜，在分析中大都采用能量法、迭代法和傳遞矩陣法等進行近似計算。Yesilce等[1]采用割線法對帶有彈簧質量系統的多跨鐵木辛柯梁進行了振動分析；葉茂等[2]分析了中間彈性支承、變剛度和密度的階梯梁的模態振型；Johansson 等[3]基于拉普拉斯傳遞矩陣法研究了連續階梯梁在恒速運動載荷下的振動；劉向堯等[4]基于傳遞矩陣法研究了復雜邊界條件下多跨梁的振動。這些研究均為多支承導紗梳櫛的振動分析提供參考。

一些軸向運動的工程原件，如纜車索道、傳送帶、帶鋸和炮筒等，其固有頻率和振型受到速度和加速度的嚴重影響，不能簡單地等效為靜態梁模型。因此，采用動態梁理論建立導紗梳櫛的振動模型，研究軸向速度和加速度對其固有頻率的影響。Yang 等[5]采用假設參數法獲得了軸向運動梁在不同邊界條件下的固有頻率；Lv 等[6]采用多尺度法研究了軸向加速黏彈性三明治梁在時變張力情況下的非線性參數共振和內部張力對其固有頻率和軸向振幅的影響；Park等[7]采用伽遼金法分析了中間彈性支承軸向運動有限長度梁的橫向振動并研究了彈簧位置和剛度對其固有頻率和振型的影響。這些研究方法為多支承-軸向運動導紗梳櫛的振動分析提供了參考。

以上提到的文獻主要針對簡單邊界條件(固定和鉸接)和簡單運動規律下的梁振動研究。在實際工程應用中對于具有復雜邊界條件和確定運動規律的梁振動研究較少。本文基于連續梁理論，考慮導紗梳櫛的形狀、材料、支承形式和運動規律，對其固有頻率和振型進行了研究，為減小導紗梳櫛的彎曲振動和優化經編機的橫移系統提供參考。

1 梳櫛橫移系統結構特性

梳櫛橫移系統由伺服電動機、滾珠絲杠副、球鉸、鋼絲繩、導紗梳櫛和導向元件組成，其結構原理如圖1 所示。伺服電動機驅動滾珠絲杠，通過球鉸將導紗梳櫛推出，再通過鋼絲繩拉回。由于導紗梳櫛跨距過長，需采用6對滾珠導套支承和導向。

圖1 梳櫛橫移系統結構原理圖Fig.1 Structural schematic diagram of guide bar shogging system

導紗梳櫛具有以下特點：

1)每段梳櫛的長度與其截面高度之比大于10，滿足梁條件。

2)一對滾珠導套可等效為2個并聯的彈簧；滾珠導套的長度遠小于導紗梳櫛的長度，滾珠導套可等效為集中支承的彈簧。

3)梳櫛橫移距離相對于梳櫛總長可忽略；橫移時間很短，可采用靜態和動態梁理論對其進行振動分析。

綜上得知，導紗梳櫛可等效為兩端自由、受軸向力、多彈性支承的連續梁結構，其主要振動形式為彎曲振動，可以基于靜態和動態梁振動理論進行研究。

2 靜態情況下導紗梳櫛的振動

2.1 多彈性支承靜態梁的振動模型

根據能量法和拉普拉斯變換得靜態梁的自由振動方程如式(1)所示。梁長度為L，密度為ρ，彈性模量為E，截面慣性矩為I，橫截面積為A，受軸向力P作用。

(1)

式(1)中，系數A、B、C、D由邊界條件和連續性條件決定。

(2)

式(2)中，

(3)

式中，w為角頻率。

圖2示出由n個彈性支承、兩端自由且受軸向力P作用的梁。

圖2 多彈性支承梁Fig.2 Elastically-supported beam

假設每段梁的模態方程為

(4)

梁兩端的轉矩和剪切力都為0，邊界條件為

(5)

λ22Dn+1coshλ2Ln+1=0

λ13Bn+1sinλ1Ln+1+λ23Cn+1coshλ2Ln+1+

λ23Dn+1sinhλ2Ln+1=0

由位移、轉角、彎矩、剪力的協調條件[8]得到連續性條件如式(6)所示，Kk為第k個支承的剛度。

(6)

KkYk+1(0)

k=1,2,3,…,n

結合式(5)和式(6)，得出

[T]·{A}=0

(7)

式中：{A}=[A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2,A3,B3,C3,D3,…,An+1,Bn+1,Cn+1,Dn+1]，由于每段模態函數的系數A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2,…,An+1,Bn+1,Cn+1,Dn+1,不全為0，則聯立方程得到系數矩陣為

|T|4(n+1)×4(n+1)=0

(8)

式(8)是兩端自由多彈性支承靜態梁在軸向力作用下的特征方程，系數矩陣T滿足式(9)。

(9)

式中：符號T(a∶b,c∶d)表示從矩陣T中第a行到第b行和第c列到第d列提取的子矩陣。

梁的模態方程為分段函數，即

(10)

Yn+1(x)[u(x-L1-L2-…-Ln)-

u(x-L)]

2.2 不同材料對導紗梳櫛固有頻率的影響

以國產某經編機為原型進行研究，其導紗梳櫛的結構參數如下：

1)導紗梳櫛總長L=3.6 m，橫截面積A=9.9×10-4m2。以球鉸驅動端為開始端，梳櫛每段長度L1～L7分別為0.16、0.6、0.68、0.72、0.65、0.6、0.19 m。

2)導紗梳櫛彎曲振動最先發生在截面慣性矩最小的方向，截面慣性矩Iy=4.11×10-8m4。

3)由Hertz接觸理論，計算得到滾珠導套徑向剛度KS=4.1×104kN/m，即第k個支承剛度為Kk=8.2×104kN/m。

導紗梳櫛一般為鋁合金、鎂鋁合金和碳纖維復合材料。對不同材料導紗梳櫛的第一階固有頻率進行研究，結果如表1所示。

可知：鎂鋁合金雖然質量輕，但彈性模量也較低，在相同結構和支承條件下，鎂鋁合金梳櫛的第一階固有頻率與鋁合金梳櫛差別不大，而采用鋁合金材料經濟性更好；碳纖維復合材料具有比模量高的特點，碳纖維復合材料梳櫛的第一階固有頻率是鋁合金和鎂鋁合金梳櫛的2倍以上；對于梳櫛數量較多、長度較長和支承較少的特殊經編機，其梳櫛可采用碳纖維復合材料。

表1 不同材料導紗梳櫛的第一階固有頻率Tab.1 First natural frequency of guide bar with different materials

2.3 支承剛度對固有頻率和模態振型影響

采用鋁合金梳櫛，使支承剛度分別為KS=2 000、4 000、8 000、20 000、100 000 kN/m，系統的前三階固有頻率如表2所示。

表2 不同支承剛度導紗梳櫛的前三階固有頻率Tab.2 First three natural frequencies with different supports stiffness

由表2可知：系統固有頻率隨著支承剛度的提高而提高，可采用提高支承剛度的方法來提高系統的剛度；當支承剛度Kk≥8 000 kN/m時，支承已接近剛性，隨著支承剛度的繼續提高，系統固有頻率提高的速度減慢，這時應采用其他方法提高梳櫛橫移系統的剛度。

系統對應的模態振型如圖3所示。可知：隨著支承剛度的增加，支承位置處彈性變形明顯降低，導紗梳櫛的振型也隨之發生變化；當支承剛度Kk≥8 000 kN/m時，隨著支承剛度的繼續增加，導紗梳櫛的模態振型基本保持不變。

圖3 不同支承剛度導紗梳櫛的前三階模態振型Fig.3 First three mode shapes of guide bar with different support stiffness

3 動態情況下導紗梳櫛的振動

3.1 多彈性支承軸向運動梁的振動模型

采用能量法和哈密頓定理得軸向運動梁的自由振動方程如式(11)所示，梁的軸向運動速度為v0，其他參數如靜態梁。

φ(X)=AeiβAX+BeiβBX+CeiβCX+DeiβDX

(11)

(12)

多彈性支承軸向運動梁模型如圖4所示。

圖4 軸向運動彈性支承梁模型Fig.4 Model of elastically supported axially moving beam

假設每段梁的模態函數為

φk(Xk)=AkeiβAXk+BkeiβBXk+CkeiβCXk+DkeiβDXk

(13)

梁的自由端剪力和彎矩為0，邊界條件為

(14)

連續性條件為

(15)

+KkLφk+1(0)

k=1,2,3,…,n

結合式(14)和式(15)有

[T]{A}=0

(16)

式中：{A}=[A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2,A3,B3,C3,D3,…,An+1,Bn+1,Cn+1,Dn+1]T，由于各段梁模態函數的系數不全為0，聯立方程組得到的系數矩陣為

|T|4(n+1)×4(n+1)=0

(17)

式(17)是兩端自由彈性支承軸向運動梁的特征方程，系數矩陣T滿足式(18)。

(18)

T(4k+1∶4k+4,4k-3∶4k+4)=

k=1,2,3,…,n

由式(17)得到角速度w和相應的βj(j=A,B,C,D)。軸向運動導紗梳櫛的模態函數如式(19)。

φ(X)=φ1(X)[u(X)-u(X-L1)]+

φ2(X)[u(X-L1)-u(X-L1-L2)]+…+

φn(X)[u(X-L1-L2-…-Ln-1)-

u(X-L1-L2-…-Ln)]+

φn+1(X)[u(X-L1-L2-…-Ln)-u(X-L)]

(19)

3.2 速度、加速度和橫移時間對固有頻率影響

圖5 導紗梳櫛第一階固有頻率隨軸向速度變化圖Fig.5 1st natural frequency vs axial velocity

圖6 導紗梳櫛第一階固有頻率隨軸向加速度變化圖Fig.6 1st natural frequency vs axial acceleration

對于梳櫛橫移系統，由于橫移時間很短，導紗梳櫛通常采用恒加速和恒減速的運動模式，如圖7所示。

圖7 恒加速恒減速運動模式Fig.7 Constant-acceleration and constant-deceleration motion mode of guide bar

橫移距離S=n×lstitch，lstitch為一個針距，n為橫移針距數。軸向運動速度v=S/T，T為橫移時間。加速度a=4S/T2。

在確定的經編工藝下，針距和橫移針數固定不變，當橫移時間減小時，軸向速度和加速度同時增加。針距lstitch為1.058 3 mm，橫移針距數n為3，當橫移時間從30 ms減少至10 ms時，軸向速度從 0.105 8 m/s增至0.317 5 m/s，加速度從 14.11 m/s2增至127.00 m/s2。第一階固有頻率如圖8所示。

圖8 導紗梳櫛第一階固有頻率隨橫移時間變化Fig.8 1st natural frequency vs translation time

由圖可知，當橫移時間變短時，導紗梳櫛的固有頻率升高，但升高的幅度很小。由于梳櫛橫移系統支承數目較多，梳櫛和滾珠導套的剛度較高，橫移時間對導紗梳櫛固有頻率的影響很小。因此，在導紗梳櫛的振動分析中，可以將其簡化為靜態梁模型，忽略軸向運動對其振動的影響。

4 結 論

1)針對經編機導紗梳櫛橫截面小、長度長、多支承和軸向運動的結構特點，基于連續梁理論建立其振動模型。通過能量法獲得導紗梳櫛的振動方程，通過邊界條件和連續性條件獲得其特征方程和模態函數。

2)研究不同材料對導紗梳櫛振動的影響可知：相同結構和支承條件的鋁合金與鎂鋁合金梳櫛第一階固有頻率差別不大，而采用鋁合金材料經濟性更好；碳纖維復合材料梳櫛具有比模量高的特點，其第一階固有頻率是鋁合金和鎂鋁合金梳櫛的2倍以上，適用于梳櫛數量較多、長度較長和支承較少的特殊經編機；研究不同支承剛度對導紗梳櫛振動的影響可知，系統固有頻率隨著支承剛度的提高而提高，當支承剛度大于8 000 kN/m時，支承已接近剛性，隨著支承剛度繼續提高，系統固有頻率提高的速度減慢，這時應采用其他方法提高梳櫛橫移系統的固有頻率。研究結果為解決導紗梳櫛的彎曲振動問題提供參考。

3)速度、加速度和橫移時間對導紗梳櫛固有頻率影響較小，可將其等效為靜態梁模型，忽略軸向運動對其振動的影響，為導紗梳櫛振動分析條件簡化和經編機結構優化提供了參考。

FZXB