三維MHD方程的正則性準則

付夕聯

(山東理工大學 數學與統計學院,山東 淄博 255049)

1 問題的提出

本文研究下面的三維不可壓MHD方程

(1)

式中：u,b分別表示流速矢量和磁場矢量;p表示壓力;v表示黏性系數;η表示磁擴散系數;u0和b0是給定的初始速度和初始磁場，并且·u0=·b0=0。如果v=η=0，式(1) 被稱為理想MHD方程。

對于三維MHD方程弱解的正則性，文獻[2-3]數值實驗表明在解的正則性理論中速度場比磁場發揮著更重要的作用。近期這一事實得到了驗證，何成等[4]獲得了MHD方程由速度場u刻畫的正則性準則

(2)

最近， Ji等[5]得到了下述結論：

并且

(3)

近期還有其他的關于三維 MHD方程正則性準則的刻畫[6-7]。

定義1[1]三維 MHD方程的弱解(u,b)在[0,T)×H1(R3)是正則的，即(u,b)∈L(0,T;H1(R3))。

主要結論如下：

(4)

則(u,b)在[0,T]上是光滑的。

注記因為

2 預備知識

首先，給出Morrey-Campanato空間的定義及性質，它在研究偏微分方程解的正則性中起著重要作用[8-11]。

定義2 對于1

容易驗證

(5)

(6)

(7)

容易驗證

(8)

引理2[12]對于0

(9)

式中C 僅依賴于r。

3 定理的證明

通過定義1，僅需證明(u,b)∈L(0,T;H1(R3))。因此，證明分為如下兩步：

第一步L2估計

式(1)第一、二個方程分別與u,b作內積，并將所得到的方程分部積分,相加得

〈(-u·u+b·b),u〉+〈(-u·b+b·u),b〉=0

(10)

對式(10)關于0到T積分，有

(u,b)∈L

第二步H1估計

(11)

(12)

則式 (11)及式(12)可化簡為

(13)

(14)

式(13)與式(14)相加得

(15)

首先將I1分解為如下兩部分：

(16)

(17)

對于I12，同理可得

(18)

對于I13，類似于I11，由散度自由條件及分部積分公式，得

(19)

將式(17)—式(19) 代入式 (16), 得

同理，得

將I1—I4的估計代入式(15), 對k(1≤k≤3)求和, 得到

(20)

即得

(21)

由Gronwall不等式,得

u,b∈L([0,T);H1)∩L2([0,T);H2)

完成定理證明。