搞清定義，搞定實數

王月

很多同學在學習“實數”這一章的時候，總感覺題目都會做，但又總是出錯。這其中有一部分錯誤是審題不清導致的，還有一部分是由于沒有徹底搞清楚定義而產生的錯誤。大家想避免這些錯誤嗎？下面，老師選出同學們出錯率較高的幾個問題，希望大家能找找出錯的原因，避免重蹈覆轍。

一、不能正確理解平方根和算術平方根的意義

例1√81的算術平方根是（ ）。

A.9

B.+9

C.3

D.±3

【錯解】A、D。

【錯解分析】不少同學由于沒有正確理解算術平方根的意義而錯選，當然，也不排除審題不清的情況。

我們來看一下，√81本身就表示81的算術平方根，因此√81=9。于是本題可轉化為求9的算術平方根。而算術平方根指的是平方根中非負的那一個。9的平方根是+3，所以9的算術平方根是3。

因此，選項A、B、D錯誤。

【正解】選C。

例2 已知16（X+2）²-81=0，求x的值。

【錯解】x=1/4。

【錯解分析】很顯然，錯解中漏掉了一個平方根。我們知道，正數的平方根有兩個，它們互為相反數。

二、對立方根的概念理解不透徹

例3下列說法正確的是（ ）。

A.1的立方根是±1

B.-27沒有立方根

C.互為相反數的兩個數的立方根也互為相反數

D.立方根等于本身的數是±1

【錯解】A、B、D。

【錯解分析】有些同學對立方根的概念缺乏正確的理解或理解不透徹，容易與平方根的概念產生混淆，從而導致出錯。

由于正數的平方根有兩個，所以有些同學誤以為正數的立方根也有兩個，這顯然是不對的。正數的立方根只有一個，且仍是正數，所以1的立方根是1，因此A選項錯誤。

有的同學同樣受平方根的影響，認為負數沒有平方根，就誤以為負數也沒有立方根。同學們，任何數都有立方根，正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，0的立方根是0。所以-27的立方根是一3，因此B選項錯誤。

根據立方根的定義，“如果x3=a，那么x叫作a的立方根”，我們可以計算得到1的立方根是1，0的立方根是0，一1的立方根是一1。立方根等于本身的數有±1和0，因此D選項錯誤。

【正解】選C。

三、不能正確區分有理數和無理數

【錯解分析】3√9是有理數嗎？有些同學對立方根概念不理解，又受9÷3=3的影響，以為3√9是3，是有理數。事實上，9的立方根并不是3。因為3的立方是27，所以3不是9的立方根。9的立方根就是3√9歹，是個無理數。

π是無理數，所以π/2仍然是無理數。

對于√4這個數，從形式上看，雖然它含有√，但是它表示4的算術平方根，因此√4=2，所以√4是有理數。

我們知道，“能寫成分數形式同m/n（m、n是整數，n≠0）的數叫作有理數”，因此一22/7是有理數。有些同學會用22除以7，除了幾次之后發現沒有循環，因此誤以為它是無限不循環小數。但如果我們保持耐心，多除幾次的話，就會發現，22÷7=3.142857142857…是無限循環小數，是有理數。

一√8=一2√2.因為√2是無理數，所以2√2也是無理數，即一√8是無理數。同學們，你們知道為什么√2是無理數嗎？根據無理數的定義，無理數是一個無限不循環小數。直接證明√2是無限不循環小數可能有點困難，我們可以用反證法，即證明√2不是有理數。有興趣的同學可以嘗試一下。

小學時，對于圓周率π我們經常取其近似值3.14來進行計算，但是π≠3.14。π是無理數。但3.14是有限小數，是有理數。

0.313 113 111 3…（相鄰兩個3之間依次多一個1）是一個無限不循環小數，因此它是無理數。