有向通信拓撲和時延條件下的無人機集群時變編隊控制

何呂龍，張佳強，侯岳奇，梁曉龍，柏鵬

（空軍工程大學 航空集群技術與作戰運用實驗室，西安710051）

無人機（UAV）集群具有可靠性高、成本低、能力強等特點，在軍事和民用領域具有廣泛的應用前景［1］。無人機集群并不是簡單的數量疊加，只有將其按照一定的編隊構型組織起來，使之發生交互與反饋、激勵與響應等交感行為，才可能實現系統能力的整體涌現［2］。不同的編隊構型將產生不同類型、層次的能力涌現。因此，研究無人機集群的編隊控制，對發展集群作戰系統具有極為重要的現實意義。

與傳統的多無人機編隊只考慮空間位置關系不同，無人機集群的編隊構型包括平臺之間的交感拓撲和空間拓撲。因此，無人機集群編隊控制需要在特定的交感拓撲下，通過分布式協同使集群內部所有個體的速度、位置達到并保持期望的相互關系［3］。目前，無人機集群編隊控制可供借鑒的技術成果主要集中在多智能體系統（Multi-Agent System，MAS）協同控制和多無人機編隊控制領域。多智能體系統的建模方法、協同策略、通信交互機制為無人機集群研究提供了良好的理論依據與可靠的研究手段［4-6］。近年來，國內外有關研究機構在無人機編隊控制方面也展開了積極研究，取得了大量成果［7-10］。

隨著多智能體系統一致性協同控制理論的發展，學者開始將相關理論用于無人機集群編隊控制。文獻［4］指出傳統的基于行為、領導-跟隨和虛擬結構的編隊控制方法都可以統一到基于一致性方法的框架下。文獻［11-13］分別針對一階、二階和高階多智能體系統，設計了基于一致性的時不變編隊控制協議。在無人機集群執行任務過程中，往往需要根據不同的任務需求進行編隊構型的變換和演化，因此對無人機集群的時變編隊控制進行研究更有意義。文獻［14］采用輸出反饋線性化方法，實現了多無人機的時變編隊控制。文獻［15］研究了由無人機和無人車組成的異構集群的時變編隊控制問題。文獻［16］設計了基于分布式狀態觀測的時變編隊控制器，實現了一階系統的時變編隊跟蹤控制。文獻［17］研究了切換通信拓撲條件下的多無人機有限時間編隊跟蹤控制問題。文獻［6］進一步研究了具有切換拓撲的二階多智能體系統的編隊控制問題，給出了實現時變編隊的充要條件，并利用四旋翼無人機進行了實驗驗證。文獻［18］設計了基于一致性方法的無人機集群編隊控制器，并給出了確定控制器參數的步驟。針對存在通信時延的情況，文獻［19］設計了一種分布式預測控制器，實現了多機器人編隊控制。文獻［20］研究了二階多智能體系統在不確定時延下的時變編隊跟蹤控制問題，并將所得的結果用于多無人機的目標合圍中。文獻［21］研究了無人機在非一致時延和通信拓撲聯合聯通條件下的編隊控制問題。文獻［22］研究了無人機集群時變編隊在通信時延和外部擾動下的魯棒性。基于分層控制和封裝的思想，文獻［23］搭建了分布式控制的無人機集群編隊控制演示驗證系統。

在實際應用中，無人機的速度、位置等信息都需要先采樣離散再通過交感網絡發送給其他個體。無人機之間的通信頻率還受到通信帶寬限制，過高或過低都會影響集群的總體性能。而文獻［13-22］的研究都是針對連續時間系統進行的，難以直接用于無人機集群的編隊控制。因此，采用離散時間系統模型對無人機集群進行描述和研究，可以綜合考慮控制器參數和通信頻率需求，具有重要的現實意義。文獻［24-25］分別研究了一階和高階離散時間系統在無時延條件下的分布式時不變編隊控制問題。文獻［26］研究了離散時間多機器人系統在切換拓撲和無時延條件下的時不變編隊控制問題。文獻［27］研究了二階離散時間系統在通信時延和無向通信拓撲條件下的時不變編隊控制問題，其設計的控制協議僅考慮了個體之間的空間位置關系。文獻［28］得出了通信時延僅為一個采樣周期時，二階多智能體系統時不變編隊控制穩定的充要條件。

綜上所述，對以離散時間系統描述的無人機集群編隊控制問題研究還不完善，通信時延和有向通信拓撲條件下的時變編隊控制問題尚未解決。本文在現有研究成果的基礎上，采用二階離散時間系統模型來描述無人機集群，重點解決存在通信時延和有向通信拓撲條件下無人機集群的時變編隊控制問題。基于自身實時信息和相鄰個體帶通信時延的狀態信息，設計了分布式編隊控制協議，并進行了穩定性分析。與現有文獻相比，本文主要解決了以下3個問題：①存在通信時延和有向通信拓撲下，無人機集群時變編隊穩定的充要條件；②期望的時變編隊需要滿足的可行性條件；③控制協議中相關參數和狀態更新周期的耦合約束條件及其設計方法。

1 預備知識

稱圖 G 包含一棵有向生成樹（spanning tree），如果存在一個節點i，從這個點發出的信息可以傳遞到圖中的任意其他節點。圖G的Laplacian矩陣L=［lij］N×N定義為

引理1［29］圖G的Lap lacian矩陣L至少有一個零特征值，其他非零特征值均具有正實部；如果G包含有向生成樹，則0是L的代數重數為1的特征值，1N是其對應的右特征向量。

引理2［29］如果非負矩陣Λ具有相同的行和μ＞0，則μ是Λ的特征值，且其對應的特征向量為1N，譜半徑ρ（Λ）=μ。μ是Λ代數重數為1的特征值，當且僅當與Λ關聯的圖有生成樹。

2 問題描述及分析

無人機集群通常由多種動力學特性的平臺異構而成。因此，為了增強編隊控制算法的適應性，采用分層控制思想，將集群控制結構分為編隊控制層和執行層。其中，編隊控制層負責根據期望隊形和友鄰個體的狀態，計算本機的控制輸入；執行層根據編隊控制層的輸入，結合自身動力學特性，對本機的油門、姿態、舵面等進行控制。無人機集群編隊分層控制的相關理論與應用已經較為成熟［6，20-23］。在編隊控制層，可將每架無人機視為一個質點，其動力學特性可用如下基于差分近似的二階離散時間系統模型來描述：

式中：xi（t）∈Rn，vi（t）∈Rn和ui（t）∈Rn分別表示無人機i（i=1，2，…，N）的位置、速度和控制輸入；δ＞0表示信息采樣周期（假設其與控制器更新周期相同），狀態更新時刻t≥0可表示為t=t0+qδ，其中t0≥0為初始時刻，q=1，2，…；n≥1為無人機運動空間的維數，為便于描述，以一維運動（n=1）進行分析。假定無人機三維運動相互解耦，所得結論可以通過Kronecker積直接擴展到二維平面及三維空間。

期望的時變編隊可用一組有界函數進行描述：

定義1稱無人機集群實現了期望編隊h（t），當且僅當對任意i，j∈｛1，2，…，N｝，i≠j，有式（2）成立：

注1hi（t）給出了期望的編隊，而不是每架無人機的參考軌跡，即hi（t）只給出了ξi（t）的相對偏移矢量。雖然無人機集群最終將實現相對于某個參考點的時變編隊，但這個參考點對所有無人機都是未知的，這是與集中式編隊控制方法所不同的。當hi（t）=0時，即是多智能體系統的一致性問題。

定義2如果對任意有界初始條件和i，j∈｛1，2，…，N｝，i≠j，存在控制輸入ui（t），使得無人機集群能夠實現期望編隊h（t），則稱h（t）在控制協議ui（t）的作用下是可行的。

假設每架無人機能夠獲取本機的實時信息，通信時延僅存在于無人機之間實際交互的信息且不考慮數據丟包。為便于分析，設計如圖1所示的通信時延統一策略，使得無人機之間的通信時延保持一致：將每架無人機自身狀態的采樣信息和采樣時間一起封裝并發送給其他無人機，設無人機i接收到無人機j信息的時延為τij，令?=max｛τij：i=1，2，…，N，j∈Ni｝；接收到信息的無人機通過數據緩存器來存儲鄰居個體發來的數據，并根據數據的采樣時刻設置一定的駐留時間τ（τ≥?），使得無人機能夠完成所有鄰居個體狀態信息的更新。對離散時間系統（1），可令τ=pδ，其中p為大于等于?/δ的最小整數。因此，對離散時間系統，通信時延至少為1個采樣周期，即p≥1，如圖2所示。

為控制無人機集群實現期望編隊，設計如下基于一致性方法的分布式控制協議：

式中：K=［-α，-β］為待設計控制參數，α，β＞0分別表示位置和速度增益系數。

圖1 分布式通信時延統一策略Fig.1 A distributed scheme to uniform communication delay

圖2 離散時間系統中的通信時延Fig.2 Communication delay in discrete-time systems

通過設計的通信時延處理策略，將非一致時延轉為為一致時延，避免了通信拓撲對通信時延的影響。雖然基于駐留時間的通信時延處理方法具有一定的保守性，但是當直接對非一致時變時延進行處理存在困難時，該方法也不失為降低問題分析難度的有效方法。

3 編隊穩定性分析與參數設計流程

本節對時變編隊控制系統的穩定性進行分析，得到系統穩定的充要條件及在控制協議（3）作用下編隊h（t）可行的約束條件，并給出相關參數的設計方法。

定理1通信時延和有向通信拓撲條件下，無人機集群系統（1）能夠在控制協議（3）的作用下，實現時變編隊h（t），當且僅當h（t）滿足可行條件：

且離散時間系統（5）漸近穩定：

式 中：C=A′11-1N-1A′01。

證明令ψix（t）=xi（t）-hix（t），ψiv（t）=vi（t）-hiv（t），ψi（t）=［ψix（t），ψiv（t）］T，則控制協議（3）可表示為

代入式（1），則無人機集群系統可以表示為如下形式：

令ζx（t）=E-1ψx（t），ζv（t）=E-1ψv（t），則ψx（t）=Eζx（t），ψv（t）=Eζv（t）。由式（7）可得

式（8）兩邊同時左乘E-1可得

注意到

即

由定義1可知，（t）表示的是集群編隊的相對誤差，即如果集群能夠實現編隊h（t），則對任意初始條件，有 （t）→0（t→∞）。由式（12）可知，（t）→0（t→∞）當且僅當式（5）漸近穩定且

由于無人機集群內部的編號是隨機的，可知式（14）等價于式（4）。證畢

注2式（4）稱為期望編隊的可行條件，給出了在控制協議（3）作用下，無人機集群（1）能夠實現的編隊h（t）應滿足的約束。式（4）表明并非任意編隊都是可行的，可行編隊h（t）的期望位置、速度、加速度之間必須是“相容”的。體現在實際應用中，即要求所設計的期望編隊必須滿足飛行器的動力學約束。式（5）的漸近穩定使得集群編隊誤差趨于0，集群最終形成期望的編隊。

為便于描述與分析，令

引理3若α，β，δ＞0滿足以下任意一組不等組：

則矩陣H的譜半徑ρ（H）＜1。

證明設λ為矩陣H的特征值，即

1）如果λ=1，則由式（16）可得

與α，β，δ＞0矛盾，因此λ≠1。

由式（18）可得。

①當β2-4α≥0，由譜半徑的定義可知，ρ（H）＜1當且僅當

由式（19）可得α，β，δ＞0滿足式（15a）或式（15b）。

②當β2-4α＜0，易知

因此，ρ（H）＜1當且僅當α，β，δ＞0滿足式（15c）。證畢

存在非奇異矩陣R，使得R-1HR=J，其中，J為矩陣H的Jordan標準型。令

對任意ε＞0，令D=diag（1，ε，…，ε2N-3），則有

由式（21）可得

引理5如果1-γ-l＞0，則不等式θτ+δγθτ-l＞0至少存在一個解θ，θ∈（γ，1）。

證明當t→+∞，式（5）等價于

則引理6可轉化為：如果G有生成樹，則

有且僅有全零解。

定理2如果h（t）滿足式（4），那么對任意有界通信時延，存在α，β，δ＞0使得系統（1）能夠實現時變編隊的充要條件為無人機集群通信拓撲有生成樹。

證明（充分性）若h（t）滿足式（4），由定理1可知，無人機集群實現期望編隊，只需要式（5）漸近穩定。而由式（5）可得

式中：t=t0+qδ，q=1，2，…。

接下來證明當t≥t0時，式（28）成立：

（必要性）采用反證法。若無人機集群的通信拓撲圖沒有生成樹，則圖G中至少包含2個不連通的子圖。不失一般性，考慮只包含兩架無人機的情況，并假設通信時延τ=0、h（t）=0。設初始條件為x1（t0）=v1（t0）=e1，x2（t0）=v2（t0）=e2，計 算 可 得v1（t）=e1，x1（t）=（1+pδ）e1，v2（t）=e2，x2（t）=（1+pδ）e2。如果e1≠e2，則無人機集群不能實現期望的編隊（由于h（t）=0，即速度、位置不能保持一致）。因此，若無人機集群能夠實現期望的編隊，其通信拓撲一定有生成樹。

證畢

注5結合定理1和定理2可知，無人機集群能夠實現期望編隊的充要條件為期望編隊滿足式（4）所示的可行性條件且通信拓撲有生成樹。由引理1可以看到，集群通信拓撲是否有生成樹，與Laplacian矩陣的特征值密切相關。

注6控制協議中的參數α，β，δ＞0需要滿足式（15）所示的約束條件，可以看出，這些參數取值的約束條件并不是相互獨立的，而是相互耦合的在一起的。因此，給出參數的設計流程如圖3所示，通過迭代，逐步縮小參數選擇范圍，最終找到滿足條件的參數值。

圖3 參數設計流程圖Fig.3 Flowchart of parameter design

4 仿真結果與分析

圖4（b）為集群的期望編隊，5架無人機圍繞共同的參考點做圓周運動并保持正五邊形，該構型可用于無人機集群協同目標識別、定位等。其具體參數為

結合定理1給出的編隊可行性條件，可令

結合初始條件，通過迭代，可以求出任意時刻t的期望編隊。

圖4 無人機集群通信拓撲和期望編隊Fig.4 UAV swarm interaction topology and desired formation

按照圖3所示的參數設計流程，可以得到滿足條件的一組參數為α=0.2，β=0.5，δ=0.1 s。為便于對比分析通信時延對系統穩定性的影響，分別在時延τ=0.5 s（p=5）和τ=1.0 s（p=10）兩種條件下進行仿真，仿真時長為 120 s。圖5（a）和圖5（b）分別給出了兩種時延下無人機的運動軌跡，方框和圓圈分別表示無人機的初始位置和最終位置，虛線表示最終時刻無人機集群的編隊。圖6（a）和圖6（b）分別表示兩種情況下無人機的速度變化。圖7給出了兩種通信時延條件下無人機集群的編隊誤差T（t）（t）隨時間的變化曲線。從圖5和圖6可以看出，兩種通信時延條件下無人機都能夠實現期望的時變編隊。其中，當τ=0.5 s時，無人機集群在大約t=15 s時實現期望隊形；當τ=1.0 s時，無人機集群在大約t=25 s時實現期望隊形。繼續將通信時延增大到τ=1.5 s和τ=2.0 s，通過仿真可以發現，無人機集群仍然能夠實現期望的編隊，但是所需要的時間分別為50 s和90 s。

圖5 無人機運動軌跡Fig.5 Trajectories of UAVs

通過仿真結果可以看出，本文所設計的控制協議在通信時延較小時，能夠控制無人機集群快速實現期望編隊。即使在較大的通信時延條件下，也能夠實現無人機集群的時變編隊控制。但是，隨著通信時延的增大，實現期望編隊所需要的時間明顯增大。因此，在實際應用中，為實現無人機集群盡快收斂到期望編隊，應將通信時延控制在較小范圍內。

圖6 無人機速度變化曲線Fig.6 Velocity variation curves of UAVs

5 結 論

1）研究了無人機集群在有向通信拓撲和存在通信時延條件下的時變編隊控制問題。

2）建立了無人機集群二階離散時間系統模型，基于無人機自身實時信息和相鄰無人機帶通信時延的狀態信息，設計了分布式編隊控制協議。

3）通過理論分析，得到了無人機集群實現時變編隊的充要條件，給出了可行編隊的表達形式，分析了控制協議中待定參數和狀態更新周期滿足的約束條件，并給出了相關參數的設計流程。

4）通過仿真，驗證了所設計控制協議能夠在較大的通信時延下控制無人機集群實現期望的編隊。