耦合發生概率不確定的復雜網絡傳感器故障估計

(山東科技大學 電氣與自動化工程學院，山東 青島 266590)

復雜網絡可以描述真實世界的許多復雜系統，在現實生活中如互聯網、生物網、社交網都可以用復雜網絡來表示，因此，對復雜網絡的研究具有重要的現實意義。由于網絡之間錯綜復雜的耦合關系，一個節點發生變化可能導致其他節點隨之變化。復雜網絡節點之間存在多種耦合關系，如文獻[1-2]對耦合矩陣為常值矩陣的復雜網絡進行研究，文獻[3-4]研究了具有狀態延遲耦合形式的復雜網絡模型，文獻[5-6]討論當耦合配置矩陣為時變矩陣時的復雜網絡同步控制問題，文獻[7]采用一組隨機變量描述節點之間的耦合現象。目前關于復雜網絡的研究已經取得了大量的成果，但是針對耦合矩陣或耦合規律已知的情況較多，對于耦合發生概率不確定的復雜網絡研究還不完善。然而，現實中許多復雜網絡的節點之間是否發生耦合現象是隨機的，并且耦合發生的概率通常是不確定的，例如，開關電源轉換器[8]、電力電子變換器[9]中都存在節點之間耦合發生概率不確定的現象。文獻[10]針對一類具有狀態延遲現象的線性時變復雜網絡系統，提出了在耦合發生概率和測量缺失概率都不確定下的狀態估計問題。

另一方面，由于復雜網絡具有復雜的拓撲結構，在受到外界干擾時，可能會發生不同類型的故障。文獻[11]和文獻[12]分別對具有內耦合故障和執行器故障的復雜網絡系統進行容錯控制研究。文獻[13]針對具有模型不確定性的復雜網絡系統，通過設計故障檢測估計器和故障隔離估計器，對故障進行檢測和隔離。在實際應用中，當系統發生故障時，能夠及時估計出故障的大小也是十分重要的。針對復雜網絡的故障估計問題，文獻[14]通過設計狀態估計器，對事件觸發條件下的復雜網絡系統進行狀態和故障的估計。文獻[15]研究一類復雜網絡的多故障估計問題，并設計了一種新的分布式中間估計器。然而，關于耦合發生概率不確定下復雜網絡故障估計問題的研究還比較有限。

受以上文獻的啟發，考慮研究一類在耦合發生概率不確定下的非線性離散時變復雜網絡系統的傳感器故障估計問題。文章的創新之處在于：在復雜網絡模型中引入系統非線性以及耦合發生概率的不確定性，并考慮常見的傳感器故障類型，應用增廣狀態方法對得到的增廣系統設計基于觀測器的分布式估計器，實現在線的故障估計。

1 問題描述

考慮由N個耦合節點組成的非線性離散時變復雜網絡模型

(1)

其中:i=1,2,…,N;xi(k)∈Rn，yi(k)∈Rq分別為第i個節點的狀態向量和測量輸出向量;φ(xi(k))為非線性函數;wi(k)∈Rm是均值為零、方差為Qi(k)的過程噪聲；vi(k)∈Rq是均值為零、方差為Ri(k)的測量噪聲；fi(k)∈Rl為故障向量，這里指傳感器故障；Γ=diag{γ1,γ2,…,γn}≥0為已知的連接矩陣；W=[ωij]N×N為耦合配置矩陣，ωij≥0(i≠j)；Bi(k)、Ci(k)、Di(k)為具有適當維數的已知矩陣。隨機變量λi(k)描述節點之間是否存在耦合現象，λi(k)=1表示節點之間存在耦合關系，λi(k)=0表示節點之間不存在耦合關系，且服從以下的伯努利分布

(2)

在實際系統中，由于環境的變化以及傳感器失效、漂移等導致的傳感器故障時有發生，常見的有卡死、恒增益變化、恒偏差失效三種[16]。不失一般性，本研究將故障近似表征[17]為：

fi(t)=a0+a1t，

(3)

其中，a0和a1為未知常數向量。當a0=a1=0時，表示沒有故障發生；當a0≠0，a1=0時，fi(t)表示未知常值故障；當a1≠0時，fi(t)表示緩變漂移型故障。

(4)

ξi(k+1)=Gξi(k)。

(5)

為了估計故障fi(k)，即ξi,2(k)，定義增廣狀態

(6)

通過(5)式和(6)式，可將式(1)改寫成如(7)式所示的形式

(7)

對(7)式構造如下估計器

(8)

本研究的主要目的是求取(8)式中估計器的增益矩陣，同時估計器的設計需要滿足以下兩個條件：

1)存在一組正定矩陣Ξi(k+1|k+1)，使得Pi(k+1|k+1)≤Ξi(k+1|k+1)；

2)設計估計器的增益矩陣Ki(k+1)，使得在每一時刻矩陣Ξi(k+1|k+1)最小。

引理1[18]任意給出兩個具有相同維數的實向量α和β，則下面的不等式成立:

αβT+βαT≤ηααT+η-1ββT，

其中，η>0為任意標量。

引理2[19]設矩陣A,M,N和F具有合適的維數，FFT≤I，設X為正定對稱矩陣，μ>0為任意標量，且μ-1I-NXNT>0，則下面的不等式成立:

引理3設矩陣A,B,X和P為具有合適維數的給定矩陣，則下面的求導規則成立:

2 主要結果

在本節中，首先推導一步預報誤差協方差和估計誤差協方差的遞推公式。

由(7)式和(8)式，得到狀態的一步預報誤差

(9)

(10)

(11)

由(9)～(11)式得:

(12)

由(7)式和(8)式，得到狀態的估計誤差

(13)

定理1對于估計器(8)，一步預報誤差協方差的遞推公式如下

(14)

其中:

證明：根據(12)式得

(15)

定理2對于估計器(8)，估計誤差協方差的遞推公式如下

(16)

證明：根據(13)式得

(17)

由Ε{vi(k+1)}=0得φ6(k+1)=0，根據(17)式可得(16)式，定理2得證。

定理3考慮(14)式和(16)式，存在ηi(i=1,2,3,4)和μ為正實數，在初始條件Pi(0|0)≤Ξi(0|0)的前提下，使得以下兩個類似Riccati差分方程的矩陣方程成立

(18)

(19)

(20)

Ξi(k+1|k)和Ξi(k+1|k+1)為上述兩個矩陣方程的正定解矩陣，并且滿足約束條件μ-1I-Ξi(k|k)>0，則Ξi(k+1|k+1)是Pi(k+1|k+1)的上界，即Pi(k+1|k+1)≤Ξi(k+1|k+1)。此外，估計器的增益矩陣為

(21)

并且所設計的估計器增益矩陣使矩陣Ξi(k+1|k+1)取最小值。

證明：用數學歸納法證明。考慮初始條件Pi(0|0)≤Ξi(0|0)，然后假設Pi(k|k)≤Ξi(k|k)，只需證明Pi(k+1|k+1)≤Ξi(k+1|k+1)成立。

由式(14)，根據引理1得

(22)

(23)

(24)

(25)

在式(22)～(25)中，ηi(i=1,2,3,4)為正實數，?i在式(20)中定義。根據估計誤差協方差的定義以及不等式的性質得

(26)

(27)

其中，δi(i=1,2,3,4,5,6)在式(20)中定義。根據式(16)和式(27)得

(28)

根據引理3得

+2Ki(k+1)Ri(k+1)。

(29)

令(29)式右端為零，得到

(30)

又因為

(31)

因此，由式(29)～(30)知，增益矩陣Ki(k+1)可以使矩陣Ξi(k+1|k+1)的跡最小，即矩陣Ξi(k+1|k+1)最小。綜上，定理3得證。

注：文獻[1]和文獻[10]研究的是復雜網絡的狀態估計問題，沒有同時考慮系統非線性和節點之間耦合發生概率的不確定性。而實際系統往往是非線性的，并且存在節點之間耦合發生概率不確定的現象。因此，本研究同時考慮了系統的非線性和節點之間耦合發生概率的不確定性。文獻[14]通過設計集中式狀態估計器對非線性復雜網絡進行狀態和故障的聯合估計，與文獻[14]相比，本研究考慮了節點之間耦合發生概率的不確定性，并且考慮不同類型的傳感器故障，構造分布式估計器對故障進行估計，減少了計算復雜度。因此，本研究所考慮的問題是比較全面的。

3 仿真驗證

為了驗證該估計器的有效性，考慮不同類型的傳感器故障，設f1(k)和f2(k)為未知常值故障，f3(k)為緩變漂移型故障，f4(k)為上述兩種故障的組合形式。故障的表達式如下:

分別對復雜網絡4個節點的故障進行估計，仿真結果如圖1～4所示，可以看出，對于這四種不同類型的故障，所設計的估計器都能夠達到很好的估計效果。

4 結論

研究了由N個耦合節點組成的非線性離散時變復雜網絡系統的傳感器故障估計問題，并且節點之間耦合發生的概率是不確定的。首先將系統狀態和故障進行增廣，對得到的增廣系統構造基于觀測器的估計器，然后設計合適的估計器增益矩陣，使得估計誤差協方差的一個上界有最小值，最終實現傳感器故障的在線估計。仿真結果表明，當復雜網絡發生不同類型的傳感器故障時，所設計的估計器都能夠較準確的估計出故障的幅值。為了減少網絡通信負擔，在后續的研究中，將根據實際系統的性能需求采取不同的傳輸協議，如事件觸發傳輸協議、Round-Robin協議等。

表1 估計器增益矩陣Ki(k)的值

圖1 節點1故障及其估計

圖2 節點2故障及其估計

圖3 節點3故障及其估計

圖4 節點4故障及其估計