第50屆國際物理奧林匹克競賽實驗試題2介紹與解答

郭旭波,蔣 碩,安 宇,阮 東,張留碗

(清華大學 物理系，北京 100084)

第50屆國際物理奧林匹克競賽于2019年7月7日至15日在以色列特拉維夫舉行. 由清華大學率領代表中國參賽的5名中學生全部獲得了金牌，實驗和理論總成績排名分別為第1、第2、第4、第8和第13名，并取得了團體第一、個人總分第一、個人理論第一、個人實驗第一的優異成績[1]. 本屆競賽共2個實驗題目[2]. 實驗1是光學測量，內容為測量透明圓盤的折射率、衍射光柵的參量和三棱鏡的折射率. 實驗2是維德曼-夫蘭茲定律，內容為測量紫銅、黃銅和鋁3種金屬的熱導率和電導率，以及紫銅的比熱容，并驗證它們之間的普適關系. 由于篇幅限制，本文將對實驗2的試題和解答進行詳細介紹.

1 試題介紹

在金屬中，熱傳導主要依靠自由電子的遷移. 因此，熱導率和電導率是相關的. 這一規律被稱為維德曼-夫蘭茲定律. 本實驗以合理的高精度測量3種金屬的熱學和電學參量，包括紫銅、黃銅、鋁的電導率和熱導率，以及紫銅的比熱容，并驗證這些參量之間的關系.

實驗器材如圖1所示，各器材如下：

1為紫銅中空圓管，長為200.0 mm，內直徑為6.0 mm，外直徑為20.0 mm.

2為黃銅中空圓管，長為200.0 mm，內直徑為6.0 mm，外直徑為19.0 mm.

3為鋁中空圓管，長為200.0 mm，內直徑為6.0 mm，外直徑為20.0 mm.

4為質量為1.2 g的小磁鐵.

5為儲水器，為一種以色列當地的鍋，鍋蓋內有散熱器，蓋頂有螺釘. 提供4 L純凈水，用于倒入儲水器.

6為桿#1，見圖2(a)，數據單位為mm，精度為0.1 mm. 直徑為20.0 mm的紫銅桿.

7為桿#2，見圖2(b)，數據單位為mm，精度為0.1 mm. 直徑為20.0 mm的復合桿.

桿#1和桿#2均帶著多個溫度傳感器(已連接到測試插口)和接有紅色導線的加熱器，紅色導線用于連接直流電源(第15項裝置). 桿外包著黑色絕熱海綿.

圖1 實驗器材

(a)桿#1

(b)桿#2

注意：不要將桿#1和桿#2浸沒在水中.

8為絕熱蓋.

9為數顯表的12 V直流電源.

10為數顯表，如圖3所示，可顯示8個溫度傳感器的讀數，還可以顯示時間以及用作秒表.

A.12 V直流電源線 B.紅色多功能按鈕 C.溫度傳感器測試線 1～8.8個溫度讀數(單位為℃)

11為測試線，用于將桿上的溫度傳感器的測試插口與數顯表連接起來.

12為電壓表，功能應設置為20 V直流電壓，如圖4所示.

13為電流表，功能應設置為10 A直流電流，如圖4所示.

14為導線.

15為加熱器的9 V直流電源.

數顯表使用說明：用12 V直流電源為其供電. 數顯表有2種工作模式：秒表和溫度顯示. 當用測試線將其與溫度傳感器連接時，將自動轉換到溫度顯示模式. 當斷開測試線時，自動轉換到秒表模式且屏幕顯示“Timer mode”. 在溫度模式下按住紅色按鈕3 s可重置時間；短暫按下紅色按鈕可使示值暫停(此時秒表仍在計時)；再次按下紅色按鈕可恢復溫度和時間的實時顯示. 在秒表模式下按下紅色按鈕開始計時，再按一次停止計時，長按可將秒表置零. 數顯表連接到每根桿時必須先校準. 這是因為杠上的各個溫度傳感器并不完全相同，通過校準使得熱平衡時桿的所有溫度傳感器的讀數相同. 校準步驟為：首先將溫度傳感器測試線的一端與桿連接，然后按住紅色按鈕同時將測試線的另一端連接到數顯表. 斷開數顯表的電源或測試線不會擦除校準結果. 警告：必須先進行校準，然后才能將桿連接到儲水器或將其上的加熱器連接到電源，以保證校準時桿上的溫度是一致的. 在實驗過程中如果數顯表出現異常，斷開其電源再重新連接. 數顯表會記錄之前的校準結果.

1.實驗中使用的10 A擋的位置 2.電流擋的插孔 3.實驗中使用的20 V擋的位置 4.電壓擋的插孔

1.1 實驗A：紫銅、鋁和黃銅的電導率(1.5分)

當1塊永磁鐵在空心導體圓管內下落時，會受到圓管上感應出的渦流的阻力. 因此，磁鐵會達到終極速度. 對于實驗中的圓管，終極速度為

(1)

(2)

其中，L0=0.2 m是圓管的長度，并且假設磁鐵釋放后立即到達終極速度.

計算所需的圓管和磁鐵的參量為：μ0M=0.65 T，wAl=wCu=7.0×10-3m，wBrass=6.5×10-3m，m=1.2×10-3kg，rm=3.0×10-3m，g=9.8 m/s2.

A.1(1.0分) 使用數顯表的秒表模式，測量磁鐵穿過鋁管、紫銅管和黃銅管所需的時間.

A.2(0.5分) 利用(2)式計算3種材料的電導率.

1.2 實驗B：紫銅的熱導率(3.0分)

將數顯表連接到桿#1的溫度傳感器插頭，并對桿#1進行校準. 將4 L水倒入儲水器中，將散熱器完全浸沒，蓋上鍋蓋.

B.1(0.1分) 記下桿#1放在桌上時的初始溫度. 斷開溫度傳感器測試線與桿的連接，去掉絕熱蓋，把桿#1擰到鍋蓋上. 注意不要施加太大的力矩. 將測試線重新連接到桿上，如圖5所示.

B.2(0.5分) 畫出為加熱器供電并測試其功率的電路圖. 電路圖應包括：9 V電源、加熱器(已連接到桿上)、電壓表、電流表和導線. 導線可作為開關來接通和斷開電路.

圖5 安裝在鍋蓋上的桿#1

測量熱導率的方法是對桿的一端加熱，而另一端保持與儲水器幾乎相同的恒定溫度. 在所有溫度傳感器都近似為穩態時測試.

按照B.2部分的電路圖連線，為加熱器通電.

B.3(0.1分) 測量并計算提供給加熱器的功率P. 通電之后等待15 min. 可以利用這段時間準備后面的實驗.

B.4(0.5分) 記錄所有8個溫度傳感器在約15,17.5,20 min時的溫度.

B.5(1.0分) 在作圖紙上畫出3個不同時間的溫度傳感器的讀數與位置的關系. 實驗D部分也會用到這幅圖.

B.6(0.5分) 利用約17.5 min時的數據，求出紫銅的熱導率κ0. 忽略所有的熱損耗. 計算17.5 min時桿的平均溫度變化率ΔT/Δt.

B.7(0.3分) 與κ的實際值相比，求得的κ0值是高了、低了還是相同？

1.3 實驗C：測量紫銅的熱損耗和熱容量(4.0分)

熱容量C由下兩式中的任一式定義：

(3)

其中,ΔQ/Δt為對材料的凈傳熱速率，ΔT/Δt為溫度變化率. 比熱容cp為單位質量的熱容量. 紫銅桿的質量為0.58 kg.

關閉加熱器電源，斷開電路. 擰下桿#1，放在桌子上. 把絕熱蓋裝在桿頭. 重新連接加熱器電路，并將桿連接到數顯表.

注意：在本部分實驗中，請勿在未監控溫度的情況下使加熱器長時間通電.

使桿經歷冷卻—加熱—再冷卻的過程，可以得到材料的熱損耗和熱容量. 加熱階段溫度的平均變化應約為2.5 ℃. 冷卻—加熱—再冷卻過程的總時長應為10～15 min，以達到實驗所需的精度. 應在實驗B部分測量接近穩態時的溫度平均值附近做實驗.

為了考慮存儲在桿中的全部熱量，需要跟蹤測量其平均溫度. 平均溫度好的近似是桿的中心位置處的溫度.

C.1(1.0分) 進行1次冷卻—加熱—再冷卻過程，記錄測量結果，并計算桿的平均溫度.

C.2(1.0分) 在作圖紙上畫出桿的平均溫度隨時間的變化.

C.3(1.0分) 利用上圖計算比熱容cp和單位時間的熱損耗Ploss(在實驗B部分的平均溫度附近). 用示意圖和公式描述所用方法.

為提高實驗B部分得到的熱導率的精度，需考慮2種主要機制：透過絕熱海綿的徑向的熱傳遞導致的熱損耗，以及測量時系統并未達到穩態.

作為一級近似，可以假設由于這些機制，沿著桿的單位長度的功率變化ΔP(x)/Δx恒定.

C.4(1.0分) 考慮上述2種機制，寫出實驗B部分的熱導率修正到一級近似的表達式. 利用實驗B和C部分的κ0，P，cp，m，Ploss，ΔT/Δt表示修正后的熱導率κCu，并計算其數值.

1.4 實驗D：黃銅和鋁的熱導率(1.0分)

將桿#2連接到數顯表，并按實驗B部分的說明校準桿上的溫度傳感器(按下紅色按鈕的同時用測試線將溫度傳感器連接到數顯表).

D.1(0.1分) 將桿放在桌上，記錄初始溫度.

斷開測試線，將桿#2擰在儲水器蓋上，如圖5所示. 重新連接測試線與數顯表.

重復實驗B部分的步驟，對桿加熱使其接近穩態，至少等待15 min再進行測量.

為了達到此部分所需的精度，可以假設桿已達到穩定狀態，并且桿上單位長度的熱量損失是恒定的.

D.2(0.2分) 記下桿#2上所有8個溫度傳感器的讀數，并計算每一段材料的ΔT/Δx.

與C.4題相同，作為一級近似，假設ΔP(x)/Δx是恒定的.

D.3(0.7分) 寫出κBrass和κAl的表達式，并計算其數值.

1.5 實驗E：維德曼-夫蘭茲定律(0.5分)

E.1(0.5分) 在表格中列出求出的熱導率和電導率(κ，σ)，并計算每種材料的L值. 計算時假設在一級近似下熱導率不依賴于溫度.

2 試題解答

2.1 實驗A：紫銅、鋁和黃銅的電導率

測得磁鐵穿過紫銅管、鋁管和黃銅管的時間見表1.

表1 測得的磁鐵穿過金屬管的時間

計算得到紫銅、鋁和黃銅的電導率分別為5.97×107，2.98×107，1.60×107Ω-1·m-1.

2.2 實驗B：紫銅的熱導率

桿#1放在桌上時的初始溫度為22.76 ℃.

為加器供電并測量功率的電路見圖6. 加熱功率為P=IV=5.51 W.

圖6 為加熱器供電并測量其功率的電路圖

加熱器通電15 min后，在約15,17.5,20 min時記錄的8個溫度傳感器的讀數及其與位置的關系見表2和圖7.

表2 不同時間記錄的8個溫度傳感器的讀數

圖7 不同時間8個溫度傳感器的讀數與位置的關系

紫銅的熱導率的計算公式為

420 W/(m·K),

(4)

其中,P為提供給加熱器的功率，A為紫銅桿的橫截面積，ΔT/Δx為沿紫銅桿長度方向的溫度梯度，也就是圖7中17.5 min數據的擬合斜率.

17.5 min時紫銅桿的平均溫度變化率ΔT/Δt可由圖7中桿的中點位置處15～20 min的溫度變化求得：

求得的κ0值比κ的實際值高. 這是因為加熱器的部分功率透過側面的絕熱海綿損耗了，沿著紫銅桿傳遞的實際熱功率小于加熱器功率；此外，系統并未達到穩態，ΔT/Δt≠0，因此加熱器的一部分功率還用于對紫銅桿加熱使其溫度升高.

2.3 實驗C：測量紫銅的熱損耗和熱容量

本部分通過使桿#1經歷冷卻—加熱—再冷卻的過程，測量紫銅桿的熱損耗和考慮一級近似時的熱容量. 測得的實驗數據、計算得到的桿的平均溫度及其與時間的關系見表3和圖8. 桿的平均溫度是通過測量離桿的中心位置最近的2個溫度傳感器的溫度并計算其平均值得到的. 冷卻—加熱—再冷卻過程的總時長為860 s，平均溫度的變化范圍為30.18～32.81 ℃，溫度改變量為2.63 ℃，符合實驗要求(總時長10～15 min，整個過程在實驗B中接近穩態時測量的平均溫度值30.8 ℃附近，溫度改變量應約為2.5 ℃).

表3 冷卻—加熱—再冷卻過程中桿的溫度讀數及平均溫度

圖8 冷卻—加熱—再冷卻過程中桿的平均溫度變化

根據本部分實驗的測試結果，可以對實驗B部分得到的比熱容在考慮一級近似的情況下進行修正.

由降溫階段的斜率，得到紫銅桿的熱損耗為

(5)

在考慮一級近似的情況下對比熱進行修正有2種方法.

方法1使用斜率來計算：

(6)

方法2利用圖8中的2條降溫曲線在加熱階段的延長線的中點的溫度跳變ΔT=2.94 K來計算比熱容，可得：

PinΔt=cpmΔT.

(7)

由式(5)和式(7)求比熱容cp=386 J/(kg·K)，熱損耗Ploss=0.31 W.

桿#1中各個位置處的溫度梯度正比于該位置處的熱流量. 如圖9所示，在桿的始端，熱流量等于提供給加熱器的功率Pin. 而在桿的末端，由于2種機制引起的熱損耗[透過絕熱海綿的沿徑向的熱傳遞，可由式(5)計算；以及系統未達到穩態，桿的溫度仍在升高，可由式(6)第一項計算]從而導致熱流量變小.

圖9 桿上不同位置處的熱流量示意圖

作為一級近似，桿上的平均溫度梯度正比于桿上的平均熱流，可得：

(8)

2.4 實驗D：黃銅和鋁的熱導率

桿#2放在桌上時的初始溫度為22.65 ℃. 加器供電1 041 s后各個溫度傳感器的讀數如表4所示. 由各段材料上2個溫度傳感器的讀數及其之間的距離計算得到的相應的溫度梯度如表5所示.

表4 加熱1 041 s后桿#2上溫度傳感器的讀數 ℃

表5 桿#2上各段材料的溫度梯度 K/m

作為一級近似，假設ΔP(x)/Δx是恒定的. 由實驗C部分得到的紫銅的熱導率，并考慮黃銅段材料的中點位置距離左右2段紫銅段材料中點位置的距離(見圖10)，可求得：

同樣可得鋁的熱導率：

圖10 桿#2熱導率計算示意圖

2.5 實驗E：維德曼-夫蘭茲定律

表6 驗證維德曼-夫蘭茲定律數據表

3 結束語

本競賽題的原理和實驗方法難度適中,實驗任務量較大，我國代表隊的學生基本都能完成實驗. 在競賽前的實驗培訓中特別強調了實驗操作、數據記錄、數據處理和作圖的規范性，避免了學生因為追求實驗速度而在細節和過程上丟分. 中國隊取得了很好的成績，1名學生取得了個人實驗第1的成績(15.8分，滿分為20分)，另外2名學生的實驗成績(15.0分)接近實驗最高分.