考慮機動系數的標準軌跡再入制導方法

喬 浩，李新國，常武權

(1. 西北工業大學航天學院，西安 710072；2. 陜西省空天飛行器設計重點實驗室，西安 710072；3. 中國運載火箭技術研究院，北京 100076)

0 引 言

再入飛行是溝通太空與陸地的重要飛行階段。自上個世紀的阿波羅計劃開始，各國的科技工作者對再入過程中的軌跡設計、制導與控制等技術進行了持續而深入的研究[1-2]。按照是否跟蹤標準軌跡，制導方法主要可分為標準軌跡制導與預測校正制導兩大類。后者具有較強的任務適應性，但對快速計算提出了較高要求[3]，對于常規的再入問題，前者以其簡潔與穩定性具有較高的應用價值[4]。在標準軌跡再入制導問題中，如何設計所需的標準軌跡是較為基礎的研究內容，對后續制導、控制方法的選取以及性能有著深刻的影響[5]。

再入飛行需要考慮飛行器的防熱以及結構安全問題。反映到軌跡設計過程中，即需要滿足熱流、過載以及動壓等約束。再加上對再入末端狀態的要求，軌跡設計問題轉變為一個有限可行域的多約束求解問題。按照求解的出發點可分為最優解與可行解兩類方法。一些學者選擇采用最優化方法尋找最優解，取得了大量的研究成果[6]。最優解的質量一般比較好，但這類方法有一個較為明顯的缺陷，即尋優過程不可控。大量的迭代尋優往往對應著較長的求解時間，在某些情況下，計算還會陷入局部尋優而導致求解失敗，因此一般用在飛行前的評估與地面準備階段[7]。

另一求解思路即尋求滿足任務需求的可行解。這類方法通常將三維軌跡設計分解為縱向與側向軌跡設計兩部分。首先在縱向設計滿足過程約束以及終端約束的標準軌跡，之后加入側向制導邏輯控制傾側角反轉位置，使再入終端滿足任務需求。這類方法最早在航天飛機的再入制導中獲得應用，即經典的阻力加速度制導方法。具體分為軌跡設計與軌跡跟蹤兩部分。前者創造性地引入了航程與阻力加速度之間的關系，將航程轉化成再入走廊內分段阻力加速度曲線，大大簡化了軌跡的設計流程[8]。在完成航程預測之后，側向通過設置航向偏差走廊控制傾側角的反轉。X-33、X-34以及X-37B等的再入制導，都是以航天飛機的制導方法為基礎設計的。航天飛機制導方法最大的問題在于采用了大圓弧假設，沒有考慮軌跡的曲率問題，因此末端航程有較大的偏差。

在此背景下，Saraf等[9]改進了軌跡設計流程，提出了衍化的阻力加速方法(Evolved acceleration guidance logic for entry，EAGLE)。EAGLE將軌跡設計分為軌跡長度與軌跡曲率兩個子問題，相比于航天飛機的制導方法，主動考慮了軌跡長度與曲率的耦合關系，飛行末端的航程誤差大幅減小，所設計的軌跡更接近于真實軌跡。EAGLE在AG&C項目中獲得了很高的評價。但從本質上講，在初始化與軌跡長度更新過程中該方法仍未完全脫離大圓弧假設，導致每次更新后的軌跡長度和真實長度都有一定偏差，需要通過多次迭代進行更新。

除EAGLE方法之外，其他一些學者在軌跡設計過程中也考慮了軌跡的曲率問題。Shen等[10]在利用準平衡滑翔條件進行再入軌跡的設計過程中，得出在航程預測公式中保留航向偏差對大橫程飛行有益的結論，并根據初始與終端的航向偏差假設了線性近似的航向偏差剖面，改善了剩余航程的預測效果。Liang等[11]詳細討論了航向偏差對于軌跡設計的影響，并從宏觀的角度出發首次提出機動系數的概念，給出了一種新的再入軌跡設計流程。沈振等[12]改進了傳統阻力加速度剖面，采用兩段折線與走廊邊界快速設計標準軌跡，提高了標準軌跡制導方法的實時性。王濤等[13]將阻力加速度剖面與預測校正方法結合，由走廊上下邊界插值獲得標準軌跡，插值參數由預測校正方法確定，并在三維空間對標準軌跡進行校正，提升了再入飛行能力。

本文提出一種改進的三維再入軌跡設計方法。與EAGLE類似，該方法將軌跡設計分為軌跡長度、軌跡曲率兩個子問題。首先在軌跡長度子問題中對于軌跡長度相關的定義進行梳理，對相應計算公式進行分析歸納；給出改進的機動系數定義形式；之后給出完整的考慮機動系數的三維軌跡設計方法；最后設計了用于制導的軌跡跟蹤控制器。

1 再入動力學模型

為方便后續討論，在開展再入問題的研究之前，首先給出需要用到的動力學模型以及相關約束。假設飛行器為質點，地球為均勻球體，忽略地球自轉。再入飛行器的總能量E定義為：

(1)

式中：V為速度大小，r為地心距，μ為地球引力場量，R0為均勻球體假設下的地球半徑。在實際求解中將能量歸一化，定義初始能量為0，終端能量為1，再入能量表示為(E-E0)/(Ef-E0)。以總能量E為自變量，則對應的動力學模型為[14]：

(2)

式中：θ，φ分別為經、緯度；γ，ψ分別為航跡傾角與航向角；g為地球引力加速度；σ為傾側角；L與D分別為升力、阻力加速度，其表達式如下：

(3)

式中：m為飛行器質量，ρ為大氣密度，SA為參考面積，CL，CD分別為升力系數與阻力系數。

需要考慮的主要路徑約束為：

(4)

對于升阻比較大的再入飛行器，通常為改善軌跡質量，還需要考慮平衡滑翔約束，取平衡滑翔約束中的傾側角σ=0°，有平衡滑翔條件為：

L-g+V2/r=0

(5)

此外，還要考慮終端高度hf、速度Vf、距目標點距離Stogo,f以及航向偏差Δψf等約束。

2 軌跡長度相關定義

再入問題可分為軌跡長度問題與軌跡曲率問題兩部分，其中前者是再入制導的核心。對于依賴標準軌跡的制導方法，軌跡長度是規劃參考阻力加速度剖面的依據，標準軌跡的軌跡長度和實際軌跡長度越接近，后續跟蹤過程中由末端航程偏差導致的更新與迭代計算量越小；對于預測校正等不依賴標準軌跡的制導方法，每次預測階段對剩余航程的預測越準確，指令校正收斂越快，也就降低了彈載計算機的計算量。

軌跡長度常見的描述方法有射程、航程、剩余航程、縱程、橫程等。其中，射程一般用于描述彈道導彈等從初始星下點到當前星下點的大圓弧長度；航程在大多數研究中指星下點軌跡的真實長度；剩余航程是指飛行器當前位置與目標點連線對應的星下點軌跡長度，通常被用于描述待飛距離。縱程與橫程是將整個再入飛行分解為沿著縱向目標平面與垂直縱向目標平面兩部分，前者對應縱程，后者對應橫程。在航天飛機的制導問題中，假設航向偏差較小，飛行器基本沿著縱向平面飛行，此時航程與縱程采用了相同的定義方式。常見的三種軌跡長度描述方式為：

(6)

式中：R0為地球半徑，Δψ為航向偏差：

Δψ=ψ-ψLOS

(7)

式中：ψLOS為飛行器當前位置與終端位置連線對應的視線角。由球面三角公式可得：

(8)

ΔΨ定義為關于初始縱向平面的航向偏差：

ΔΨ=ψ-ψLOS,0

(9)

式中：ψLOS,0為初始視線角。

Stogo=R0cos-1[cosφcosφfcos(θ0-θf)+sinφ0sinφf]

(10)

值得注意的是，該定義方式下Stogo對應了每一瞬時飛行器與目標點連線的大圓弧，并不是真實的剩余航程，這種差異在具有橫向大機動的場合中尤為明顯，導致制導過程需要不斷修正對剩余航程的估計。

(11)

圖1 S1～S3幾何關系示意圖

其中,δS1為直角三角形的斜邊，對應的軌跡長度最長，描述了真實的航程情況。δSm為δS1在當前視線方向的垂直分量。δS2與δS3分別對應了δS1在視線方向與初始縱向平面內的投影。二者之間的差異是由于Δψ與ΔΨ的不一致造成的，當且僅當飛行器位于星下點軌跡與初始視線在地面投影的交點位置(包括初始與終端點)時δS2=δS3。

(12)

式(10)中Stogo的計算方式不變，將其定義修改為剩余距離或剩余視線長度，而剩余航程的定義改為真實的剩余軌跡長度。對于定點再入問題，成功的判定標準為：在滿足高度、速度約束下，末端剩余視線長度為零；或再入末端橫程為零，縱程等于初始大圓弧長度。

3 再入機動系數

文獻[11]在定義機動系數時，將δS2作為瞬時縱程δStogo，將δSm作為瞬時橫程，此時：

(13)

式中：δSm/δStogo對應了瞬時橫向運動與縱向運動的比例關系，用于描述當前瞬時狀態下的機動水平。

之后，對式(14)進行積分，獲得總航程Rflight的表達式為：

(14)

進一步根據積分中值定理，將上式轉化為：

(15)

(16)

保留中間項是因為在一些諸如再入導彈的任務分析初期，雖然已知初始位置與目標位置，但不確定給定的制導指令是否能導引導彈到達目標位置，此時可采用中間項衡量機動系數，考察機動系數是否超過限制。當給定的制導指令使Rfligth≥Rl，采用右端項簡單的形式求解機動系數。

4 三維軌跡設計

4.1 軌跡長度子問題

軌跡長度是跟蹤標準軌跡制導方法的前提，不同于EAGLE求解軌跡長度時的迭代方法，本文在已知Rl并給出合理Pm之后，即可確所需的真實軌跡長度Rflight。因此，本節主要研究Pm的確定方法。一個合理的飛行任務，首先必須保證目標點在可達域之內，此時Pm是一非空集合；當Pm=φ時，表明沒有到達目標的可行軌跡，任務不可行，需要更新初始條件或重新選擇目標點。本文后續研究假設飛行任務可行，此時Rfligth≥Rl，對應機動系數Pm≥1。但在實際飛行過程中，Pm=1表示無側向運動，飛行器始終在初始目標平面內飛行，在給定攻角剖面的前提下，對應了可達域的最遠邊界，此時機動系數區間只有唯一解。因此對于一般的飛行任務，需要同時確定Pm的上、下界。

文獻[11]采用枚舉方法確定機動系數的可行集。在分析初期給定一系列機動系數，之后對每個機動系數對應的軌跡長度規劃阻力加速度剖面，求出對應的傾側角指令并加上側向制導邏輯生成完整軌跡，判斷是否滿足終端誤差要求。這種方法計算量較大，需要進行大量的前期準備工作，導致由機動系數確定軌跡長度的算法相比EAGLE等方法優勢不明顯。而Pm的邊界問題相當于求解給定縱程Rl情況下，航程Rfligth的最大值、最小值，因此可以轉化為簡單的邊界優化問題。采用提前給定的攻角剖面αref，控制量為σ，Rfligth，max對應最優化問題：

minJ(σ)=-Rflight

(17)

類似的，Rfligth,min對應的最優化問題為：

minJ(σ)=Rflight

(18)

式中：sT為剩余距離約束，Stogo,f由末端經、緯度與目標點經、緯度確定。值得注意的是，給定初始狀態與終端狀態后，Pm的取值范圍隨之確定，即：Pm∈[Rflight,min/Rl,Rflight,max/Rl]。后續只要初始狀態與終端約束不改變，則可直接根據機動性需求選取合適的Pm，確定出實際需要的軌跡長度，對于軌跡的快速生成有較好的應用潛力。

4.2 阻力加速剖面生成

確定軌跡長度之后，即可在阻力加速度與能量空間按照縱向軌跡的規劃方法，規劃滿足實際軌跡長度的阻力加速度剖面[15]。對E關于時間求導，有：

(19)

(20)

式中：E0與Ef分別為初始與終端能量。由于r-R0?r，且γ較小，因此引入假設：R0/r≈1，cosγ≈1，Rflight關于D的關系轉化為：

(21)

熱流率、過載、動壓對應的阻力加速度邊界為：

(22)

對應的準平衡滑翔邊界為：

(23)

參考阻力加速度剖面的求解問題轉化為：在熱流率、過載、動壓以及準平衡滑翔邊界確定的再入走廊內，確定一條滿足實際軌跡長度的阻力加速度剖面。考慮到式(22)諸多假設的存在，實際阻力加速度剖面應以式(22)為基礎微調。之后即可求解出σ的幅值。由于阻力加速剖面的規劃方法已經很成熟，本文不再贅述。值得注意的是，由于Rflight是由機動系數直接確定的真實軌跡長度，與基于大圓弧假設的軌跡規劃方法相比規劃的阻力加速度剖面更長，也更符合實際，避免了再入過程中因為末端航程偏差過大造成的阻力加速的剖面頻繁更新，減輕了制導系統的負擔。

4.3 軌跡曲率子問題

在確定軌跡長度之后，還需要確定傾側角的符號，求解軌跡的曲率問題。本文采用一種動態的航向偏差走廊求解軌跡曲率問題。與確定的反轉次數相比，該方法具有較大的靈活性，在軌跡長度確定后，動態調節走廊邊界即可較好滿足末端約束，動態航向偏差走廊如圖2所示[16]。

圖2 動態航向偏差走廊

圖2中，Δψ0與Δψf提前給定，ΔψB為可調節邊界。在航向偏差的許可范圍之內，軌跡曲率問題轉化為搜索合適的ΔψB，使末端約束得以滿足。采用牛頓割線法進行搜索：

(24)

式中：i為迭代次數。當確定ΔψB邊界之后，即可確定傾側角的符號：

(25)

式中：Δψup與Δψdown分別為航向偏差的上下界。

在解決軌跡曲率子問題之后，即完成了再入標稱軌跡的設計。相比于EAGLE等傳統方法，本文提出的方法從宏觀角度出發，省去了軌跡長度的迭代求解過程，能在量化機動性的同時，更快速獲得制導所需的合理標稱軌跡。算法的流程如圖3所示。

圖3 基于機動系數的軌跡生成算法邏輯

5 仿真校驗

本文采用CAV-H這種典型的高超聲速滑翔飛行器作為研究對象，對軌跡生成算法進行仿真校驗。CAV-H的詳細參數由文獻[17]給出。假設初始航向對準目標，采用表1數據進行初始化。

表1 初始和終端要求

再入過程中的最大熱流率取4 MW/m2，最大過載取3g，最大動壓取70 kPa，末端能量管理區域半徑取50 km。CAV-H的固定攻角剖面參考文獻[18]，并結合實際的氣動參數表，確定為：

(26)

表1任務對應的縱程Rl=6671.7 km。許多優化方法都可用于機動系數的求解，本文采用文獻[19]提出的優化方法確定Pm的上下界。可得：Pm∈[1.0109,1.1461]，對應的地面軌跡如圖4所示。

圖4 給定攻角剖面對應的機動系數邊界

值得注意的是，攻角剖面對Pm的取值范圍有較大影響，當攻角作為控制量參與優化過程時，有Pm∈[1.0109,1.2824]。相比攻角剖面給定的情形，最大機動航程增加了約900 km。但攻角作為控制量在高超聲速飛行中存在諸如熱防護、穩定性、舵效等問題，因此在任務設計初期需依據機動性與攻角可控邊界折中選擇攻角的給定方式。由于規劃的軌跡長度代表了飛行器的飛行能力，規劃的軌跡長度越長，表明飛行能力越強，因此在確定機動系數取值范圍之后，應盡量遠離下邊界取值，以防止在實際飛行過程中由于隨機干擾、傾側角翻轉次數過多等影響造成能量的額外耗散。同時，選擇較大的機動系數能夠保證有足夠的應急飛行能力，為故障后的應急返回或目標重新選擇等任務場景預留較多的飛行能力。在給定攻角剖面的前提下，取Pm=1.08作為當前任務的機動系數，對應的需求軌跡長度Rflight=Pm·Rl。需要指出的是，由于為末端能量管理段預留了少量的剩余航程，更為精確的真實軌跡長度應該減去該部分。

實際阻力加速剖面根據參考阻力加速度剖面D(E)計算出(L/D)cosσ及|(L/D)cosσ|并積分動力學方程獲得。EAGLE方法在側向簡化動力學中采用開環制導指令，在本文中不適用。為了更精確地跟蹤參考阻力加速度剖面，在實際飛行過程中考慮偏差的影響，增加反饋環節以提高跟蹤效果。忽略對過渡過程的積分項，采用pd控制進行參考軌跡跟蹤，可得參考軌跡跟蹤控制器如下：

(27)

(28)

式中：取ω0=0.09，ξ=0.1。

滿足真實軌跡長度的參考阻力加速度剖面以及在實際制導中跟蹤的阻力加速度剖面如圖5所示。

相應的速度-高度、航跡傾角與航向角以及航向偏差如圖7～圖10所示。其中終端高度、速度落入指定區間；航跡傾角基本保持較小值；終端航向偏差較小。

跟蹤參考阻力加速剖面的真實傾側角與攻角指令如圖6所示。

圖5 再入走廊及參考、實際阻力加速度剖面

圖6 攻角及傾側角

圖7 航跡傾角與航向角

不同機動系數對應的三維再入軌跡與地面投影如圖11所示。

可知，跟蹤通過指定機動系數Pm方式規劃的再入軌跡能夠到達指定的末端區域。不同機動系數對應的終端誤差如表2所示。

圖8 高度隨歸一化能量變化曲線

圖9 速度隨歸一化能量變化曲線

圖10 航向偏差隨歸一化能量變化曲線

圖11 再入軌跡與地面投影

表2 終端偏差

可見由機動系數出發的標準軌跡再入制導方法能夠滿足再入段與能量管理段的交班要求。

6 結 論

本文研究了一種基于機動系數的標準軌跡制導方法，提出了改進機動系數的概念，并采用該系數從宏觀角度出發研究了標準軌跡的快速生成方法。不同于EAGLE等方法，軌跡長度作為與機動性相關的參數直接指定，有目的地規劃滿足需求的阻力加速度剖面。本文提出的軌跡生成方法由于不含大圓弧假設，因此不需要通過逐次迭代的方式獲得所需的軌跡長度。機動系數的區間只與任務剖面有關，對于確定的任務可以快速給出具有不同機動程度的飛行軌跡。機動系數直接定義為軌跡長度與縱程的比例關系，直觀描述了再入飛行過程中橫向機動的程度，給出了一種再入過程中機動性的量化方法。機動系數的取值空間大小，對應了攻擊指定目標可選機動性的大小，也反映了備選彈道的多樣性程度，后續可根據這一特點開展多枚再入導彈協同攻擊、協同突防等問題的研究。用于軌跡跟蹤的控制器形式簡單，在實際中還可采用LQR等方法進行軌跡跟蹤形成新的制導框架。