一種用于空間翻滾目標接近控制的相對運動建模方法

王偉林，宋旭民，王 磊

(航天工程大學，北京 101400)

0 引 言

在航天活動日益頻繁的今天，失效衛星等空間碎片的數量迅速增加，發展空間碎片主動清除技術對于維護太空環境穩定、推進我國的在軌服務能力和維護太空安全具有重要意義[1]。空間碎片沒有合作標識、存在不確定性機動的復雜運動狀態，對制導控制方法的快速性、實用性、魯棒性、安全性提出了更高要求。

進行航天器與目標的相對運動建模，是研究目標運動規律和特性識別，開展自主導航、制導與控制的重要前提和基礎。一個好的相對運動模型，會得到一個好的軌跡規劃，從而使航天器的控制簡化，操控精度得到保障。目前國內外學者的研究多沿襲已有的交會對接、編隊飛行的相對運動建模方法，或者從便于數值計算的角度進行建立，對相對運動狀態的表征能力不足[2]。

1 現有研究綜述

1.1 基于對偶四元數的姿軌一體化控制

目前研究較多的一種思路是采用對偶四元數的姿軌一體化方法[3-4]，用對偶四元數來描述慣性系下兩者體坐標系的轉換關系，即旋轉和平移的一般剛體變換。Charles定理指出：任何一般性剛體運動都可以通過繞某個軸的旋轉和沿該軸的平移實現，平動和轉動的組合像螺旋式的運動，通常用“螺旋變換”或“螺旋運動”描述。對偶四元數是對偶數與四元數相結合的產物，類似于單位四元數可以描述姿態的運動，對偶四元數可以描述剛體的平動和轉動，旋量可以看做標量部分為零的對偶四元數(對偶向量)。

但翻滾目標航天器的質心、質量、慣量等信息都是未知，所以確定目標航天器體坐標系存在不確定性。其次，對偶四元數利用向量代數進行運算，形式較為復雜、物理意義不明確，不能采用傳統基于矢量的運算法則，導致目前一些成熟的控制算法不能應用，不利于控制器的設計和控制精度分析，需要建立一種更為簡潔、快速、工程易于實現的控制策略。

1.2 姿態、軌道的同步控制方法

目前應用和研究最廣泛的是基于目標軌道坐標系的相對運動控制方法。CW方程是解決航天器近距離相對運動的線性化方程，其前提條件是目標運行在圓軌道上，兩個航天器的相對距離遠小于目標器的地心距，基礎坐標系原點建立在目標航天器上。TH方程進一步推導得到與偏心率和真近點角相關的解析解，適用于橢圓軌道。CW(TH)方程也是目前航天器交會對接領域應用最廣的相對運動模型。

針對非合作目標接近問題，很多學者在此基礎上開展了姿軌一體化控制。采用CW(TH)方程作為相對軌道運動模型，并采用歐拉角、四元數或者羅德里格斯參數來描述相對姿態信息，通過建立一體化的運動模型，將姿軌同步問題轉換為消除跟蹤誤差的問題，很多學者基于此模型開展了控制器設計的研究。文獻[5-6]基于θ-D方法研究了姿軌同步最優控制的問題。文獻[7]基于TH方程研究了基于凸優化算法的制導方案。Sun[8]研究了魯棒自適應控制器在超近距離相對運動控制中的應用。袁利等[9]基于CW方程和四元數研究了六自由度位姿終端滑模自適應控制器。相對運動模型建立在目標航天器坐標系下，需要將控制輸入向捕獲航天器本體坐標系進行轉換，由于在一個控制周期內，捕獲航天器本體姿態角的變化和相對姿態測量誤差的存在，會使得姿態影響了相對位置的控制，即存在相對姿態和相對位置的耦合；其次建立在非合作目標上的基準坐標系精度有限，影響控制精度，因此該方法只適用于己方失效目標的捕獲。CW制導的軌跡往往會回兜，容易使得軌跡進入禁飛區，存在碰撞風險，另外CW制導的最后脈沖可能比較大、制動時間長，也存在安全隱患[10]。

針對上述安全隱患，在合作目標交會工程實際任務中，近距離導引前段通過差分GPS等測量信息進行相對導航，建立CW方程來描述航天器與目標的相對運動狀態；近距離導引末段通常采用基于視線的平行導引方式，指兩個飛行器在交會過程中，視線的轉動角速度在參考坐標系內為零，也即兩者之間的視線在交會過程中保持平行，保證航天器沿視線方向接近目標，越接近目標脈沖越小，較好克服了CW制導帶來的問題。

但是在與空間碎片這類非合作目標交會任務中，需要建立坐標原點在捕獲航天器上的相對運動方程，傳統CW方程并不適用。其次，平行導引法雖然具有良好的軌道特性，但需要知道較多的目標運動信息且對測量信息的準確性較為敏感，魯棒性較差，并不適用于空間碎片這類非合作目標。通過上述綜述分析，由于對偶四元數工程應用性的不足以及傳統CW制導不適用于非合作目標交會，目前認為最有應用前景的就是基于視線制導的相對運動模型。

2 視線制導相對運動模型

激光雷達、激光測距儀、成像式交會敏感器是近距離的主要測量手段，特點是精度高、信息量豐富，既有角度信息也有距離信息，甚至相對姿態信息。基于上述相對敏感器提供的測量信息進行近距離制導，視線制導是目前最廣泛的近距離制導方式，具有需求信息少、易于實現、魯棒性強等優點。以視線制導中的比例導引律為例進行說明，比例導引律與平行交會法類似，都是基于速度導引的兩點導引方式，控制指令如下：

(1)

考慮到近距離導引段的測量信息中包含相對距離信息，在真比例導引律基礎上，引入視線方向控制，從而將傳統攔截領域的比例導引律擴展應用到自主交會的制導。

2.1 傳統視線制導方法

傳統的視線制導相對運動方程建立在視線坐標系和發射慣性坐標系下，如圖1所示：

圖1 坐標系轉換關系

視線坐標系下的相對運動方程為：

(2)

式中：ω為視線坐標系相對慣性系的角速度在視線坐標系下的表達式，ω=[ωx,ωy,ωz]T。

在交會對接任務中，需要考慮目標軌道坐標系中的相對運動，涉及的主要參數是r,α,β。r為追蹤器與目標的相對距離，α為視線與其在目標器軌道平面上的投影之間的夾角，也稱之為高低角，β是該投影與目標速度方向的夾角，稱為方位角。

(3)

式中：ωoT為目標的軌道角速度，一般考慮為小量，可以忽略。從上文公式中看出，常規的視線坐標系下的相對運動存在耦合作用(ωxωy項)。

傳統的視線坐標系僅考慮了高低角和方位角，沒有考慮視線繞自身的旋轉，建立的三維相對運動方程存在耦合因素，不能直觀體現與非合作目標的相對運動特性。

2.2 微分幾何學在相對運動控制中的應用

微分幾何學是用于研究空間曲線運動規律的有效方法，利用曲率和撓率來描述空間曲線的旋轉，在制導領域最初應用是用來推導空間純比例導引律(PPN)。在古典微分幾何理論中，空間中任意一點的運動都可以用三個固連的正交矢量{n,b,t}(切向、法向、副法向)來描述，即Frenet-Serret活動標架，Frenet標架在弧長域內的運動學方程稱為Frenet-Serret公式，即

(4)

式中：上標“′”表示對弧長s求導，κ為曲線的曲率，表示質點沿空間曲線運動時，其切向發生轉動的程度；τ為曲線的撓率，表示質點的密切面(由t和n組成)發生轉動的程度。

Chiou等[11]首先在弧長域內構造了理想情況下的彈目相對運動方程：

(5)

式中：上標“′”表示對弧長s求導，“″”代表了對弧長s的二階導數。并在此基礎上提出了弧長域內的微分幾何制導指令：

(6)

(7)

因此對比式(5)和式(7)，交會制導方程中多了下面一項：

(8)

從而得到交會制導的曲率和撓率指令(式(9)和(10))。

但文獻[12]未考慮撓率，僅研究了二維平面內的交會問題。

(9)

(10)

3 三維相對運動建模及制導律研究

2.2節的公式仍是建立在慣性系下，t代表絕對運動速度方向，中間用到了視線坐標系中的er,eω，er×eω，有必要基于微分幾何理論建立描述相對位置和速度的動力學模型，更加直觀的反應相對運動關系。

Li等[13]進一步研究了時域化方法，基于Frenet-Serret活動標架理論提出了視線旋轉坐標系和視線瞬時旋轉平面的概念，將三維空間的曲線相對運動降低到兩維空間視線瞬時旋轉平面內的相對運動。

(11)

其中，er為相對視線方向單位矢量，eω為視線角速度的方向，定義eθ=eω×er，eθ垂直于視線。從而構建基于er,eθ和eω的視線旋轉坐標系。er和eθ組成視線瞬時旋轉平面(Instantaneous rotation plane of LOS, IRPL)，eω為該平面的法向。ωs為視線轉率，ωs=ωseω。Ωs是eω也即IRPL的旋轉角速度，Ωs=Ωser。

視線旋轉坐標系的原點設在追蹤器的質心，相對速度可以表示為：

(12)

其中，下標t和c分別代表目標和追蹤器，相對加速度可以通過對式(12)求導得到：

(13)

將式(11)代入式(13)，相對加速度表達式轉換為：

rωsΩseω+Δg

(14)

式(14)可以改寫為如下的三個標量子方程：

(15)

其中，at和ac分別代表目標和追蹤器的加速度，“r，θ和ω”分別代表控制加速度沿er，eθ和eω三個方向的分量。在后續的推導中式(15)的重力加速度項Δg被省略。

下文將基于視線旋轉坐標系下的三維相對運動方程，引入沿視線方向控制，提出視線方向速度可控的增廣比例導引律(Augmented proportional navigation, APN)。

3.1 增廣比例導引律

3.1.1基于反饋線性化的APN

為實現對目標的自主接近，追蹤器的推力(控制加速度)由兩部分組成，一部分是沿視線方向，用于控制追蹤器接近目標的速度；一個是垂直視線方向，用于控制視線轉率。

論文在垂直視線方向的控制采用經典的真比例導引律(True proportional navigation, TPN)，這也是本文提出的增廣比例導引律的來源。需要指出的是作者在文獻[14]中首次提出了增廣比例導引律的概念，研究了兩個追蹤航天器利用僅測角信息協同接近機動目標的場景，適合于中遠距離接近。本文中的增廣比例導引律的輸入信息是兩個測角和相對距離信息，適用于近距離接近場景。

式(15)建立描述三維相對運動的一般模型，從而給出了控制器設計的統一框架。依據式(15)和上述增廣比例導引律的設計思路，研究可以得到視線旋轉坐標系下的三維相對運動模型：

(16)

式中：N是導航系數，通常取值為3～5。

(17)

其中，acon是acr的常數項。因為目標不機動，所以Ωs等于零，相反如果目標機動，Ωs會逐漸減小到零，因此建立的三維相對運動方程同樣可以應用于機動目標的自主接近制導律設計。

(18)

(19)

可以根據式(18)和式(19)，代入初始相對狀態，得到追蹤器對目標接近時間，及接近速度的解析表達式。

(20)

(21)

將式(19)和式(21)代入式(17)的第2式:

(22)

(23)

利用

(24)

對式(23)積分，得到ωs的解析解。

(25)

3.1.2指數減速型APN

(26)

追蹤器和非合作目標的相對運動規律可以通過求解這個二階微分方程得到。因此可以通過改變式(26)右函數a來得到不同接近軌跡，從而滿足不同任務需求。指數形式的相對運動函數關系如下式：

r=r0·eλt

(27)

求導得到：

(28)

(29)

3.1.3基于滑模控制的APN

本小節研究了一種非線性控制方法，基于指數趨近律的滑模控制方法，用于APN沿LOS方向的控制。狀態方程如下：

(30)

(31)

(32)

定義基于指數趨近律的控制指令：

(33)

式中：ε和k是參數(ε,k>0)，sgn(·)是符號函數，控制系統穩定性可以通過Lyapunov函數求導得以證明。

(34)

3.2 仿真分析

本小節給出增廣比例導引律的仿真結果。目標的初始狀態為：半長軸7043.14 km，軌道傾角98°，升交點赤經14°，近地點幅角60°，初始真近點角30°。追蹤器相對于目標的初始位置：[4386.28，308.60， 3204.43] m，相對速度[-57.7，2.1，-38.5] m/s。近距離導引段屬于相對導航階段，飛行過程從幾公里到百米量級，因此文章認為當兩者相對距離達到50 m時仿真結束。下文給出常減速接近、指數接近、非線性滑模控制(SMC)三種制導方法的對比分析，并給出研究結論。圖2和圖3給出了相對距離和相對速度變量的時間變化曲線。

圖2 相對距離曲線對比圖

圖3 相對速度曲線對比圖

圖3中橫軸代表時間，縱軸代表相對速度，則曲線下的面積代表追蹤器和目標的初始相對距離，因此三種情況下都是相等的，常減速模型用時最短，而基于滑模控制的APN用時最長。因為速度曲線的切線是瞬時加速度，滑模控制模型的最大加速度值是三種模型中最大的，因此對推力系統的要求更高，而且其燃耗也是最多的，ΔV=97.9 m/s。在表1中，給出了三種方法的性能比較。

表1 三種方法的比較

采用零控脫靶量(Zero-effort-miss,ZEM)來對制導律的精度進行分析，其值可采用如下公式計算：

(35)

從表1各項數據對比可以看出，常減速APN在時間、燃耗、最大加速度和零控脫靶量幾項指標上都具有優勢。綜上，基于視線旋轉坐標系下的三維相對運動方程，通過引入視線方向的控制，建立了可用于非合作目標自主交會的增廣比例導引律框架，有效拓展了微分幾何理論的應用。微分幾何的制導指令加速度施加方向nm在瞬時旋轉平面之外，滿足下述關系：

(36)

將式(36)代入式(15)得到，得到式(37)，與式(17)對比可以看出，兩者本質上可以通過坐標系的轉換得到對應的制導指令，兩者的區別在于改進的微分幾何制導律表達式簡潔實用，物理意義明確，可以推導得到解析解，便于進一步開展控制精度分析。

(37)

3.3 姿控模型簡化

追蹤器在接近目標過程中，需要保證觀測敏感器視線始終指向目標，基于微分幾何理論引入視線瞬時旋轉平面后，只需考慮航天器本體坐標系和視線瞬時旋轉坐標系的相對幾何關系，避免了復雜的坐標變換，簡化了姿態控制模型。

假定觀測敏感器安裝在航天器本體系X軸方向，考慮到敏感器視場等因素，因此要求X軸與視線方向重合，指向目標。在接近非合作目標過程中，會存在快速、大角度的姿態機動，本文選擇誤差四元數方法描述航天器相對姿態運動，避免奇異性。選擇PID控制器，滿足收斂時間快、魯棒性好、對抗大角度姿態機動有效性好、輸出穩定等要求。下文給出了考慮姿態的六自由度控制結果，相對軌道運動模型采用基于滑模控制的APN制導律，并假定姿控發動機為常值推力發動機(1N)，追蹤器三軸主慣量為[2, 5, 7] kg·m2，力臂大小為[0.3, 0.6, 0.6]m，初始姿態角和姿態角速率都等于零。

圖4 X軸方向控制力矩

圖5 Y軸方向控制力矩

圖6 Z軸方向控制力矩

圖7 誤差四元數曲線

根據仿真結果可以看出，追蹤器在推力器作用下，能夠快速到達期望的姿態，其中在制導初始階段，因為視線(LOS)方向與體坐標系X軸指向間差別較大，姿控發動機開機較頻繁。在接近目標后期，導引頭能夠穩定指向目標，較好的實現對目標指向跟蹤。

3.4 進一步思考

針對上文特定問題，滑模變結構控制雖然在燃耗方面并不占優，但對系統外部干擾具有強魯棒性，考慮到非合作目標自主交會中測量、目標運動狀態等的不確定性，引入滑模控制對提升APN的制導效能有重要意義。第3.1節提出的APN對接近時間并沒有要求，而是由初始相對狀態決定的。在前文推導相對運動方程過程中，可以通過軸向的控制實現對接近時間的控制。實現對非合作目標有限時間接近，這對于空間碎片主動清除、空間救援等時間緊急任務具有重要意義。因此本小節將引入有限時間收斂的滑模控制律，從而建立有限時間接近制導律(Finite time convergence augmented proportional navigation, FTCAPN)。

3.4.1控制器設計

(38)

式中：ε>D>d(t)，β>0，1>η>0，β增加或者η降低都可以增加收斂速率，加速對目標的接近過程。

3.4.2仿真分析

仿真初始參數同第3.2小節，滑模控制器參數取c=0.1，ε=5，β=2，η=0.1，仿真結果如圖8～10所示。

圖8 視線轉率曲線

圖9 相對速度曲線

圖10 相對距離曲線

圖8給出了視線轉率的變化曲線，60 s后保持穩定，整個過程的收斂時間約83 s。從圖9和圖10中看出，追蹤器與目標的初始相對速度較大，后迅速減小，實現對目標的快速接近，整個過程的燃耗為98.5 m/s。

從仿真結果中可以看出，基于現有的控制參數設置，FTCAPN可有效完成快速接近目標的制導任務。

4 結 論

針對與空間非合作目標相對運動問題，本文首先對當前已有的幾種相對運動建模方法進行了綜述分析。對偶四元數不能采用傳統基于矢量的運算法則，形式較為復雜、物理意義不明確，缺乏工程適用性；CW方程建立在目標航天器上的基準坐標系，適用于合作目標交會，對于非合作目標的接近制導問題，存在軌跡回兜、末端脈沖較大、模型精度受限等問題。

基于微分幾何理論的增廣比例導引律可克服上述制導方法的不足，物理意義明晰、魯棒性強、制導精度高、工程實現容易，通過公式推導分析了增廣比例導引律與傳統視線制導、微分幾何制導的不同，并給出六自由度仿真算例，驗證了其可行性。