非多重集群音程循環(huán)算法與有限移位模式拓展

張晨明 （周口師范學(xué)院音樂舞蹈學(xué)院）

在近百年來的音樂創(chuàng)作與研究中，數(shù)理化邏輯作為一種趨勢(shì)，同時(shí)更多的是一種更加理性的思維方式影響著作曲家與音樂理論家的創(chuàng)作與分析研究。其中音程循環(huán)作為后現(xiàn)代音樂在音高結(jié)構(gòu)方式上的一種數(shù)理化邏輯在例如：巴托克、艾夫斯等作曲家的作品中已經(jīng)廣為應(yīng)用。在理論方面音程循環(huán)的分類以及相關(guān)運(yùn)算在美國(guó)理論家愛德華·格林等當(dāng)代理論家的努力下也日趨完善。

下文筆者主要以愛德華.格林對(duì)于非多重集群音程循環(huán)所描述的相關(guān)特點(diǎn)以及他所提出的相關(guān)運(yùn)算為基礎(chǔ)，對(duì)法國(guó)作曲家梅西安廣為熟知的有限移位模式從音程循環(huán)的角度進(jìn)行新的解讀，并拓展新的有限移位模式并形成算法，同時(shí)在對(duì)相同有限移位模式拆分為不同非多重集群音程循環(huán)的方法與邏輯上進(jìn)行創(chuàng)新與研究。

一、非多重集群音程循環(huán)與有限移位模式的同構(gòu)關(guān)系

在美國(guó)理論家愛德華.格林的最近研究中，其將混合音程循環(huán)分為多重集群循環(huán)與非多重集群循環(huán)兩種，愛德華格林定義多重集群循環(huán)，是指那些“以多音程混合循環(huán)的音程組，在循環(huán)的過程中所產(chǎn)生的多次回歸原始循環(huán)點(diǎn)，并最終以原始音程循環(huán)組值到達(dá)起始點(diǎn)的現(xiàn)象。”①例如以O(shè)rd.PCI（2,2,1）與（1,2,2）或（2,1,2）②所構(gòu)成的循環(huán)（其中Ord.PCI代表有序音級(jí)音程，括號(hào)內(nèi)用逗號(hào)隔開的數(shù)字則代表音程循環(huán)的組成值）見圖1。圖1中筆者以方括、尖頭括與橢圓分別圈出了三種用數(shù)字音級(jí)表示的循環(huán)集群。因此它們都是多重集群循環(huán)。

圖1 （2,2,1）與（1,2,2）或（2,1,2）多重集群循環(huán)

那么非多重集群循環(huán)則是指只包含一次回歸原始循環(huán)點(diǎn)便可以以原始音程循環(huán)組值來完成的現(xiàn)象。例如：Ord.PCI（2）這個(gè)以全音為循環(huán)值的單音程循環(huán)組成了全音階，其所有組成音用數(shù)字音級(jí)來表示的話就是“0 2 4 6 8 10 0”其后續(xù)再循環(huán)下去還是“0 2 4 6 8 10 0”。又例如：Ord.PCI（2,1,1）就是“0 2 3 4 6 7 8 10 11 0”其后續(xù)循環(huán)下去也是“0 2 3 4 6 7 8 10 11 0”

經(jīng)過筆者實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，單音程循環(huán)都符合非多重集群循環(huán)的特點(diǎn)，而混合音程循環(huán)則要符合其循環(huán)組成值的總和不能與12互為質(zhì)數(shù)，同時(shí)計(jì)算求得的總音數(shù)不能大于12的特點(diǎn)才能符合非多重集群循環(huán)的特點(diǎn)。筆者在《淺談愛德華格林音程循環(huán)參數(shù)算法理論》一文中指出“所有的非多重集群循環(huán)也符合在單音程循環(huán)基礎(chǔ)上進(jìn)行復(fù)合拆分的邏輯。”③那么在以模12④為邏輯的數(shù)字音級(jí)計(jì)算情況下，我們只需要考慮的單音程級(jí)只有1到6，因?yàn)槠渑c12的補(bǔ)集具有與原音程級(jí)同樣的特性。那么在1到6的音程級(jí)中只要是能被12整除的便都可以在其基礎(chǔ)上進(jìn)行混合音程的拆分，從而形成非多重集群循環(huán)。那么這里面只有5是不行的，同時(shí)音程級(jí)1由于無法進(jìn)一步細(xì)分，因此也無法拆分成新的混合音程循環(huán)。那么當(dāng)然如果一個(gè)混合音程循環(huán)的總音數(shù)大于12那么便肯定會(huì)在形成重復(fù)的數(shù)字音級(jí)的情況下產(chǎn)生多重集群循環(huán)，因?yàn)橹貜?fù)的數(shù)字音級(jí)會(huì)在循環(huán)回到起始點(diǎn)后打亂原始的循環(huán)組值。

那么具有這樣特點(diǎn)的混合音程循環(huán)所構(gòu)成的音階便具有1、無法窮盡12個(gè)半音，2、其循環(huán)組值的總和與12不為質(zhì)數(shù)關(guān)系，也就是說依據(jù)格林對(duì)于循環(huán)組值總和SUM與12的最大公約數(shù)GCD可以用來表示其調(diào)式移位的數(shù)量邏輯上看⑤，其僅包含有限的調(diào)式移位可能。那么這與法國(guó)作曲梅西安所提出的有限移位模式的音階邏輯相吻合。在楊立青《真誠(chéng)高雅純摯——梅西安的音樂語言》一書中指出“梅西安的有限移位模式是將一個(gè)八度用相同的音程劃分為若干相等的等分構(gòu)成的，具有多次循環(huán)的同一結(jié)構(gòu)細(xì)胞，它們移位可能性是有限的。”⑥那么通過驗(yàn)證筆者得出梅西安現(xiàn)有的有限移位模式都符合非多重集群循環(huán)的特性。

二、非多重集群音程循環(huán)與有限移位模式的算法及其拓展

（一）有限移位模式轉(zhuǎn)換為音程循環(huán)算法模式的表述

以下有限移位模式中有關(guān)移位調(diào)式僅列出以C音（0）開始的形式，并在模12的前提下以1-11的數(shù)字音級(jí)來表示。

模式1 全音階Ord.PCI（2） 0 2 4 6 8 10 0

模式2 八聲音階Ord.PCI（1,2） 0 1 3 4 6 7 9 10 0

模式3 Ord.PCI（2,1,1） 0 2 3 4 6 7 8 10 11 0

模式4 Ord.PCI（1,1,3,1） 0 1 2 5 6 7 8 11 0

模式5 Ord.PCI（1,4,1） 0 1 5 6 7 11 0

模式6 Ord.PCI（2,2,1,1） 0 2 4 5 6 8 10 11 0

模式7 Ord.PCI（1,1,1,2,1） 0 1 2 3 5 6 7 8 9 11 0

至此我們便得到了把梅西的有限移位模式轉(zhuǎn)換歸為非多重集群循環(huán)模式的七種新的表述，因此梅西安的七種有限移位模式便可以以格林的音程循環(huán)模式的算法進(jìn)行研究。

（二）愛德華·格林最大公約數(shù)值對(duì)于梅西安有限移位調(diào)式移位次數(shù)的計(jì)算

愛德華指出例如以（4,5）為組值的混合音程循環(huán)，同時(shí)其GCD（12,9）=3便可以發(fā)現(xiàn)該循環(huán)僅有三種不同的移位形式。該循環(huán)構(gòu)成八聲音階，即梅西安有限移位調(diào)式移位次數(shù)的量值。

經(jīng)筆者驗(yàn)證該算法同樣適用于所有梅西安有限移位調(diào)式的計(jì)算。如以梅西安第四有限移位調(diào)式調(diào)式Ord.PCI循環(huán)為1,1,3,1。則SUM=6，GCD=6，所以該有限移位調(diào)式包含6次有限移位。

（三）非多重集群音程循環(huán)視角生成新的有限移位模式

首先筆者依據(jù)愛德華簡(jiǎn)化混合音程循環(huán)的理論列出所有有限移位模式音程組合值的總和即SUM

模式1 全音階Ord.PCI（2）SUM=2

模式2 八聲音階Ord.PCI（1,2）SUM=3

模式3 Ord.PCI（2,1,1）SUM=4

模式4 Ord.PCI（1,1,3,1）SUM=6

模式5 Ord.PCI（1,4,1）SUM=6

模式6 Ord.PCI（2,2,1,1）SUM=6

模式7 Ord.PCI（1,1,1,2,1）SUM=6

這樣便可發(fā)現(xiàn)若以以上SUM值為Ord.PCI構(gòu)成循環(huán)，即簡(jiǎn)化后的所有循環(huán)都是單音程循環(huán)，且無法窮盡12個(gè)半音，同時(shí)也與12為非互質(zhì)關(guān)系，這也符合上文筆者對(duì)于非多重集群循環(huán)特點(diǎn)的論述，在Ord.PCI1、5、7、11不能被拆分的情況下，當(dāng)然Ord.PCI 2也無法再拆分，那么我們便可拆分Ord.PCI（3）、Ord.PCI（4）、Ord.PCI（6）這些單音程為新的組合邏輯來構(gòu)成新的有限移位模式。

在拆分之前需要解決在梅西安有限移位調(diào)式中所構(gòu)成的循環(huán)中Ord.PCI的出現(xiàn)順序的問題，以愛德華的理論與實(shí)驗(yàn)中指出的音程循環(huán)中Ord.PCI無論怎么移動(dòng)都不會(huì)改變結(jié)果的原理。經(jīng)筆者檢驗(yàn)該理論對(duì)于僅有兩種互異的有序音級(jí)音程有效，在拆分有序音級(jí)音程6時(shí)便會(huì)出現(xiàn)1+2+3這種具有3個(gè)互異有序音級(jí)音程元素的情況，那么在循環(huán)空間中這種三個(gè)互異性元素的排列便僅有2組形式如圖2，向左半球的三個(gè)箭頭所劃分的三組數(shù)字為同一種形式1+3+2、3+2+1、2+1+3；向右半球的三個(gè)箭頭劃分了另外一種形式即1+2+3、2+3+1、3+1+2。因此對(duì)于三個(gè)互異有序音級(jí)音程元素的循環(huán)僅有兩組排列形式。

圖2

至此，我們便可以開始用音程循環(huán)的方式生成新的有限移位模式了，在拆分Ord.PCI（3）、Ord.PCI（4）、Ord.PCI（6）這些單音程為新的組合邏輯時(shí)3只能拆分成1+2，因此在只有音程數(shù)4與音程數(shù)6可以拆分，即4可拆為1+3、1+1+2；6可以拆分為1+5、1+4+1、1+3+1+1、1+3+2、1+2+1+1+1、1+2+2+1、2+4；因而比較梅西安的其中模式，可再推導(dǎo)出5種模式，即1+3、1+5、1+3+2、1+2+3、2+4。我們以1+5為例，則SUM6首先非互質(zhì)，且小于等于6，其次經(jīng)計(jì)算GCD=6 L=4則該模式包含6個(gè)有限移位，音數(shù)為4如下：

（1,5）-Cycle 0 1 6 7 0因此這便是一種新的有限移位調(diào)式模式6次移位，音數(shù)4這樣的新的有限移位模式還包括：

六聲音階Ord.PCI（1,3）-Cycle SUM=4 d=4 L=6，四次移位，音數(shù)6；

Ord.PCI（1,2,3）-Cycle 0 1 3 6 7 9 0 SUM=6 d=6 L=6，六次移位，音數(shù)6；

Ord.PCI（1,3,2）-cycle 0 1 4 6 7 10 0 SUM=6 d=6 L=6，六次移位，音數(shù)6；

Ord.PCI（1,5）-Cycle 0 1 6 7 0 SUM=6 d=6 L=4，6次移位，音數(shù)4。

至此便生成了另外5種有限移位模式。

結(jié) 語

通過以音程循環(huán)中非多重集群循環(huán)這一視角對(duì)有限移位模式進(jìn)行解讀，在對(duì)非多重集群音程循環(huán)與梅西安有限移位模式的共性上可以得出有限移位模式所組成的音階是非多重集群循環(huán)的一種，同時(shí)非多重集群循環(huán)還包含所有的單音程循環(huán)，但在混合音程循環(huán)中其僅只有與12為非互質(zhì)關(guān)系的循環(huán)組成總值成立的情況下才能實(shí)現(xiàn)，同時(shí)這樣的混合音程循環(huán)無法窮盡12個(gè)半音，諸多特點(diǎn)與有限移位模式也相符合，同時(shí)在拆分Ord.PCI（4）、Ord.PCI（6）的過程中得到了5種新的符合有限移位模式的組合，并可應(yīng)用算法對(duì)其相關(guān)參數(shù)進(jìn)行運(yùn)算。

注釋：

① 張晨明.淺談愛德華格林音程循環(huán)參數(shù)算法理論[J].音樂生活, 2019,(09).

② 同①

③ 同①

④ 羅伊格.弗朗科利著,杜曉十,檀革勝譯.理解后調(diào)性音樂[M].人民音樂出版社,2012:72-73.

⑤ 同①

⑥ 楊立青.真誠(chéng)高雅純摯——梅西安的音樂語言[M].人民音樂出版社,2010:26.