基于改進EOQ模型的庫存控制研究

□ 王 賽，陳 巖

(南京林業(yè)大學 經(jīng)濟管理學院，江蘇 南京 210037)

1 引言

庫存作為一種為滿足未來需求而暫時閑置的資源，是管理者手中的一把雙刃劍。庫存不足，需要該存貨進行生產(chǎn)的工人和設備就要停歇，造成供應中斷；庫存過多，卻會掩蓋生產(chǎn)或銷售中的許多問題，比如，前序階段生產(chǎn)速率下降，因為有存貨積壓后序階段未受到影響，一旦存貨消耗掉，才會發(fā)現(xiàn)前后生產(chǎn)速率不能匹配，過多的庫存甚至會影響企業(yè)的資金周轉。即便是在如今全渠道零售的環(huán)境下，研究重點也從渠道定價轉變成了庫存決策問題[1]。經(jīng)濟訂貨批量模型通過定量地分析庫存費用的構成因素來求解最佳訂貨批量。本文意在對EOQ模型的部分假設做出適當改動，降低其理想化程度，在新的條件下尋求新的最優(yōu)解。

EOQ模型理想的假設條件給學者們創(chuàng)造了巨大的研究空間。改變“需求率已知且為常量”的條件，黃世華等[2]在需求變化的之字形不確定分布條件下，以風險最小化為目標對EOQ模型進行修正；因高科技產(chǎn)品具有斜坡需求和延遲補貨的特點，羅兵等[3]將其顧客按價格偏好者和時間偏好者分類，采用數(shù)值仿真分析了系統(tǒng)主要參數(shù)對銷售商訂貨策略及總利潤的影響；Chanda等[4]為出售技術產(chǎn)品的公司尋找需求隨試驗重復購買情況下的訂貨策略。改變“完美批次”的條件，王嗣琦[5]為模型引入了安全存貨量進行修正，并證明了傳統(tǒng)EOQ模型是修正模型的一種特殊情況；Salehi,Hossein等[6]提出了一個具有隨機中斷和部分缺貨的EOQ模型，在由于質量問題或正常短缺導致供應鏈中斷時，客戶是否愿意等待下一批次交貨，又因為批次存在缺陷的概率有限，所以檢查批次后使用“全部接收或全部退回”策略，確定了最優(yōu)庫存成本及決策變量。考慮購置資金由借貸得到，張秀華等[7]建立新模型并尋求EOQ和JIT兩種采購方式之間的成本差，并改變利息率的大小畫出多條無差異曲線，發(fā)現(xiàn)年利息率越大，無差異平衡點的值越大，使得JIT在采購量較大的需求范圍內成本更低；鄒裔忠[8]為模型加入了貸款利率參數(shù)，為資金需求方確定了存貨質押融資的最優(yōu)定價策略。考慮庫存品變質、成本損失問題，倪郁東等[9]在EOQ模型中考慮帶有Taguchi成本損失下的最優(yōu)成本，并且假定品質特性決定實際產(chǎn)品規(guī)格，品質特性服從產(chǎn)品規(guī)格的指數(shù)分布，按照Taguchi方法計算質量損失成本，進而分析年利潤受品質特性的影響，發(fā)現(xiàn)年平均利潤比EOQ模型中求得的值要小，而最佳訂貨量卻高于EOQ；紀賢兵等[10]為模型加入了庫存變質率參數(shù)，建立了多周期下生鮮農(nóng)產(chǎn)品考慮變質的EOQ模型；陳杰等[11]建立多元馬爾科夫需求預測模型，研究了易變質的多產(chǎn)品庫存控制策略。

唐飛[12]認為在庫存控制中，成本因素不是唯一的衡量標準，像如社會因素、環(huán)境因素也應被考慮其中，因而對EOQ模型進行了兩種改進：一是將環(huán)境因素(碳排放、碳足跡、可持續(xù)性等)作為約束條件；二是將環(huán)境因素成本化。朱連燕等[13]針對需求率、一次訂貨費、單位維持庫存費等不確定參數(shù)，結合徑向基函數(shù)模型和穩(wěn)健參數(shù)設計的思想，提出新的優(yōu)化方法。EOQ模型多是在單一供需關系下被改進，而葉銀芳等[14]針對單供多需的供應鏈關系，在需求為區(qū)間值的情況下構建EOQ模型并給出多個需求方進行成本分攤的博弈方法。Leopoldo Eduardo Cárdenas-Barrón等[15]在假定供應商為零售商提供貿易信用期的情況下，為零售商求得庫存相關需求和維持庫存費非線性的EOQ模型[16]。

通過閱讀相關文獻，發(fā)現(xiàn)學者在EOQ模型的改進上做了大量的研究工作。他們?yōu)槟Ｐ湍軌蚪咏诱鎸嵉膸齑姝h(huán)境，將確定的參數(shù)變?yōu)椴淮_定，或者增加新的參數(shù)進行限制，指導企業(yè)更加合理地進行訂貨，為庫存管理提供了豐富的理論。本文的特色與創(chuàng)新主要體現(xiàn)在以下兩個方面：模型改進上，雙峰型需求變動的EOQ模型是針對產(chǎn)品的需求特性提出的，而維持庫存費非線性的EOQ模型是分析實際庫存環(huán)境下維持庫存費與庫存量的關系作出的，前者更具針對性，后者更具普遍性；模型構建上，雙峰型需求變動的模型根據(jù)需求量關系式作出函數(shù)圖像，而維持庫存費非線性的EOQ模型先作出符合實際情況的曲線圖像，再為圖像找到合適的函數(shù)表達式。

2 EOQ模型改進研究

本文主要針對經(jīng)典EOQ模型兩條假設進行改進研究，分別改動并提出了雙峰型產(chǎn)品需求變動的EOQ模型和維持庫存費非線性的EOQ模型。

2.1 EOQ模型的基本假設和計算方法

EOQ模型有以下9個假設條件：

①外部對庫存系統(tǒng)的需求率已知、需求率均勻且為常量；

②一次訂貨量無最大最小限制；

③采購、運輸均無價格折扣；

④訂貨提前期已知，且為常量；

⑤訂貨費與訂貨批量無關；

⑥維持庫存費是庫存量的線性函數(shù)；

⑦不允許缺貨；

⑧補充率為無限大，全部訂貨一次交付；

⑨采用固定量系統(tǒng)。

其中，模型所涉及到的字母及其表示含義如下所示：

CT，CH，CR，CP，CS——庫存總費用，維持庫存費，訂貨費，購買費，缺貨損失費。

H——單位庫存量一年維持庫存費；

Q——最大庫存量，Q*為最佳訂貨批量或經(jīng)濟訂貨批量；

D——年需求量；

S——一次訂貨費；

P——進貨單價。

2.2 雙峰型產(chǎn)品需求變動的EOQ模型改進研究

EOQ模型的假設①提出，外部對庫存系統(tǒng)的需求率已知、需求率均勻且為常量。在現(xiàn)實生活中，企業(yè)里、市場上大部分物品或許能夠基本保持穩(wěn)定的需求量，可以適用此假設條件，而對于新上市的產(chǎn)品或季節(jié)性產(chǎn)品卻并不適用。因為新上市的產(chǎn)品無法確定消費者對其接受程度，即使之前做過充足的市場調查，仍然存在客觀原因譬如競爭者調價等非己方能夠控制的因素影響實際需求量；而對于季節(jié)性產(chǎn)品來說，大部分存在需求量按年波動的規(guī)律，譬如空調、冰箱是雙峰型產(chǎn)品，在夏季和冬季需求量較高，而圍巾、手套等是單峰型產(chǎn)品，只在冬季有較高的需求量。

①考慮峰值下t的取值。

一年的12個月，人們常把3月、4月、5月定為春季，6月、7月、8月定為夏季，9月、10月、11月定為秋季，12月、1月、2月則是冬季。我們假定雙峰型產(chǎn)品在6月末及12月末取得最高點，即函數(shù)在6、12處取得最大值，3、9處有最小值。

②確定ω。

③確定φ。

④確定A和k。

根據(jù)最大最小值可得二元一次方程組：

圖1 雙峰型產(chǎn)品月需求量變化圖

我們尋求經(jīng)濟訂貨批量是通過使得年費用最小來做到，所以，在其他假設條件不變的情況下，再來看下年庫存費用的表達式的變化。

在EOQ模型中，訂貨費和購買費都與D有直接關系。而在雙峰型產(chǎn)品需求變動的情況下，要求得一年的總需求量，就要依次算出每個月的需求量再加和。這里有必要說明一點，雖然我們在作圖時表現(xiàn)出來的函數(shù)圖像是連續(xù)的，這樣是為了方便觀察，但實際上是它離散的。因為t取某一值時，它的含義是“在某月期間內，總需求量為多少”，因此t也只能取1-12之間的整數(shù)值。

現(xiàn)將1-12分別代入需求量關系式計算每月需求量經(jīng)計算，年需求量為8Dm。

所以，在需求變動的模型下，年庫存總費用為：

此時的經(jīng)濟訂貨批量：

2.3 維持庫存費非線性的EOQ模型改進研究

EOQ模型的假設⑥提出，維持庫存費是庫存量的線性函數(shù)。其實，在現(xiàn)實生活中并非如此，為了維持最初的那部分庫存量所需要的費用比較高，后來費用的增量會比庫存的增量要慢，也就是每增加一單位庫存量，所需要的增加的庫存費用會逐漸減少，類似于經(jīng)濟學中的邊際成本遞減規(guī)律。所以，本文將EOQ模型的假設⑥改成“維持庫存費不是庫存量的線性函數(shù)，而是隨庫存量增加，邊際維持成本會減小”。

圖2 實際維持庫存費與庫存量關系圖

由于我們只對維持庫存費即CH作了變動，其他假設條件沒有改變，因此并不涉及CR和CP的變化。在維持庫存費非線性模型下，年庫存總費用為：

現(xiàn)將該函數(shù)對Q求導：

令其等于0，得到：

化簡上述式子，得到一元二次方程：

kHQ2-SDQ-SD=0

因為：

Δ=S2D2+4kHSD>0

所以該方程存在兩個不同的根。

用公式法求得方程的根為：

因為:

而庫存量Q是非負的，所以方程的根即經(jīng)濟訂貨批量只能為：

3 模型應用算例

本文選用了某醫(yī)院藥房的兩種藥品作為改進模型的算例對象。其中，鹽酸氯丙嗪片的需求具有雙峰性質，是雙峰型產(chǎn)品需求變動EOQ模型的算例對象；而維持庫存費非線性的EOQ模型應用上具有普遍性，所以對選取算例對象要求不高，只是單價高的藥品更能體現(xiàn)出新模型與原模型的訂貨批量差距，桔貝合劑較為合適。

3.1 雙峰型產(chǎn)品需求變動EOQ模型應用

3.1.1 確定算例對象

本文選用需求具有雙峰性質的藥品——鹽酸氯丙嗪片作為該模型的算例對象。該藥品是一種抗精神病類藥物，因精神病在春秋兩季易發(fā)作，所以其需求存在雙峰性質。雖然本文在建立雙峰型產(chǎn)品需求變動EOQ模型時，峰期在夏季和冬季，而該藥品是在春秋兩季存在高峰，考慮到均是雙峰型且不影響年需求量，所以直接用公式計算。

3.1.2 算例過程

假設藥房在鹽酸氯丙嗪片需求量最高的月份有832瓶，進貨單價為9元，一次訂貨費為10元，H是由資金利息和倉儲費由構成，且H=ph，其中h為資金效果系數(shù)，是資金年利息率和單位維持庫存費占物品價值的百分比之和，假設前者為12%，后者為18%，所以h是30%，則ph即H的計算結果為2.7元。也就是每存儲一瓶鹽酸氯丙嗪片，一年需維持庫存費2.7元，1000瓶需要2700元。

3.1.3 效果對比

現(xiàn)將鹽酸氯丙嗪片應用經(jīng)典EOQ模型和改進EOQ模型的各項庫存費用作對比，如表1所示。

表1 鹽酸氯丙嗪片應用改進前后模型費用對比表

觀察表1，改進的EOQ模型訂貨批量略小于原模型的值，且降低了年庫存費用。

3.2 維持庫存費非線性EOQ模型應用

①確定算例對象。

由于該模型的提出是根據(jù)實際維持庫存費與庫存量的關系來的，為體現(xiàn)其與原模型的差距，本文選用進貨單價較高的桔貝合劑作為算例對象。

②算例過程。

假設某藥房有藥品桔貝合劑，每月需求量為1486瓶，則年需求量是17832瓶，該藥品的進貨單價為33元，一次訂貨費為10元，h仍為30%。由于模型中還存在一調節(jié)系數(shù)k需被確定，所以現(xiàn)通過對年維持庫存費用的分析來確定其值。

式子CH=kHln(Q+1)=kphln(Q+1)中Q是自變量，p、h已知，則ph即H的計算結果為9.9元。也就是在維持庫存費與庫存量之間是線性關系的情況下，每存儲一瓶桔貝合劑，一年需維持庫存費9.9元，1000瓶需要9900元。我們的模型指出，二者非線性關系，還需要kln(Q+1)來調節(jié)。調節(jié)的作用就是使得當Q=1時，年維持庫存費遠大于9.9元；當Q=1000時，年維持庫存費遠小于9900元。于是得到：

我們可以確定一個合適的k值20。在這種情況下，年維持一瓶需要137.24元，年維持1000瓶需要1367.93元。在實際應用時，也可通過對H的量化來確定更科學的取值。

那么，CH=198ln(Q+1)。

求導并令其一階導數(shù)等于0得到方程：

198Q2-178320Q-178320=0

運用MATLAB對方程求解，得到方程的兩根分別是901.6050和-0.9989，顯然，經(jīng)濟訂貨批量Q*為902瓶。

③效果對比。

現(xiàn)將桔貝合劑應用經(jīng)典EOQ模型和改進EOQ模型的各項庫存費用作對比，如表2所示。

表2 桔貝合劑應用改進前后模型費用對比表

觀察表2，應用改進模型得出的訂貨批量遠大于原模型，這主要是因為原模型的假設是“維持庫存費是庫存量的線性函數(shù)”，而桔貝合劑單價較高故而維持庫存費高，制約了訂貨量的上升，雖然在這樣較小的訂貨批量下取得的年庫存費用也少于改進模型，但仔細分析后，發(fā)現(xiàn)這些量還不夠滿足四天的需求，甚至可能無法滿足訂貨提前期的需求，頻繁進貨明顯會為管理人員帶來更多的工作負擔，再看改進后的維持庫存費非線性的模型下，訂貨批量明顯更為合理。

4 結論

在算例中，通過對比改進模型應用前后的年庫存費用，可以肯定，改進的新模型擁有更加經(jīng)濟或合理的經(jīng)濟訂貨批量。目前只是對兩種藥品進行改進模型應用，如果擴大使用，將會為醫(yī)院尋求到合適的庫存控制策略。對于公立醫(yī)院這樣的非營利性機構而言，增加的流動資金可用于提高醫(yī)療設備、病房設施等；減少人員在庫存管理上的工作量也可以增加服務患者的時間。

本文雖然給出了新的假設條件下經(jīng)濟訂貨批量的計算方法，但由于自身能力有限，改動之后不能確定在需求量變動時訂貨點如何計算，影響EOQ模型的長期應用。鑒于目前的研究有限，也無法考慮多假設條件變動時如何制定訂貨策略，有待進一步研究。