基于小波變換的負荷諧波概率密度函數分析

楊宏偉，郭立杰

(1.國網北京通州供電公司，北京101101；2.國網北京昌平供電公司，北京102200)

0 引 言

諧波阻抗作為電能質量分析的重要技術指標，在電能質量限制值計算中起著重要的作用，而諧波限制值的計算又直接影響到用戶的諧波運行水平。因此，如何方便快捷而又準確地計算諧波阻抗，對于電能質量行業的發展有著重要影響。現有的諧波阻抗多是使用儀器記錄電壓和電流瞬時值波形，然后根據信號處理方法得到諧波阻抗。這種方法具有原理準確的特點，但對電力系統的監測水平提出很高要求，需要最大的經濟投入，且這種方法無法滿足較長監測周期內的諧波阻抗變化趨勢，無法完全滿足電能質量監測和治理的需要。

為彌補上述方法的缺陷，國內專家提出一系列方法對上述方法進行改進。文獻[1]提出正交多項式和統計量來應用于矢量求和的概率密度函數，為應用統計方法解決電能質量問題提供了理論基礎。文獻[2-3]針對實際電鐵電能質量諧波進行概率分析研究，為后續非線性負荷研究提供了可供借鑒的模型。文獻[4-6]應用一類正交多項式對諧波求解問題進行分析，為研究實際中多諧波源之間的關系提供了有力工具和方法。上述方法多是基于瞬時值已知的前提計算諧波阻抗，但實際電能質量監測過程中，都是以有效值形式儲存于數據庫中，瞬時值雖然信息量完整，但需要存儲空間巨大，只有在極少數場合才得到應用。而電力系統模型都是基于瞬時值建立的，以上文獻并未考慮有效值和瞬時值之間的概率關系。已知有效值的概率密度函數，反求瞬時值的概率密度關系屬于諧波求和的逆問題。

筆者在前人研究成果的基礎上，首先選取實際測量中的3 s有效值，并擬合出3 s有效值的概率密度分布，并根據3 s有效值和200 ms值關系，得出200 ms的概率分布。在仿真中驗證了小波變換在概率密度函數計算過程中的有效性。

1 小波變換

電能質量測試中電流和電壓值是以有效值的形式展現的，下面闡述各種有效值的定義。

1.1 小波變換

小波變換作為一種具有良好的局部化刻畫信號處理方法，通過構造與信號相似的小波基函數，以及對基函數的伸縮和平移來實現靈活刻畫信號的目的，小波變換從原理來講也是一種信號的正交分解。一種常見的小波變換表達式如下：

(1)

式中：cA1(x)為近似系數向量，cDi(x)為細節系數向量。

1.2 Gram-Schmidt正交化

式(1)得到的近似系數向量和細節系數向量如果沒有正交的話，可以通過Gram-Schmidt正交化過程實現正交，對應的步驟如下：

p0(x)=cDn

(2)

(3)

(4)

(5)

當多項式和區間[a,b]確定之后，正交化多項式也是唯一的。f(x)對應可以寫為區間[a,b]上的正交多項式的線性組合。

2 3 s有效值和200 ms有效值定義

2.1 200 ms值

對瞬時信號做傅里葉變換，即可得到n次諧波的幅值和相角。電能質量計算中約定每200 ms得到一組有效值，即200 ms值。文獻[7-8]定義50 Hz系統諧波的計算值計算周期為10個周期，即200 ms得到一組諧波值。對應的表達式如下：

(6)

式中：w為頻率，abs為求解幅值函數，urms_1s(w)為w頻率對應幅值。

2.2 3 s有效值

對3 s內上述15個“連續200 ms有效值”作均方根計算。

(7)

式中：urms_1s為3s有效值，N=15。

式(7)定義式是在式(6)基礎上得出的。為了處理方便，對式(7)做出如下變形：

(8)

3 3 s有效值和200 ms值概率密度函數統計量的關系

根據式(8)的關系和概率統計中均值和方差性質，可以得出200 ms值平方的均值和方差為

u200ms=u2s

(9)

σ200ms=15σ3s

(10)

式中：u200ms為200 ms值平方的均值，σ200ms為200 ms值平方的方差。

4 概率密度函數計算

4.1 3 s有效值平方概率密度函數計算

3 s有效值平方的概率密度函數可以通過實測的3 s電能質量數據擬合得到，3 s有效值平方的均值和方差也可以通過3 s有效值平方統計得到。假設3 s有效值平方均值為μ3s，方差為σ3s。

4.2 200 ms值概率密度函數計算

假設200 ms值平方的概率密度函數為f200ms-2(x)，在定義區間上進行小波正交展開：

(11)

式中：ai為正交多項式的系數，對應的表達式為

ai=〈pi(x),f200ms-2(x)〉

(12)

其中：〈pi(x),f200ms-2(x)〉為pi(x)和f200ms-2(x)的內積，也為變量x函數pi(x)的期望。對式(12)進行泰勒級數展開，保留前三項，可得

(13)

對于沒有表達式的pi(x)，用微分跟蹤器求取其二階微分。

5 微分跟蹤器

微分跟蹤器是為了求取含有噪聲數值信號的微分信號而設計的,具體的表達式詳見文獻[9]。

6 仿真分析

為了驗證理論的有效性，提取FLUKE1760儀器對現場諧波測試數據。選取電力系統電力機車、整流站2種典型負荷進行計算分析。小波分解采用bior3.5基函數，分解層數為4層，小波基和層數是根據電能質量數據而定的，沒有量化的判斷標準。

6.1 牽引站電流數據分析

牽引站電流3 s有效值平方的擬合曲線和小波分解如圖1、圖2所示。根據圖2得到牽引站3 s電流有效值平方分解系數之后，根據式(2)～(5)得到正交向量，再根據式(12)得到200 ms電流有效值概率密度函數的系數。具體的圖形如圖3所示。

圖1 牽引站電流3 s有效值平方的擬合曲線Fig.1 Fitting curve for 3 s RMS square of current in traction station

圖2 電流3 s有效值平方的小波分解Fig.2 Wavelet decomposition for 3 s RMS square of current

圖3 電流200 ms有效值平方的概率密度Fig.3 Probability density for 200 ms RMS square of current

從圖3可以看出，200 ms電流有效值繼承了圖2小波分解中近似系數cA1的主要部分，細節系數分量cD1也有所體現，但相比較圖1的3 s有效值曲線，已經有所減小。

6.2 換流站電能質量數據分析

圖4為換流站電流有效值平方的擬合曲線，對其進行小波分解，分解層數為9層，小波基函數為dmey，分解之后的高頻和低頻分量如圖5所示。截取cA1、cD8、CD9為有效分量。

圖4 換流站電流3 s有效值平方的擬合曲線Fig.4 Fitting curve for 3 s RMS square of current in convertor station

圖5 換流站電流3 s有效值平方的小波分解Fig.5 Wavelet decomposition for 3 s RMS square of current in convertor station

200 ms換流站電流有效值平方的概率密度函數如圖6所示。從圖6可以看出，與牽引站的規律相似，200 ms換流站電流有效值平方繼承了小波分解的低頻部分，即近似系數cA1的部分，濾除了部分高頻分量。

圖6 換流站電流200 ms有效值平方的概率密度Fig.6 Probability density for 200 ms RMS square of current in convertor station

6.3 風電場電能質量數據分析

圖7為風電場3 s諧波電流幅值平方的概率密度函數，分布為較為平整，近似于高斯分布。

對圖7做小波分解，可以將其分解為如圖8所示的分量概率密度，與換流站分解結果相差較大。主要原因是換流站電流分布較為陡峭，分解變量含有較多的高頻分量。而風電電流幅值平方分布較為平滑，分解分量比較少，且含有的低頻分量較多。說明小波分解對不同非線性負荷分布具有一定的適應性，可以根據不同的負荷特性分解出不同的分量，進而反映出不同負荷的特征。

圖7 風電場電流3 s有效值平方的擬合曲線Fig.7 Fitting curve for 3 s RMS square of current in wind farm

圖8 風電場電流3 s有效值平方的小波分解Fig.8 Wavelet decomposition for 3 s RMS square of current in wind farm

圖9為經過變換之后200 ms風電電流有效值平方的概率密度函數，與圖7所示的波形具有較好的相似性，說明200 ms有效值概率分布與3 s有效值概率分布具有較好的相似性。

圖9 風電電流200 ms有效值平方的概率密度Fig.9 Probability density for 200 ms RMS square of current in wind farm

從圖1、圖4、圖7可以看出，對應不同的概率密度函數曲線，小波分解都可以有效地將對應的細節系數和近似系數分離處理，有效地估計200 ms值的概率密度函數，表明該方法具有較好的適應性，能夠針對不同的非線性負荷進行概率密度函數的估計。

7 結 語

依據3 s有效值數據計算200 ms值概率密度函數。小波分解的引入簡化了電能質量有效值概率密度函數估算。但仍有以下問題需要解決：

1)200 ms值的區間估計只是粗略假設，需要更為精確的理論評估來確定200 ms值區間。

2)小波基的選取缺乏最優的選擇方法，有待于更加規范的反復選取。