歷史建筑分維算法及其演變研究

李 燕

(江蘇航運(yùn)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇南通 226010)

1 概述

在紛繁復(fù)雜的歷史變遷中，人類一直在探尋萬物運(yùn)轉(zhuǎn)的真理，謝瑞爾認(rèn)為，每一個時代的主流藝術(shù)背后都隱藏著一個深層的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)——幾何學(xué)，在達(dá)芬奇那里講求透視關(guān)系的射影幾何學(xué)，在印象主義那里是非歐幾何學(xué)。建筑作為伴隨人類歷史發(fā)展的重要載體，長久以來一直在追尋與時代發(fā)展相適應(yīng)的存在方式，而幾何學(xué)始終是研究建筑不可或缺的工具。曼德勃羅特認(rèn)為，分形理論可以表征事物的本質(zhì)特性，那么建筑作為最具象存在的人類智慧產(chǎn)物，如何測度其內(nèi)在幾何本質(zhì)的變遷成了一項(xiàng)重要的研究內(nèi)容。卡爾·巴維爾提出“對于歷史建筑而言，它的分形特征表現(xiàn)在建筑形態(tài)上，反映出建筑的局部與整體特性及人的視覺信息層級性”。分形理論對局部和整體特性有著極其本質(zhì)的表針——分維，分維是相似變換中的不變量，有了分維就可以描述建筑立面的幾何特征，并對它們的不規(guī)則程度作定量比較。因此，為了研究建筑立面在幾何學(xué)上的變化情況，本文擬對建筑分維數(shù)的變化進(jìn)行測算，分析其變化趨勢，并結(jié)合建筑歷史發(fā)展探究其內(nèi)變遷的發(fā)展脈絡(luò)。

2 建筑分維數(shù)測算方法

分形幾何學(xué)正以前所未有的視角融合科學(xué)與藝術(shù)的邊界，統(tǒng)一數(shù)學(xué)與藝術(shù)的審美，其逐步衍生出分形信息、分形設(shè)計(jì)、分形藝術(shù)等諸多應(yīng)用。在此過程中，作為人類文明發(fā)展中的重要成果性符號，人類建筑也進(jìn)入分形的研究視線，相對于自然界事物的分形來說，建筑的分形維數(shù)似乎簡單一些，通常人們認(rèn)為建筑就是一個三維的幾何體，但依據(jù)分形理論，建筑的分維數(shù)要么是一個分?jǐn)?shù)，要么是一個描述不規(guī)則和斷裂狀態(tài)的“異常”整數(shù)，人類歷史上琳瑯滿目的建筑成就似乎總隱藏著某種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的秘密，因此測算建筑分維數(shù)不失為探究建筑分形特征的一個良好突破點(diǎn)。

作為分形的定量表征和基本參數(shù)，分維又稱分形維或分?jǐn)?shù)維，是分形理論的又一重要原則。借鑒分維數(shù)在諸多研究領(lǐng)域的應(yīng)用方案，本文采用計(jì)盒維數(shù)法開展建筑立面分維數(shù)的測算。具體來說，在建筑立面圖中用“鋪砌”的方法，對于給定的對象，用很小的單元塊ε充填它，最后數(shù)一數(shù)所使用的小單元數(shù)目N。改變ε的大小，會得到不同的N值，ε越小，得到的N越大，ε越大，得到的N就越小。將測到的結(jié)果在“雙對數(shù)”坐標(biāo)紙上標(biāo)出來，往往會得到一條直線，此直線的斜率的絕對值就是對象的維數(shù)D。用數(shù)學(xué)關(guān)系表達(dá)式:

這種計(jì)算維數(shù)的方法稱為計(jì)盒維數(shù)法，得到的分維值叫做計(jì)盒維數(shù)或盒子維。由于其易于用計(jì)算機(jī)求得，計(jì)盒維數(shù)法是迄今為止在各個學(xué)科中求分維時應(yīng)用最為廣泛的一種方法。

3 歷史建筑立面分維數(shù)計(jì)算

基于建筑分維數(shù)算法原理，設(shè)整個柵格的邊長為1，其對應(yīng)的柵格單元大小分別為1/16，1/32，以羅比住宅圖1為例。當(dāng)柵格的尺寸由1/16縮小到1/32時，建筑立面所占據(jù)的格子數(shù)由50增加到104，把柵格尺寸代入計(jì)盒子維的公式中:

可以計(jì)算出相應(yīng)的結(jié)果，即羅比住宅的分維數(shù)約為1.485。

圖1 羅比住宅的計(jì)盒維數(shù)計(jì)算示意圖

依據(jù)各歷史時期建筑的代表性和典型性，本文選取了從古埃及至今的19座經(jīng)典建筑，依據(jù)上述計(jì)盒維數(shù)法進(jìn)行測算，得到如下建筑立面的分維數(shù)值(見表1)。同時，對所有建筑分維數(shù)進(jìn)行算術(shù)平均，可以得到歷史建筑的平均分維數(shù)，即為1.701。通過表2可以發(fā)現(xiàn):薩伏依別墅的分維數(shù)(1.421)遠(yuǎn)低于法米利亞大教堂(1.847)，同樣，范斯沃斯住宅的分維數(shù)(1.41)低于悉尼歌劇院(1.714)。分維數(shù)超過1.7的有十棟建筑，這些建筑的一個共同特征是建筑細(xì)部層次豐富并且建筑立面輪廓線呈現(xiàn)的曲線較為明顯。

表1 各時代經(jīng)典建筑分維數(shù)測算結(jié)果表

4 歷史建筑立面分維數(shù)演變分析

對各階段的建筑分維數(shù)進(jìn)行算術(shù)平均，可以發(fā)現(xiàn)各時期建筑分維數(shù)變化呈現(xiàn)出不規(guī)則的上下波動(見圖2)。從曲線波動的動向來看，有五個時期的建筑維數(shù)上下跳躍的跡象較為明顯。建筑分維數(shù)的波動必然反映了人類的社會需求，經(jīng)濟(jì)發(fā)展，科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步和觀念的更新，背后有著深刻的文化內(nèi)涵。

圖2 各個時期分維數(shù)變化圖

1)古埃及—古羅馬和古希臘時期—?dú)W洲中世紀(jì)(曲線呈上升趨勢)。

古埃及是一個政教結(jié)合的獨(dú)裁王國，由于強(qiáng)烈的宗教信仰促使建筑藝術(shù)普遍顯現(xiàn)著神秘和非自然的色彩。當(dāng)時的建筑追求一種震撼人心的精神力量，而巨大和沉重的體量便是建筑基本的造型因子。古希臘羅馬時期，公民享有較大的自由，因而，古希臘和古羅馬建筑具有優(yōu)雅、明快的基調(diào)，洋溢著世俗的、蓬勃向上的激情，并蘊(yùn)涵著深刻的哲理。該時期的建筑立面裝飾與古埃及比較更加多樣，除了雕刻以外還大量的應(yīng)用新材料。在中世紀(jì)，建筑文化同基督教的教義緊密相連，建筑藝術(shù)的功能首先是為宗教服務(wù)，宗教性建筑成對該時期建筑文化發(fā)展的主線。哥特式建筑完全脫離了古羅馬的影響，以尖券，尖形肋骨拱頂、坡度很大的兩坡屋面、飛拱壁、彩色玻璃窗等構(gòu)成建筑的形象和結(jié)構(gòu)要素，其建筑立面的層次異常豐富。

2)歐洲中世紀(jì)—文藝復(fù)興(曲線呈下降趨勢)。

歐洲的文藝復(fù)興運(yùn)動在西方的文化發(fā)展史上占有極其重要的地位，文藝復(fù)興運(yùn)動帶來了建筑文化的極大繁榮，它使藝術(shù)家擺脫了中世紀(jì)神學(xué)的束縛，自由地汲取古代和各方面的營養(yǎng)，以現(xiàn)實(shí)為基礎(chǔ)，充分利用科學(xué)技術(shù)的新成就，發(fā)揮自己的藝術(shù)個性，從而形成了歐洲建筑的新的高峰。文藝復(fù)興的設(shè)計(jì)充滿著欣欣向榮的世俗文化氣息，反映了人性的覺醒和理性的色彩，該時期的建筑與中世紀(jì)相比，建筑立面的構(gòu)圖簡潔明快，比例和諧，具有優(yōu)雅的氣質(zhì)。

3)歐洲文藝復(fù)興—17，18世紀(jì)(曲線呈上升趨勢)。

歐洲進(jìn)入17世紀(jì)后，隨著巴洛克和洛可可建筑的興起，強(qiáng)調(diào)動感和激情，常采用不對稱的構(gòu)圖、不規(guī)則的曲線，建筑的裝飾也日趨復(fù)雜。

4)19世紀(jì)、20世紀(jì)初—兩次世界大戰(zhàn)期間(1914—1945)(曲線呈下降趨勢)。

19世紀(jì)初，資本主義國家先后走上了工業(yè)化的道路，鋼和水泥的應(yīng)用使建筑突破了傳統(tǒng)建筑材料的束縛，給建筑領(lǐng)域帶來了革命性的變化。建筑創(chuàng)作開始重視理性的審美觀，其形式也由繁復(fù)到簡單，由具象向抽象發(fā)展。可以說，20世紀(jì)初歐美的建筑好似一個分水嶺，建筑領(lǐng)域內(nèi)出現(xiàn)了幾千年建筑史上前所未有的急劇變革。兩次世界大戰(zhàn)期間，一方面隨著工業(yè)化道路的進(jìn)一步發(fā)展，歐美建筑文化領(lǐng)域發(fā)生了巨大的變革，重視功能和理性的現(xiàn)代主義迎合了形勢的需要。另一方面戰(zhàn)后初期的經(jīng)濟(jì)困難和嚴(yán)重的房荒促使建筑師的改革所面對的現(xiàn)實(shí)，注重經(jīng)濟(jì)和實(shí)效。在這樣的歷史背景下，新的建筑風(fēng)格逐漸成型，實(shí)用性和生產(chǎn)性建筑越來越占據(jù)重要地位，建筑史上長期居于突出地位的宮殿、壇廟、陵墓退居次要;現(xiàn)代主義建筑具有在簡潔的造型、明亮的采光、便利的功能以及相對傳統(tǒng)建筑較低的造價(jià)和較短的工期等優(yōu)勢適應(yīng)了工業(yè)化以后的社會需要，成為20世紀(jì)基本的造型形制。

5)兩次世界大戰(zhàn)期間—20世紀(jì)60年代以后(曲線呈上升趨勢)。

從20世紀(jì)60年代起，建筑領(lǐng)域?qū)ΜF(xiàn)代建筑創(chuàng)作進(jìn)行了深刻反思，批判的聲音此起彼伏:指責(zé)它割斷歷史、反對裝飾、重視技術(shù)、忽視人的感情需要、忽視新建筑與原有環(huán)境文脈的配合。特別是后現(xiàn)代主義的出現(xiàn)，標(biāo)志著建筑創(chuàng)作開始進(jìn)入了一個多元化的新的發(fā)展時期。

5 結(jié)語

考慮自然科學(xué)和社會科學(xué)的發(fā)展，分形是一門極具創(chuàng)造性和前瞻性的學(xué)科，為建筑研究提供了極其獨(dú)特的視角，本文通過計(jì)盒分維數(shù)法，對歷史建筑的分維數(shù)進(jìn)行了深入測算，從結(jié)算結(jié)果來看，分形維數(shù)在一定程度上可以將復(fù)雜的建筑變遷簡化為直觀的數(shù)字特征，同時，通過計(jì)算代表性建筑外立面的分維數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)，建筑的分維數(shù)整體上趨于平穩(wěn)狀態(tài)，即大致趨于1.701。另一方面，隨著數(shù)字技術(shù)的日新月異，建筑藝術(shù)愈加依賴新技術(shù)、新設(shè)備和新材料等的應(yīng)用，但建筑就視覺傳達(dá)的屬性而言還是遵循著與歷史發(fā)展一脈相承的變遷，從計(jì)算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，各個時代建筑的分維數(shù)值的變化方向與建筑發(fā)展所處的時代背景、文化變遷脈絡(luò)大致吻合，從而說明用分維數(shù)描述建筑變遷具有一定的科學(xué)性。由于分形理論應(yīng)用的難度，在歷史建筑演變研究中引入分維算法解構(gòu)建筑特征，還處于初步的、探索性的階段，未來還需進(jìn)一步拓展分維數(shù)的表針研究，從而形成更加具有理論意義和實(shí)踐意義的成果。