分式方程解法探究

劉月

[摘要]探討已知分式方程的解如何求其中參數的值，以幫助學生突破難點，提高學生解決問題的能力。

[關鍵詞]分式方程;解法;探究

[中圖分類號]G633.6 [文獻標識碼]A [文章編號]1674-6058（2020）05-0021-02

分式方程是相對于整式方程的一類方程，因其獨特性成為中考的必考點，與分式方程相關的試題類型包括解分式方程、分式方程的應用、分式方程的解等，可通過去分母、解整式方程、檢驗得到分式方程的解，它與解整式方程最大的不同是在方程兩邊都乘以一個含有未知數的整式，當這個整式為0時，分式方程就會出現增根，所以解分式方程的最后一定要驗根。反過來，已知分式方程的解，如何求其中參數的值呢？

一、分式方程的解是一個取值范圍時。確定字母的取值范圍

含有字母的分式方程，如果已知它的解是一個取值范圍，我們就可以據此確定其中字母的取值范圍，分式方程解的取值范圍可以是正數、負數、非正數、非負數、大于1等，為了確定其中字母的取值范圍，我們需要求得分式方程的解，為了得到解，我們需要解方程，解的是含有字母的分式方程。

點評：可化為一元一次方程的分式方程有唯一解，有兩層意思，一是分式方程化成整式方程ax=b后，未知數的系數a不為o;二是分式方程有解，也就是無增根，即分式方程的各分母都不為0.據此，我們可以確定其參數的值，這里的第二層意思仍是一個隱含條件，學生容易疏忽。

三、分式方程有增根。確定字母的值

分式方程在去分母時，要在方程的兩邊都乘以各分母的最簡公分母，因為這個最簡公分母是含有未知數的整式，不是一個確定的實數，所以它的值是不確定的，也就是說，最簡公分母有可能為0.當最簡公分母為0時，我們在去分母時就違反了方程的變形規則，即在方程的兩邊都乘以0.所以解分式方程的最后一定要檢驗，使最簡公分母為0的根是分式方程的增根，必須舍去，那么分式方程的增根是否就是“壞根”，沒有用處呢？答案是否定的，請看下面實例。

點評：分式方程的增根，就是使各分母為0時，未知數的值，增根雖不是分式方程的根，卻是去分母后整式方程的根，所以我們只可以將增根代入整式方程求參數的值，而不可以將增根代入分式方程求參數的值，從這里可以看出，增根并非一無是處，它也是有價值的根。

四、分式方程無解時。確定字母的值

分式方程無解與分式方程有增根是兩個概念，不能混為一談，這其中的原因有兩點：一是分式方程無解不一定有增根，如分式方程化為一元一次方程后，一元一次方程無解從而使分式方程無解，一元一次方程就沒有根，何來增根？二是分式方程有增根不一定分式方程無解，如分式方程化為一元二次方程后，一元二次方程有兩個不同的實數根，其中一個根是分式方程的根，另一個是分式方程的增根，這時分式方程既有增根也有根，對于可化為一元一次方程的分式方程來說，若分式方程無解時，其原因恰好來自兩個方面，一方面整式方程無解;另一方面分式方程有增根。

分析：先去分母，化分式方程為整式方程，并整理成整式方程的一般形式，當整式方程的未知數系數為0時，整式方程無解，造成分式方程無解;或者讓整式方程有根，但這個根是分式方程的增根，然后舍去，從而造成分式方程無解。

解：把m看成常數，解分式方程（2m+x）x-x（x-3）=2（x-3），整理得（2m+1）x=-6.①

當2m+1=0時，方程①無解，原分式方程也無解，此時m=-0.5。

當2m+1≠0時，方程①有解，要使原分式方程無解，須使方程①的解為分式方程的增根，即x=3或x=0.

把x=0代入①得0=-6.此方程無解，把x=3代入①，得m=-1.5.所以m的值為-0.5或-1.5.故選D。

點評：可化為一元一次方程的分式方程無解，首先要將方程化成ax=b的形式，然后分兩種情形討論，（1）當a=0.6≠0時，整式方程無解，則分式方程也無解;（2）當a≠0時，整式方程有解，這個解是分式方程的增根時，分式方程仍無解。

分式方程的解是分式方程中一個重要的概念，如果已知分式方程的解求字母的值，直接代入分式方程，然后解分式方程就可以了，當把分式方程的增根，整式方程的無解也加入之后，難度也就增加了，從以上例題可見一斑，但不管怎樣，解分式方程或解含字母的分式方程，化分式方程為整式方程，并將整式方程整理為最簡形式，是繞不開的步驟，分式方程的增根就是使最簡公分母為0的根，是不變的硬道理。

（責任編輯：黃桂堅）