從數(shù)學試題來認識“數(shù)學運算”能力

唐光明

[摘要]從不同時期的數(shù)學教學大綱、數(shù)學課程標準中“教學目的”或“課程目標”對數(shù)學運算能力的描述變化，可以充分認識數(shù)學核心素養(yǎng)“數(shù)學運算”的能力要求。

[關鍵詞]數(shù)學課程標準;核心素養(yǎng);數(shù)學運算能力

[中圖分類號]G633.6 [文獻標識碼]A [文章編號]1674-6058（2020）05-0006-03

20世紀的數(shù)學教學大綱對“數(shù)學運算”能力的“正確迅速”降低了一些能力要求，與2003年版數(shù)學課程標準相比，2017年版數(shù)學課程標準首次提出了數(shù)學區(qū)別于其他學科的核心素養(yǎng)，包括數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等六個方面，由原來的"X2基”轉變?yōu)椤八幕迸c“四能”，提出通過高中數(shù)學課程學習，使學生進一步學習以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動能力和經(jīng)驗得以提高，培養(yǎng)學生從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，提升學生分析和解決問題的能力，同時“提高數(shù)學能力”轉變?yōu)椤鞍l(fā)展數(shù)學素養(yǎng)”，在學習數(shù)學和應用數(shù)學的過程中，學生能發(fā)展數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學學科核心素養(yǎng)。

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》首次把“數(shù)學運算”能力分解為兩大方面，即“數(shù)學運算”和“數(shù)據(jù)分析”，增加“數(shù)據(jù)分析”主要基于1986年版到2002年版的數(shù)學教學大綱對“數(shù)學”的描述：“數(shù)學是研究現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關系的一門科學，”2003年版數(shù)學課程標準對“數(shù)學”的描述是：“數(shù)學是研究空間形式和數(shù)量關系的科學，是刻畫自然規(guī)律和社會規(guī)律的科學語言和有效工具，”而《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》（中華人民共和國教育部制訂，2003年4月第1版）中對“數(shù)學”的描述改成了：“數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的一門科學，”交換了“數(shù)量關系”和“空間形式”的順序，首次把“數(shù)量關系”擺在了“空間形式”的前面，這是社會的發(fā)展，時代的需要，數(shù)據(jù)分析是研究隨機現(xiàn)象的重要數(shù)學技術，是大數(shù)據(jù)時代數(shù)學應用的主要方法，也是“互聯(lián)網(wǎng)+”相關領域的主要數(shù)學方法，數(shù)據(jù)分析技術已經(jīng)深入到科學、技術、工程和現(xiàn)代社會生活的各個方面。

從考試大綱及其說明中，可以了解考試大綱對運算能力的要求，《教學大綱》規(guī)定如何進行教學，而《考試說明》則規(guī)定考試的性質、內容、形式等，因此，《考試說明》與《教學大綱》是對立統(tǒng)一、相輔相成的。

1.《全日制十年制學校中學數(shù)學教學大綱（試行草案）》（中華人民共和國教育部制定，1978年2月第1版）的“教學目的”中對數(shù)學運算能力的要求是“具有正確迅速的運算能力”。

[例1]1982年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學（理科）第二大題第1小題：

本小題結合了二項式的展開考查復數(shù)的運算能力，考查考生“正確迅速的運算能力”。

2.《全日制中學數(shù)學教學大綱》（中華人民共和國國家教育委員會制定，1986年12月第1版）的“教學目的”中對數(shù)學運算能力的要求是“培養(yǎng)學生的運算能力”。

依據(jù)國家教委1986年頒發(fā)的《全日制中學數(shù)學教學大綱》，于1990年11月由國家教育委員會考試中心組織編寫的1991年版《考試說明》指出：“數(shù)學科考試旨在測試中學數(shù)學基礎知識、基本技能、基本方法和運算能力、邏輯想象能力以及運用所學數(shù)學知識和方法，分析和解決問題的能力。”

相應的數(shù)學科《考試說明》對復數(shù)運算這一內容的“考試要求”是“掌握復數(shù)的運算法則，能正確地進行復數(shù)的運算，并理解復數(shù)運算的幾何意義”。

[例2]1991年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學試題（理工農(nóng)醫(yī)類）第三大題解答題第（22）小題（本小題滿分8分）：

本小題考查復數(shù)基本概念和運算能力，

3.國家教委頒發(fā)的《現(xiàn)行普通高中教學計劃的調整意見》（教基[1990]004號文件），將普通高中的課程分為必修課和選修課兩部分，于是有了《全日制中學數(shù)學教學大綱（修訂本）》（中華人民共和國國家教育委員會制定，1990年4月第2版），大綱中的“教學目的”中指出“培養(yǎng)學生的運算能力”，依據(jù)這一大綱的《普通高等學校招生統(tǒng)一考試數(shù)學科考試大綱》指出數(shù)學科的考試，按照“考查基礎知識的同時，注重考查能力”的原則，考查考生的“運算能力”，特別地在“能力要求”中對“運算能力”做了如下說明：“會根據(jù)概念、公式、法則進行數(shù)、式、方程的正確運算和變形;能分析條件，尋求與設計合理、簡捷的運算途徑;能根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進行估計和近似計算。”

相應的數(shù)學科《考試說明》對復數(shù)運算這一內容的“考試要求”是“掌握復數(shù)的運算法則，能正確地進行復數(shù)代數(shù)形式的加法、減法、乘法、除法的運算，能正確地進行復數(shù)三角形式的乘法、除法、乘方、開方的運算，并理解復數(shù)運算的幾何意義”，這里明確提出了對復數(shù)的三角形式運算的要求。

[例3]1994年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學（理工農(nóng)醫(yī)類）第三大題解答題第21題：

本小題考查共軛復數(shù)、復數(shù)的三角形式等基礎知識及運算能力。

4.《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》（中華人民共和國教育部制定，2003年4月第1版）的第二部分“課程目標”中對數(shù)學運算能力的要求是“提高空間想象、抽象概括、推理論證、運算求解、數(shù)據(jù)處理等基本能力”。

對“運算能力”提出了詳細的考試要求是“努力培養(yǎng)學生的思維能力，包括：空間想象、直覺猜想、歸納抽象、符號表達、運算求解、演繹證明、體系構建等諸多方面，能夠對客觀事物中的數(shù)量關系和數(shù)學模式做出思考和判斷”。

依據(jù)國家教育部2002年頒布的《全日制普通高級中學課程計劃》和《全日制普通高級中學數(shù)學教學大綱》編寫的《普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱》指出：數(shù)學科的考試，按照“考查基礎知識的同時，注重考查能力”的原則，確立以能力立意命題的指導思想，將知識、能力與素質的考查融為一體，全面檢測考生的數(shù)學素養(yǎng)，在其“能力要求”中也對“運算能力”進行了說明：“會根據(jù)法則、公式進行正確運算、變形和數(shù)據(jù)處理;能根據(jù)問題的條件和目標，尋找與設計合理、簡捷的運算途徑;能根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進行估計和近似計算，運算能力是思維能力和運算技能的結合，運算包括對數(shù)字的計算、估值和近似計算，對式子的組合變形與分解變形，對幾何圖形各幾何量的計算求解等，運算能力包括分析運算條件、探究運算方向、選擇運算公式、確定運算程序等一系列過程中的思維能力，也包括在實施運算過程中遇到障礙而調整運算的能力以及實施運算和計算的技能”。

依據(jù)中華人民共和國教育部2003年頒布的《普通高中課程方案（實驗）》和《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》編寫的《普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱》中，在考查考生“運算求解能力”的同時，增加了考查考生“數(shù)據(jù)處理能力”。

對“運算求解能力”的要求為“會根據(jù)法則、公式進行正確運算、變形和數(shù)據(jù)處理，能根據(jù)問題的條件，尋找與設計合理、簡捷的運算途徑，能根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進行估計和近似計算，運算求解能力是思維能力和運算技能的結合，運算包括對數(shù)字的計算、估值和近似計算，對式子的組合變形與分解變形，對幾何圖形各幾何量的計算求解等，運算能力包括分析運算條件、探究運算方向、選擇運算公式、確定運算程序等一系列過程中的思維能力，也包括在實施運算過程中遇到障礙而調整運算的能力”。

[例4]2006年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學第（4）題：

若考生能夠知曉共軛復數(shù)的乘積是實數(shù)，則有m²=1且m=-1.選B，對“運算求解能力”的要求減少了“實施運算和計算的技能”，體現(xiàn)了考生對“數(shù)學模式作出思考和判斷”。

5.《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》（中華人民共和國教育部制定，2017年4月第1版）的“學科核心素養(yǎng)與課程目標”，對“數(shù)學運算”能力的要求：數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng)，主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等。

數(shù)學運算是解決數(shù)學問題的基本手段，數(shù)學運算是演繹推理，是計算機解決問題的基礎。

數(shù)學運算主要表現(xiàn)為：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，求得運算結果。

通過高中數(shù)學課程的學習，學生能進一步發(fā)展數(shù)學運算能力;有效借助運算方法解決實際問題;通過運算促進數(shù)學思維發(fā)展，形成規(guī)范化思考問題的品質，養(yǎng)成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神。

[例5]廣西2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學試題第（2）題：