磁耦合諧振式無線能量傳輸技術效率分析

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0 引言

無線能量傳輸是利用某種介質（電磁場、激光、超聲波等）替代導線進行能量傳遞的一種技術。無線能量傳輸技術由于采用非接觸式傳輸能量，彌補了傳統直接接觸式能量傳輸方式的弊端，具有很多優點。

近幾年，隨著新的研究方法的應用及新理論的突破，無線輸電技術越來越受到人們的關注。文獻[1]介紹，2007 年7 月6 日，基于電磁諧振原理成功地“隔空”點亮了離電源2 m 多遠處的一個60 W 燈泡。在該實驗中，發射器發射的能量有40%～50%傳輸到負載，無線傳輸裝置工作的有效距離最遠達到2.74 m。實驗的依據是2 個具有相同諧振頻率的物體能夠耦合，而與環境中的其他非諧振物體的相互作用很小，它的理論分析框架是“耦合模理論”。通過理論與實驗驗證，實現了中距離高效率的無線電能傳輸，這引起了全球的廣泛關注，再一次掀起了對于無線電能傳輸技術的研究熱潮。

目前，根據無線能量傳輸原理，可將其按傳輸方式分為三類[2-7]：電磁感應式無線能量傳輸技術、輻射式無線能量傳輸技術和磁耦合諧振式無線能量傳輸技術。

而新型的磁耦合諧振式無線能量傳輸技術是利用2 個具有相同特定諧振頻率的電磁系統在相距一定的距離時，由于電磁耦合產生諧振，進行能量傳遞。一般來說，2 個有一定距離的電磁系統，相互之間是弱耦合；但若2 個系統的固有諧振頻率相同，則會產生強磁諧振；如果一方不斷為系統提供能量，而另一方消耗能量，則實現了能量的傳輸。由于采用共振原理[8-9]，與共振系統以外的物體之間相互作用很小，所以磁耦合諧振式無線能量傳輸技術是世界上無線輸電領域的前沿課題。雖然目前國內外無線電能傳輸系統的產品已進入產業化階段，但遠距離、大功率以及高效率的產品尚處于基礎理論和實驗研究階段，若能研究出集安全、遠距離、大功率及高效率于一體的傳輸裝置，則該技術應用前景將會更加巨大。本文主要研究基于磁耦合諧振的無線能量傳輸系統基本原理并建立無線能量傳輸的系統模型，確定數學模型，推導出系統效率表達式；通過MATLAB/Simulink 仿真討論系統傳輸效率的影響因素，為后續實驗研究提供一定的參考。

1 磁耦合諧振式無線電能傳輸系統建模

線圈的等效電路是建立系統等效電路的基礎。本節建立通入高頻電流后的線圈等效電路模型，并確定各參數的計算方法，從而建立系統等效電路。

1.1 線圈等效電路

設線圈匝數為N，線圈半徑為r，線徑為a，當其中通過角頻率為ω 的交流電時，可將其等效為如圖1 所示的電路[10]。

圖1 線圈等效電路模型

線圈的電參數可分為電感量L，線路損耗R以及分布電容C。其中以電感量為主要參數，在實際應用中要盡量減小損耗R；分布電容往往較小，只有在較高頻時才較為顯著。在采用集總參數進行計算時，也可將圖1 的電路簡化為電感與電阻的串聯電路。

改變線圈形狀（如方形、螺旋形等）、匝數、線圈材質以及線徑，即可改變等效電路中的各參數，同時影響到交流電產生的磁場分布，其等效電感與等效電容根據電磁理論可分別通過式（1）、式（2）計算[11]：

式中：μ0為真空磁導率；J（s）和J（s′）分別為場點和源點的空間電流密度；P（s）和P（s′）分別為場點和源點的電壓密度；ε0為真空介電常數；s 為場點到坐標原點的距離；s′為源點到坐標原點的距離；I0為電流強度；q0為點電荷。但是利用這種方法往往難于計算，對于特定形狀線圈可通過經驗公式進行簡化運算。本文僅對多匝圓形線圈進行各個參數的計算。

對于N 匝線圈可通過式（3）計算電感：

對于高頻下的線圈而言，電路中電阻可分為兩部分，一部分是電流流經線圈時發熱造成的電阻熱損耗；另一部分是交變電流產生交變電磁場，類似天線一樣，線圈會向外輻射電磁能，造成能量損失，此損耗亦可通過阻抗形式表現計算，稱為輻射電阻。

考慮到集膚效應，損耗電阻計算表達式為[12]：

輻射電阻計算表達式為[11]：

式中：σ 為電導率；λ 為電磁波波長；l 為線圈長度。取N=4，r=0.2 m，輻射電阻Rard=97（f/108）4，當f=1 MHz 時，Rard=0.97×10-6Ω；當f=10 MHz時，Rard=9.7×10-3Ω；當f=50 MHz 時，Rard=6 Ω；當f=100 MHz 時，Rard=97 Ω。可見，頻率越高，線圈的輻射性越大，所以在通信領域，一般頻率都很高。由于本系統在實際運行中頻率范圍為1～10 MHz，輻射電阻非常小，因此相對線路損耗電阻往往可以忽略[13]。

1.2 系統等效電路

在2 個線圈形成的共振系統中，通過磁場共振，可以實現線圈之間的能量傳遞。利用線圈的電感與分布電容或是外加電容可以形成諧振回路。發射線圈與接收線圈設計為相同結構，即使參數不完全相同，通過電容補償，接收線圈的自諧振頻率與發射線圈也保持一致。發射裝置與接收裝置中電感與電容均可為串聯諧振或并聯諧振電路。

圖2 串聯模式的磁場諧振耦合系統

串聯模式的磁耦合諧振式無線電能傳輸裝置系統模型如圖2 所示。其中，高頻電源產生與發射裝置所需的諧振頻率相同的正弦電流，并向發射裝置提供能量。高頻電流流經發射線圈時，在其周圍產生與電流相同頻率的交變磁場，從而在接收線圈中感應生成相同頻率的電流。由于接收線圈的自諧振頻率與產生的感應電流頻率相同，從而接收線圈發生自諧振，同樣在接收線圈周圍產生交變的磁場，此磁場與發射線圈產生的磁場疊加，兩線圈之間通過磁場建立耦合關系，發射線圈與接收線圈形成共振系統，能量由發射線圈源源不斷傳遞到接收線圈，為了保證磁場可以盡可能穿過接收線圈，兩線圈應同軸。

由于本文中關注的是能量從發射線圈到接收線圈之間的轉換效率，不考慮電源部分的損耗，因此在下面的分析中，將電源假想為理想電源，無損耗，那么就可以將系統中的功率分為3 部分：發射端的損耗功率PT，接收端的損耗功率PR，負載消耗功率PL，由此可以得出系統傳輸效率表達式為：

式（6）適用于各種耦合系統，由式（6）可知，提高耦合系數與損耗率的比例，有助于提高系統傳輸效率，但并不能得出影響效率的具體因素。下面從等效電路模型著手對其效率進行深入分析。

首先建立系統的等效電路模型[14]。1.1 小節已建立單個線圈模型，為便于計算，在以下分析中，采用集總參數，不考慮雜散參數，因此線圈等效為一個電感與電阻的串聯，通過外加電容形成諧振電路。本系統利用共振原理使發射線圈、接收線圈達到自諧振。其等效電路模型如圖3 所示。

圖3 等效電路模型

圖3 中，US表示高頻電源；Rt，Rr分別為發射線圈、接收線圈等效電阻；Lt，Lr為分別為發射線圈、接收線圈等效電感；Ct，Cr分別為發射線圈、接收線圈等效外加電容；RL為負載電阻；d為兩線圈之間的距離。

1.3 系統傳輸效率的影響因素

設發射線圈、接收線圈匝數分別為nt和nr，半徑分別為rt和rr，兩線圈各參數可一致，也可不同。

發射線圈與接收線圈阻抗分別為：

兩線圈之間會產生互感，軸心線同軸時其值可近似計算為[15]：

當線圈參數一致時，rt=rr=r，D=。

由此可計算兩線圈中電流：

進一步可得到效率計算表達式：

當兩線圈發生共振時，因為各個線圈自諧振，可得：

下面就從多個方面分析影響效率的因素，為便于分析，以下的運算中，認為發射線圈、接收線圈各參數一致，即Rt=Rr=R0。假設線圈參數、電流頻率與傳輸距離保持不變，則存在唯一變量RL，很容易求得最大效率條件：

此時最大效率表達式為：

最大效率條件也稱為阻抗匹配，最優阻抗值取決于線圈阻抗損耗以及互感、頻率的大小，可見，在R0較小而ωM 較大即強耦合時，其最大效率可接近100%。通過對線圈選用合適的材料、尺寸，線路損耗R0往往相對負載較小，因此效率表達式可進一步近似為：

將互感表達式帶入式（16）可得：

由式（16）、式（17）知，除負載之外，影響系統效率的因素主要有系統頻率、線圈匝數、線圈半徑、線圈線徑（線圈損耗電阻）以及傳輸距離[16-17]。下面分析每個因素的影響效果[18-19]。

（1）由式（16）可知，當負載相對線路損耗較大時，負載電阻越大，系統的傳輸效率越低。

（2）隨著傳輸距離d 的增大，耦合系數減小，傳輸效率也降低。D6=r6（1+d2/r2）3，固定線圈半徑不變，改變傳輸距離。當d/r=1 時，D=8r6；當d/r=2時，D=125r6；當d/r=3 時，D=1 000r6。可見，隨著傳輸距離的增加，尤其在傳輸距離為半徑的2 倍之后，距離的變化會對效率產生較大的影響。

（3）當頻率以及距離一定時，對效率影響較大的參數就是線圈的線徑以及匝數。線圈的線徑主要影響線圈損耗電阻，受集膚效應的影響，線圈中電流主要分布在線圈表層，線徑越大，線圈截面積越大，損耗電阻越小。由式（17）可知，K值的大小與匝數的4 次方、半徑的8 次方成正比，這2 個參數的變化會明顯改變K 值，繼而影響效率。可見，增加線徑和匝數是最為有效的提高效率的辦法。

（4）由式（17）可知，提高系統頻率也有利于提高傳輸效率。對于串聯線圈模型，其固有諧振頻率值取決于線圈等效電感以及外加串聯電容，其關系為f0=1/2π，所以對于不同的線圈，可以利用不同的外加補償電容來實現頻率的一致。

（5）從效率表達式中不能明顯地看出線圈位置對于系統傳輸效率的影響。基于磁耦合諧振的無線能量傳輸依靠的是磁場這一介質，這個磁場由發射線圈與接收線圈共同產生的。由于磁場不是均勻分布在空間中，2 個線圈的位置必然影響到系統的傳輸效果。對于圓形線圈，磁場主要分布在線圈中心軸線上，因此，發射線圈與接收線圈平行同軸更有利于能量的傳輸。

2 MATLAB/Simulink 仿真分析

2.1 負載大小對效率的影響

由式（16）可知，負載電阻相對線路損耗較大時，負載電阻越大，系統的傳輸效率越低。現利用MATLAB/Simulink 對負載變化時的系統進行仿真，分析其效率，驗證理論分析的正確性。

取線圈半徑r=20 cm，線徑a=1.4 mm，線圈匝數N=4，外加電容C=1.0 nF。

根據式（3）—式（5）和式（9），計算得線圈電感值：

線圈損耗電阻：

輻射電阻：

接收線圈與發射線圈之間的互感：

由此得到不同傳輸距離d 對應的M 值，如表1 所示。

表1 不同傳輸距離d 對應的互感M 值

由ω0=得電源頻率f=0.945 9 MHz，仿真電源電壓峰值取100 V。

當傳輸距離d=30 cm，負載RL變化時，系統傳輸效率η 的理論值和仿真值如表2 所示，轉換成效率曲線如圖4 所示。

表2 負載變化時效率的理論值與仿真值

圖4 負載變化時效率的理論值和仿真值曲線

由圖4 可知，負載變化時，傳輸效率的理論值和仿真值具有很好的一致性，尤其是在負載電阻相對較大時，仿真結果驗證了理論分析的正確性。另外，從圖4 中還可以明顯看出負載對效率的影響關系，即負載電阻越大，系統效率越低。

2.2 傳輸距離對效率的影響

由式（16）知，隨著傳輸距離的增大，由于耦合系數減小，系統的傳輸效率也降低。尤其在傳輸距離為半徑的2 倍之后，距離的變化會對效率產生較大的影響。現對傳輸距離變化時的系統進行仿真，分析其傳輸效率，驗證理論分析的正確性。

假設其他因素不變，改變系統傳輸距離，仿真時即是改變線圈間的互感M。負載RL取10 Ω，傳輸距離d 變化時，系統傳輸效率η 的理論值和仿真值結果如表3 所示，轉換成效率曲線如圖5所示。

表3 傳輸距離變化時效率的理論值與仿真值

圖5 傳輸距離變化時效率的理論值與仿真值曲線

由圖5 可知，傳輸距離變化時系統傳輸效率的理論值和仿真值具有很好的一致性，尤其是在傳輸距離較大時，仿真結果驗證了理論分析的正確性。另外，由圖5 還可以明顯地看出傳輸距離對系統傳輸效率的影響關系，即傳輸距離越大，系統的傳輸效率越低，特別是在傳輸距離大于2倍線圈半徑時，系統傳輸效率下降尤其明顯。

2.3 系統頻率對效率的影響

系統頻率對效率的影響分為系統電源頻率與系統自然諧振頻率相同和不同2 種情況。

2.3.1 電源頻率與系統自然諧振頻率相同

取線圈半徑r=20 cm，線徑a=1.4 mm，線圈匝數N=4。通過改變外加電容的值改變系統自然共振頻率。傳輸距離取40 cm，負載RL取30 Ω，電源電壓峰值為100 V，電源頻率同系統自然諧振頻率。不同外加電容時諧振頻率值見表4。

表4 不同外加電容時諧振頻率

諧振頻率變化時效率的理論值與仿真值如表5 所示，轉換成效率曲線如圖6 所示。

表5 諧振頻率變化時效率的理論值和仿真值

由圖6 可知，傳輸距離變化時系統傳輸效率的理論值和仿真值具有非常好的一致性，仿真結果驗證了理論分析的正確性。另外，從圖6 中還可以明顯地看出系統頻率對系統傳輸效率的影響關系，即系統頻率越大，系統的傳輸效率越高。

圖6 諧振頻率變化時效率的理論值和仿真值曲線

2.3.2 電源頻率與系統自然諧振頻率不同

取線圈半徑r=20 cm，線徑a=1.4 mm，線圈匝數N=4。外加電容的值取1 nF，系統的自然諧振頻率固定為0.945 9 MHz。傳輸距離取40 cm，負載RL取30 Ω，電源電壓峰值取100 V。

仿真時改變系統電源頻率，經過仿真與計算，得到不同電源頻率時傳輸效率的仿真值如表6 所示，轉換成效率曲線如圖7 所示。

表6 系統電源頻率變化時效率的仿真值

圖7 電源頻率變化時系統傳輸效率仿真值曲線

由圖7 可知，電源頻率變化時，傳輸效率變化十分明顯。圖7 中效率極大值點是電源頻率與系統自然諧振頻率相等時取得。當電源頻率與系統自然諧振頻率不等時，兩者之差有些微小變化，傳輸效率就急劇下降。所以，系統運行過程中保持電源頻率與諧振頻率相等是十分必要的。

2.4 線圈尺寸對效率的影響

線圈尺寸參數包括線圈形狀、線圈半徑、線圈匝數、線圈材料、線徑以及線圈實現方式（單股、多股并聯）等。線圈形狀影響了磁場的分布情況及電感，線圈材料以及線圈實現方式會影響線圈等效阻抗（線圈的電路品質因數）。前文1.4 小節的理論分析均是基于單股多匝圓形線圈模型，所以仿真中只討論線徑、線圈半徑以及線圈匝數對系統傳輸效率的影響。

2.4.1 線圈匝數、半徑及線徑對線圈參數的影響

保持頻率為0.945 9 MHz 不變，線圈半徑r=20 cm，線徑a=1.4 mm，改變線圈匝數N。改變線圈匝數會改變線圈電感，因此要進行電容匹配。傳輸距離取40 cm，線圈匝數變化時各相關參數變化情況如表7 所示。

表7 線圈匝數變化時各相關參數值

保持頻率為0.945 9 MHz 不變，線圈線徑a=1.4 mm，線圈匝數N=4，改變線圈半徑r。改變線圈半徑會改變線圈電感，因此要進行電容匹配。傳輸距離取40 cm，線圈半徑變化時各相關參數變化情況如表8 所示。

表8 線圈半徑變化時各相關參數值

當保持頻率為0.945 9 MHz 不變時，取線圈半徑r=20 cm，線圈匝數N=4，改變線圈線徑a。改變線圈線徑會改變線圈損耗電阻，因此要進行電容匹配。傳輸距離取40 cm，線圈匝數變化時各相關參數變化情況如表9 所示。

表9 線圈匝數變化時各相關參數值

2.4.2 線圈參數對效率的影響

負載RL取30 Ω，電源電壓峰值為100 V。通過仿真與計算，線圈匝數N 變化時效率的理論值與仿真值如表10 所示，線圈半徑r 變化時系統的傳輸效率的理論值與仿真值如表11 所示，線圈線徑a 變化時效率的理論值與仿真值如表12 所示。

表10 線圈匝數變化時效率的理論值與仿真值

表11 線圈半徑變化時效率的理論值與仿真值

由表10—表12 可知，線圈匝數變化時，系統傳輸效率的理論值和仿真值具有非常好的一致性，仿真結果驗證了理論分析的正確性。另外，從表10還可以明顯地看出線圈匝數對系統傳輸效率的影響關系，即線圈匝數越多，線圈半徑越大，線圈線徑越大，系統的傳輸效率越高。因此，改變線圈參數可以明顯提高傳輸效率。

3 結語

本文詳細分析了磁耦合諧振式無線電能傳輸技術的機理，對其模型進行了分析，并建立系統等效模型，得到系統傳輸效率公式，從而得出了影響系統傳輸效率的因素，包括：負載阻抗、系統頻率、線圈線徑、線圈半徑、線圈匝數、線圈位置和傳輸距離。根據理論分析得到影響效率的各個因素，通過MATLAB/Simulink 逐一仿真驗證了這些因素對效率的影響效果，為后續研制遠距離、大功率及高效率的無線電能傳輸系統提供理論依據和發展方向。