功能梯度壓電層/壓電半空間結構中Love 波的傳播：一種改進的拉蓋爾多項式方法

張朋威，禹建功，張小明，張 博

(河南理工大學機械與動力工程學院，河南焦作454000)

關鍵字：功能梯度材料；拉蓋爾多項式；Love 波；位移分布；應力分布

0 引 言

功能梯度壓電材料(Functionally Graded Piezoelectric Materials, FGPM)可實現機械能與電能的轉化，通過調整材料組成使其梯度化，可使壓電系數獲得最恰當分配以達到提高壓電器件性能及壽命的目的，被廣泛應用于電氣、機械、通信、光學、核能、化學、生物醫學和土木工程等領域。而Love 波作為水平剪切(Shear Horizontal, SH)波的一種，其剪切極化和聲能量集中在表面附近的幾個波長以內，可以利用Love 波的這種特性與壓電材料來制作Love 波傳感器[1]，Love 波傳感器是通過在水平切變表面波器件表面覆蓋薄層波導及超薄金屬催化膜得到，其聲波能量集中在薄層波導內，因此Love 波傳感器能非常敏感地反映環境的擾動與變化。而Love 波在不同結構中傳播特性的研究可為Love 波傳感器研制提供理論依據[2]。因此，越來越多的國內外學者使用不同的方法和模型研究了FGPM 半空間結構中Love 波的傳播特性。例如WKB 法[3]、貝塞爾函數法[4]、冪級數法[5]、剛度矩陣法[6]及正交多項式方法[7]等。

正交多項式方法于1972 年由Maradudin 等[8]提出，并使用拉蓋爾多項式方法研究了半無限體中的波傳播；之后，該方法被用來解決各種波和振動的問題，從均勻和層狀結構中的表面波[9]到非均勻半空間結構中的表面波[10]。該方法有兩個主要特點：(1) 利用正交多項式擴展的每個位移分量來計算整個空間的運動方程，將運動方程轉化為矩陣求解特征值問題；(2) 通過假定與位置有關的材料常數可直接把邊界條件納入到運動方程中，極大地簡化了邊界問題的處理過程。

傳統的拉蓋爾多項式方法用一種展開的多項式處理波傳播問題，只能確保位移和電勢在整個結構中是連續的，但由于兩個相鄰層的材料常數不同，必將產生不連續的應力和電位移分布。為了克服此方法的不足，本文提出了一種改進的拉蓋爾多項式方法。對于有限厚度的覆層，該方法將位移展開成勒讓德多項式級數，而在相對無限的半空間基體，將位移展開成拉蓋爾多項式級數。與傳統拉蓋爾多項式方法對比，該方法能夠得到連續的正應力和正電位移分布。分析了覆層梯度變化和波數變化對Love 波波動特性的影響。

1 基本方程及求解

基于三維線性壓電彈性理論，考慮一個帶有功能梯度壓電覆層的壓電半空間結構，其上表面自由，覆層厚度為h。采用笛卡爾坐標系(x, y, z)，如圖1 所示，原點設在材料的表面，材料的極化方向垂直于xOy 平面，波的傳播方向為y 方向，質點的振動方向為z，半空間的厚度方向為x 軸的正方向，覆層材料特性在厚度x 方向上發生梯度變化。

對于壓電但無磁化的電介質體，線性壓電的波動控制方程由式(1)中的運動方程和麥克斯韋方程組成：

本構方程和壓電方程分別為

幾何方程為

式(1)～(4)中：Tij和εkl分別應力和應變；Di和 Ek分別為電位移和電場強度；Φ 為電勢；ui為位移；Cijkl為彈性常數；ekij和∈ik分別為壓電常數和介電常數；ρ 為材料密度，下標中逗號表示對坐標的偏微分。

圖1 帶有功能梯度壓電覆層的壓電半空間結構Fig.1 Schematic diagram of piezoelectric half-space covered by a functionally graded piezoelectric layer

假設Love 波沿y 方向傳播，位移和電勢可表示為

將式(5)代入式(1)，可得到式(6)的運動方程：

功能梯度壓電材料的本構方程可寫為

考慮應力自由、電開路的邊界條件(Txz=0，Dx= 0，x=0 和x→∞處)，引入矩形窗函數θ (x)：

此函數的引入，直接在波動方程中解決了結構的邊界條件問題，具體證明見文獻[11]。

對于覆層，材料常數被寫成式(9)的形式：

在半空間基體，材料常數可表示為

對于帶有覆層的壓電半空間結構，Love 波的自由諧波解可以表示成如下形式：

式中：k 為波數；ω 為波的角頻率；V ( x) 為z 方向的振幅；X ( x )為電勢振幅。

將式(7)～(9)和式(10)～(11)代入式(6)，則得到位移、電勢表示的波動控制微分方程：

式中，上角標'和"表示對x 的一階和二階導數。

為了求解波動控制微分方程，傳統的拉蓋爾多項式方法把位移分量V(x)和X(x)都擴展成拉蓋爾多項式級數來處理層狀半空間結構。

式中： pm、rm是待定多項式系數；Tm( x) 是第m 階拉蓋爾多項式。

當兩個相鄰層的材料常數不同時，傳統拉蓋爾多項式方法只能保證連續的位移和電勢分布，必將產生不連續的應力和電位移分布。因此，本文提出一種改進的拉蓋爾多項式方法來處理帶覆層的半空間結構。在覆層，將V(x)和X(x)展開成勒讓德多項式級數，在半空間基體，將V(x)和X(x)展開成拉蓋爾多項式級數。

在覆層：

在半空間基體：

為了滿足界面處應力和電位移連續，位移和電勢表示為

在覆層：

在半空間基體：

把式(16)～(20)代到式(12)中，兩邊同時乘以Qj( x) 、 Lj( x)，j 從0～M，然后對x 從0～∞求積分，可以得到如式(21)的代數方程：

把式(21b)寫成：

將式(22)代入式(21a)得：

式(23)也可以表示為

2 數值算例及討論

在覆層，假設梯度材料有2 種組分組成，在計算FGPM 的等效參數時，使用混合率細觀力學模型，即：

這里Pi和Vi(x )分別代表第i 種材料的材料特性及體積含量，其中V1(x ) + V2(x)=1 ，由此可得：

梯度結構在厚度方向的組分變化規律可表示為

在半空間基體，假設材料是均勻的。

基于上述理論，分別開發了基于改進的拉蓋爾多項式方法和傳統的拉蓋爾多項式方法的Mathematica 程序，計算了帶有功能梯度壓電覆層的壓電半空間中Love 的波頻散、應力和電位移曲線。

為了驗證所提出方法的正確性，首先計算了帶有均勻壓電覆層的壓電半空間中Love 波頻散曲線，并與文獻[1]中WKB 法得到的頻散曲線結果進行比較。所用的材料參數可在文獻[1]找出。計算結果如圖2 所示，其中點線為改進的拉蓋爾多項式方法得到的結果，實線為WKB 方法得到結果。由圖2 可以看出，兩者的計算結果吻合。

圖2 帶有均勻壓電覆層的壓電半空間中Love 波頻散曲線Fig.2 Dispersion curves of Love waves in a piezoelectric half-space covered by a homogeneous piezoelectric layer

帶有功能梯度壓電覆層的壓電半空間結構，覆層上表面即x=0 處的材料為PZT-2，覆層下表面x=h=1 mm 處選用材料PZT-4，壓電半空間材料選用BaTiO3，簡寫為PZT-2/PZT-4/BaTiO3。相關的材料參數如表1 所示。梯度場函數選用這里n 分別取1、2 和3，

所得Love 波的頻散曲線如圖3 所示。可見，隨著梯度場函數的變化，即冪函數冪n(以下稱梯度指數n)的增加，Love 波的相速度變小，頻散越顯著。由方程(27)可知，隨梯度指數n 的增加，覆層上表面材料的體積含量增加。而PZT-2 材料體波波速小于PZT-4 材料的波速，因此，隨著梯度指數n 的增加，Love 波的相速度值變小。

表1 計算所用的材料參數Table 1 Material parameters used in the computation

圖3 不同n 值的Love 波頻散曲線Fig.3 Dispersion curves of Love waves for different values of n

為了分析改進的拉蓋爾多項式方法和傳統拉蓋爾多項式方法的區別，當覆層梯度指數n=1、k=2時， 分別使用兩種多項式方法計算了PZT-2/PZT-4/BaTiO3半空間中Love 波第一階模態的相對應力和相對電位移分布，如圖4、5 所示。圖4、5 中曲線進行了正則化(Tyz0和Dy0分別表示應力Tyz和電位移 Dy在x=0 處的值)處理。結果顯示，使用傳統拉蓋爾多項式方法求得的正應力Txz和正電位移Dx在覆層和基體的交界(x=h=1 mm)處是不連續的，而且它們在覆層表面(x=0)處不為0，這與所假設的應力邊界條件不符合。而改進的拉蓋爾多項式方法能夠很好地克服傳統拉蓋爾多項式方法的這些不足。

為分析高頻處帶有梯度壓電覆層的壓電半空間結構中Love 波的應力和電位移分布，計算了一種覆層梯度指數n=1 時，結構中Love 波的應力和電位移分布。覆層上表面x=0 處的材料為PZT-2，覆層下表面x=h 處的材料為PZT-4，壓電半空間的材料為BaTiO3，簡寫為PZT-2/PZT-4/BaTiO3。圖6 為在大波數k=20 時，梯度覆層半空間結構的相對應力和相對電位移分布。由于材料中的波速PZT-2＜PZT-4＜BaTiO3，如圖6 所示，對于帶有梯度壓電層的壓電半空間結構，高頻Love 波的應力和電位移主要分布在功能梯度壓電層中材料波速低的一側。因此，可通過調節頻率和覆層半空間材料組成，控制波的應力和電位移分布。

圖4 k=2 時，Love 波第一階模態的相對應力分布Fig.4 Relative stress profiles of the first order mode of Love waves at k=2

圖5 k=2 時，Love 波第一階模態的相對電位移分布Fig.5 Relative electric displacement profiles of the first order mode of Love waves at k=2

圖6 k=20 時，PZT-2/ PZT-4/ BaTiO3 半空間中Love 波第一階模態的相對應力和相對電位移分布Fig.6 Relative stress and relative electric displacement profiles of the first order mode of Love waves in PZT-2/PZT-4/BaTiO3 half-space at k=20

3 結 論

由于傳統拉蓋爾多項式方法在求解層狀半空間結構的波傳播問題時存在局限性，本文提出一種改進的拉蓋爾多項式方法用于研究在功能梯度壓電層狀半空間結構中的表面波傳播。由以上分析可以得到以下幾點結論：

(1) 與已有文獻結果比較，證明了改進的拉蓋爾多項式方法的正確性。該方法能克服傳統的拉蓋爾多項式方法因層間材料差異所造成的波應力、電位移不連續的現象。

(2) 對于帶有梯度壓電覆層的壓電半空間結構，Love 波頻散曲線隨著梯度指數n 的增加，相速度減小，頻散現象更明顯。

(3) 對于帶有梯度壓電覆層的壓電半空間結構，高頻Love 波的應力和電位移主要分布在功能梯度壓電層中材料波速較小的一側。

(4) 改進的拉蓋爾多項式方法還可以推廣應用于研究多覆層的壓電半空間、磁電半空間等結構上的表面波傳播特性。