從高觀點視域下擴展分析一道高中物理題

李博 王慶勇 侯恕

摘?要：阿特伍德機是高中物理典型的理想化模型，也是牛頓第二定律應用的典型實例.本文基于大學物理中質點運動學及剛體力學的知識，從“兩類十種”視角，解析“理想型”與“半理想型”阿特伍德機的物理規律.通過擴展分析一道典型的高中物理習題，引導中學物理教師要適時從高觀點的視域下看待高中物理知識及物理教學.

關鍵詞：阿特伍德機;高中物理習題;十種解題方法

文章編號：1008-4134（2020）05-0059中圖分類號：G633.7文獻標識碼：B

基金項目：吉林省高等教育教學改革重點項目“基于‘問題-實踐-反思教學模式的微格實踐教學體系的構建與改革研究”，2019;吉林省高等教育教學改革研究重點項目“高校通識教育改革的實踐研究——以D大學文科物理課程為個案”，2015.

作者簡介：李博（1996-），男，黑龍江哈爾濱人，碩士研究生，研究方向：物理課程與教學論;

王慶勇（1978-），男，山東嘉祥人，博士，講師，研究方向：非線性量子可積問題;

侯恕（1965-），女，吉林九臺人，博士，副教授，研究方向：物理課程與教學論.

本文從大學物理中質點運動學及剛體力學的視角，運用“兩類十種”分析方法，全面地解析阿特伍德機這一物理模型，能為解決此類問題提供一套比較系統的物理分析思路.

1?經典試題

例題?如圖1，一根細繩跨過輕而無摩擦的滑輪，在繩的兩端懸掛質量分別為M=2kg和m=1kg的物體，滑輪系在由天花板垂下的鏈子OA上.試求：當兩物體勻加速運動時：

（1）細繩的拉力T;（2）鏈子OA的拉力F.（g取10m/s2）

【常規解答】

（1）選取豎直向下為正方向，根據牛頓第二定律

對M分析，有?Mg-T1=Ma1

對m分析，有?mg-T2=-ma2

由題意可知，忽略滑輪轉動及系統的摩擦，則有

a1=a2=a，T1=T2=T

解得：a=M-mM+mg=13g，T=2MmM+mg=43mg=403N

（2）對鏈子OA進行分析，根據物體的平衡有

F-2T=0

解得?F=2T=803N

分析：本題是高中物理力學部分牛頓第二定律的典型應用實例，難易程度屬于中等.選定參考系及規定正方向后，通過對系統中的兩物塊進行受力分析，可以列出其動力學方程，并根據題意，可忽略滑輪的轉動、繩子的質量及系統的摩擦.本題能較好地讓學生初步理解并應用牛頓第二定律，同時也能初步掌握?“輕繩”“輕質滑輪”這兩種理想化模型.

2?試題原型——阿特伍德機

例題中嵌套了一種典型的高中物理模型——阿特伍德機，所謂阿特伍德機，就是將兩質量分別為M、m的物體系于一條跨過定滑輪輕質軟繩的兩端，這樣就組成了阿特伍德機[1]，如圖2所示.

若兩物體的質量滿足M>m，將兩物體由靜止釋放，那么質量為M的物體豎直向下運動，質量為m的物體豎直向上運動，兩物體的加速度大小均為a，定滑輪沿逆時針旋轉.

阿特伍德機是英國劍橋大學阿特伍德為驗證牛頓第二定律所設計的一個滑輪裝置，是可以驗證較多牛頓力學定理的典型模型之一[2].阿特伍德機之所以重要，不僅是因為其在高中物理力學體系中具有基礎性、典型性等特點，還因為其在科學研究中可以驗證許多牛頓力學定律，例如牛頓第二定律、動量定理、確定重力加速度等[3].

3?“兩類十種”解題方法

3.1?第一類：“理想型”阿特伍德機的分析

“理想型”阿特伍德機，即忽略滑輪的轉動、繩子的質量及系統的摩擦.

在這種物理情境中，以地面為參考系，兩物體的速度關系為v=v1=-v2，加速度關系為a=a1=-a2，繩的張力關系為T=T1=T2.

【視角1】從牛頓第二定律角度分析（如圖3）.

定理?F外=mdv→dt=ma→.

分析：選取豎直向下為正方向，對M分析，有

Mg-T=Ma

對m分析，有?mg-T=-ma

解得?a=M-mM+mg?T=2MmM+mg

【視角2】從質點運動學角度分析（如圖4）.

定理?v→=dx→dt=x→·，a→=dv→dt=d2x→dt2=v→·=x→··.

分析：以定滑輪圓心為零點，選取豎直向下為正方向，并設繩長為l.

對M分析，有?Mg→+T=Ma→1

對m分析，有?mg→+T=ma→2

繩長為固定值，則有?x1+x2+πR=l

兩側對時間求二階導數，有?x··1+x··2=0，即

a→1+a→2=0

解得?a→1=M-mM+mg→，a→2=m-MM+mg→，T=-2MmM+mg→

【視角3】從質點系動量定理角度分析（如圖5）.

定理?∑F外=dPdt.

分析：將兩物體看成研究對象，并選取豎直向下為正方向x→，質點系的合外力為

∑F外=（M+m）g→+2T=（Mg+mg-2T）x→

質點系的總動量為

P=Mv→1+mv→2=（Mv-mv）x→

由質點系動量定理，在x→方向有

（Mg+mg-2T）=ddt（Mv-mv）

其中?dvdt=a

另對M分析，有?Mg-T=Ma

解得?a=M-mM+mg

【視角4】從質點系角動量定理角度分析（如圖6）.

定理?∑M外=dJdt.

分析：將兩物體、繩及地球看成系統，取豎直向下x→、垂直紙面向外z→為正方向，取定滑輪軸O為參考點，懸掛定滑輪的拉力對O點的力矩

M外1=0

兩物體重力對O點的力矩

M外2=r→1×Mg→+r→2×mg→=（MgR-mgR）z→

質點系對O點的角動量

J→=r1→×Mv→1+r→2×mv→2=（Mrv+mRv）z→

由質點系角動量定理，有

（MgR-mgR）=ddt（MRv+mRv）

其中，dvdt=a

解得?a=M-mM+mg

【視角5】從質點系動能定理角度分析（如圖7）.

定理?dEk=∑δA內+∑δA外（微分形式），Ek2-Ek1=∑A內+∑A外（積分形式）.

分析：系統所受外力僅為重力，對兩物體的元功為dA外=Mgdh+mg（-dh）

將兩物體看成一組質點系，其動能的增量為dEk=d[12（M+m）v2]

由質點系動能定理，得

Mgdh-mgdh=d[12（M+m）v2]

兩側對時間進行求導，得

Mgdhdt-mgdhdt=ddt[12（M+m）v2]

其中?dhdt=v?dvdt=a

解得?a=M-mM+mg

【視角6】從質點系機械能守恒定律角度分析（如圖8）.

定理?對于保守系，dAD外=0，d（Ek+Ep）=0，Ek+Ep=常量E.

分析：將兩物體、繩及地球看成系統，重力則為保守內力，并取地面為零勢能面，質點系的動能為

Ek=12（M+m）v2

質點系的勢能為?Ep=Mgh1+mgh2

由質點系機械能守恒定律，得

12（M+m）v2+（Mgh1+mgh2）=C

兩側對時間求導，得

（M+m）vdvdt+（Mgdh1dt+mgdh2dt）=0

其中?-dh1dt=dh2dt=v，dvdt=a.

解得?a=M-mM+mg

3.2?第二類：“半理想型”阿特伍德機的分析

“半理想型”阿特伍德機，即只考慮滑輪的轉動，忽略繩子的質量及系統的摩擦.

在這種物理情境中，系統中的物體便不能僅被看成可以忽略轉動及其形狀、大小的“質點”模型了，還應考慮定滑輪本身的轉動對于系統的影響，即將定滑輪看成形狀和大小完全不變的物體——質量為M′的剛體.以地面為參考系，兩物體的速度關系為v=v1=v2，加速度關系為a=a1=-a2，繩的張力關系為T1≠T2.

【視角1】從牛頓第二定律+剛體定軸轉動定理角度分析（如圖9）.

定理?∑F外=mdv→dt=ma→，∑M外∥=dJ∥dt=Iβ→.

分析：取豎直向下、垂直紙面向外為正方向，

對M分析，有?Mg-T1=Ma

對m分析，有?mg-T2=-ma

對定滑輪分析，有?∑M外=∑（r→×F）=（T1R-T2R）z→=Iβz→

其中，定滑輪的轉動慣量I=12M′R2，

a=dvdt=d（ωR）dt=Rdωdt=Rβ

解得?T1=（M′+4m）MgM′+2（M+m），T2=（M′+4M）mgM′+2（M+m），

a=2（M-m）M′+2（M+m）g.

【視角2】從質點系角動量定理+剛體定軸轉動定理角度分析（如圖10）.

定理?M外=dJdt，J剛∥=Iω→.

分析：將兩物體、繩、定滑輪及地球看成系統，取豎直向下、垂直紙面向外為正方向，取定滑輪軸心O為參考點，

懸掛定滑輪的拉力對O點的力矩M外1=0

兩物體重力對O點的力矩

M外2=r→1×Mg→+r→2×mg→=（MgR-mgR）z→

滑輪重力對O點的力矩M外3=0

質點系對O點的角動量J→=r→1×Mv→1+r→2×mv→2+Iω→=（MRv+mRv+Iω）z→

由質點系角動量定理，在z→方向有

（MgR-mgR）=ddt（MRv+mRv+Iω）

其中，dvdt=a，dωdt=β，v=ωR，I=12M′R2

解得?a=2（M-m）M′+2（M+m）g

【視角3】從質點系動能定理+剛體平面平行運動角度分析（如圖11）.

定理?dEk=∑δA內+∑δA外（微分形式），Ek剛=12Iω2.

分析：系統所受外力僅為重力，對兩物體的元功為dA外=Mgdh+mg（-dh）.

將兩物體及定滑輪看成一組質點系，其動能的增量為

dEk=d[12（M+m）v2+12Iω2]

由質點系動能定理，得

Mgdh-mgdh=d[12（M+m）v2+12Iω2]

其中，ω=vR

代入，得?Mgdh-mgdh=d[12（M+m+IR2）v2]

兩側對時間進行求導，得

Mgdhdt-mgdhdt=ddt[12（M+m+IR2）v2]

其中，dhdt=v，dvdt=a，I=12M′R2

解得?a=2（M-m）M′+2（M+m）g

【視角4】從質點系機械能守恒定律+剛體平面平行運動角度分析（如圖12）.

定理?對于保守系，d（Ek+Ep）=0，Ek+Ep=常量E，Ek剛=12Iω2.

分析：將兩物體、繩、定滑輪及地球看成系統，重力則為保守內力，并取地面為零勢能面.

質點系的動能為?Ek=12（M+m）v2+12Iω2

質點系的勢能為?Ep=Mgh1+mgh2+M′gh

由質點系機械能守恒定律，得

[12（M+m）v2+12Iω2]+（Mgh1+mgh2+M′gh）=C

其中，ω=vR.代入，得

12（M+m+IR2）v2+（Mgh1+mgh2+M′gh）=C

兩側對時間求導，得

（M+m+IR2）vdvdt+（Mgdh1dt+mgdh2dt）=0

其中，-dh1dt=dh2dt=v，dvdt=a，I=12M′R2.

解得?a=2（M-m）M′+2（M+m）g

4?結束語

本文主要以阿特伍德機為研究對象，從“兩類十種”視角分析了“理想型”與“半理想型”阿特伍德機的物理規律，在高觀點的視域下歸納總結了阿特伍德機的各種計算方法.

總結來講，對于中學物理教師，不能將物理“知識”變為“知識點”，不能僅拘泥于一道高中物理題，要嘗試從大學物理的站位和角度來指導中學物理教學.

參考文獻：

[1]梁瑾靜，謝曉妹.?一種驗證動量定理的新方法[J].?實驗教學與儀器，2018（08）：32-33.

[2]陳鋼，晏世雷.?質點系中阿特伍德機對有關定理的檢驗意義[J].?物理與工程，2013，23（04）：14-15.

[3]王學軍.?阿特伍德機[J].?物理實驗，1988，8（02）：93-97.

[4]邱國民，葉玉琴.?一道選擇題的解法賞析[J].?物理通報，2011（09）：78-79.

[5]趙凱華，羅蔚茵.?新概念物理教程力學（第二版）[M].?北京：高等教育出版社，2012.

（收稿日期：2019-12-03）