概率論在實際生活中的應用和拓展

陳睿涵

（西北工業大學啟迪中學，陜西 西安710000）

1 概述

1.1 概率論的歷史和發展

最初的概率論起源于賭博問題，在十五世紀，意大利的數學家塔塔利亞和帕喬利等人都討論過兩個人之間的賭金分配問題，概率論最早的著作是由荷蘭數學家惠更斯撰寫的《論賭博的計算》，而這本著作也是當時概率論方面的最高著作，這也標志著概率論的的誕生，而概率論學科中的真正奠基人便是伯努利家族的雅克布伯努利，他在著作《猜度術》中提出了以“伯努利定理”著稱的極限定理，而這個定理在這之后的概率學發展中占據了重要的地位。而在伯努利之后，法國的數學家棣莫弗在之前的概率論基礎上提出了正態分布，以及概率乘法等規則，之后拉普拉斯，高斯等人都對概率論做出了進一步地深入研究工作，而拉普拉斯在他的著作《概率的分析理論》中以很強的分析工具來對概率論問題進行處理[1]。正是在這部著作中，他給出了古典化模型的定義，事件發生的概率等于該事件可能出現的所有結果數和試驗中可能的所有結果數之比。概率學再往后發展，便到了極限理論。俄國的數學家切比雪夫建立了關于獨立隨機變量的大數定律，而在這其中，泊松大數定律和伯努利定理變成了大數定律的特例。

1.2 隨機事件和概率

在概率學和現實生活中，很多事情是不斷發展并且相互聯系的，并且在這相互聯系的因果關系中，我們通過事件之間的因果關系可以將這些事件分為主要的兩大類。分別是確定性事件和不確定性事件。其中的確定性事件又包括必然事件和不可能事件兩種。如：太陽每天從東邊升起，從西邊落下，便是必然發生的事件，而公雞下蛋便是不可能事件。這就說明這些事件之間的聯系和結果是必然的。而對于不確定性事件，在一定的條件下的結果是不確定的。例如：明天下不下雨，或者說拋擲一枚硬幣，觀察其是否正面朝上，這都是在一定的條件下結果不確定的事件，我們在概率學中也稱之為隨機事件，這個現象我們也稱之為隨機現象。

概率：嚴格意義上指的是一個事件發生的可能性大小。如太陽從東邊升起的可能性便是100%，而從東邊落下的可能性便是0%。我們觀察可以得出，所有必然事件的發生概率皆為100%，不可能事件發生的概率為0%，而對于其他類事件諸如隨機事件。例如買東西買到次品，或者射擊打靶能否命中，都是既有可能發生也有可能不發生，所以它們的發生概率介乎于0%和100%之間，所以對于日常生活中的任何事件。我們都可以用概率模型來對它進行定量分析。概率學中的不確定性確實是亟需解決的麻煩，但這也是多數情況下解決問題的主要甚至是唯一的途徑。

2 概率在生活中的實際應用

本文通過研究概率及隨機事件在體育、金融、博彩、風險控制等行業的應用來探究實際生活中概率學的用途和優勢。

2.1 概率在體育中的應用

射箭比賽中采用的環靶的形狀是圓形，并且從內到外是由分別等寬的同心環組成，構成十個等寬的環區，環的中心位置我們稱之為環心，邊緣位置稱之為環邊，因此在射箭比賽中，我們把環心到環邊的十個環區分別記為十環、九環...一環，最終在比賽中擊中哪一環便得到哪一環的分數，對于射箭比賽我們的直觀理解為越靠近靶心擊中越難，得分越高，接下來，我們從概率學角度來研究不同分數的難易程度，我們假設箭靶呈圓形并且每個環的寬度相同，并且寬度設為r，我們采用幾何概型，其中十環的面積是πr^2 依此類托，從內往外，九環、八環....一環的面積依次為3πr^2、5πr^2....19πr^2。我們假設運動員在射箭途中不會脫靶，并且擊中靶上任何一個部位都為隨機的,所以由幾何概型的定義我們可以得出，對于任何一個射箭運動員來說，射中十環的概率是0.01，射中九環的概率是0.03，以此類推，射中八環七環...一直到一環的概率分別是0.05、0.07...0.19，所以從概率的角度來看，射中一環的概率最高，射中十環的概率最低，所以越靠近靶心的位置越難射中，相應的分數也會越高。

2.2 概率在金融方面的應用

設某基金公司分別投資三只獨立的股票，且投資這三只股票的概率分別是0.7，0.6 和0.4，求（1）其中任意兩只股票至少有一只獲利的概率。（2）投資三只股票至少有一只獲利的概率。

解答：設P(A)，P(B),P(C)分別表示三只股票獲利，并且A,B,C相互獨立，其中P(A) =0.7,P(B) =0.6，P（C）=0.4，對于問題（1）則其中任意兩只股票至少由一只獲利的概率為：P=P (AB+AC+BC)=P(AB)+P(AC)+P(BC)-2P(ABC)=P(A)*P(B)+P(A)*P(C)+P(B)*P(C)-2P(A)*P(B)*P(C)=0.7*0.6+0.7*0.4+0.6*0.4-2*0.7*0.6*0.4=0.604。

對于問題(2),三只股票至少有一只獲利的概率,P=P(A+B+C)=P (A)+P (B)+P (C)-P (AB)-P (AC)-P (BC)+P (ABC)=0.7+0.6+0.4-0.7*0.6-0.7*0.4-0.6*0.4+0.7*0.6*0.4 = 0.928。

或者從反面考慮，三只股票至少有一只股票獲利的反面是沒有一只獲利，P=1-P（ABC)=1-0.3*0.4*0.6=0.928。

綜合以上的計算結果，我們可以得出結論:投資于多個股票的獲利的概率大于投資于單個的股票的獲利概率，這也是常見的概率學投資方法。

2.3 概率在博彩方面的應用

我們采用對于國內最常見的福利彩票- 雙色球玩法進行概率學分析，其中雙色球兩塊錢一注，每注包括6 個紅色號碼球和1 個藍色號碼球，其中紅色號碼球的范圍實在1-33[2,3]，藍色號碼球的范圍是在1-16，而對于雙色球的獎金設置，彩票公司將獎金設置為彩票銷售額的50%，并且對于每注獲得的獎項進行分級，分別包括一等獎，二等獎一直到六等獎，而其中一等獎，二等獎屬于高等獎項，其余的屬于低等獎，高等獎的獎金采用浮動制，而低等獎的獎金采用固定制，當期高等獎金的金額等于當期的獎金（銷售額*50%）減去當期低等降級你的金額，而具體的中獎規則和獎金分布可以被詳細的描述為:

a.一等獎：中獎規則是抽中6 個紅色球和1 個藍色球，獎金大約為當期高等獎金的70%。

對應的概率為：

b.二等獎：中獎規則是抽中6 個紅色球，獎金大約是當期高等獎金的30%。

對應的中獎概率為

c.三等獎：中獎規則是抽中5 個紅色球和1 個藍色球，獎金為每一注3000 元。

對應的中獎概率為

d.四等獎，中獎規則是抽中5 個紅色球或者是4 個紅色球和1 個藍色球，獎金為每一注200 元。

對應的中獎概率為

e.五等獎：中獎規則是抽中4 個紅色球或者是3 個紅色球和1 個藍色球，獎金為每一注10 元。

對應的中獎概率

f.六等獎：中獎規則是抽中1 個藍色球（可以抽中2 個，1 個或者沒有抽中紅色球），對應的中獎概率。

而對應的不中獎概率為

對于上述問題，我們采用古典概型來計算不同獎項出現的概率，因為每一種獎項出現的結果都是有限個，并且每一個結果發生的可能性都是相同。

2.4 概率論在風險規避中的運用

對于在金融市場中的投資者來說，首先要考慮的目標并不是目標資產的盈利能力，而是如何才能夠合理地多樣化控制風險，因此規避風險是現代投資組合理論的核心內容，而概率論在資產組合理論中也起到了重要的作用[4]，我們從一個出售太陽鏡和雨傘的商家來考慮如何能夠合理地降低在售賣商品中可能出現的風險，我們不妨假設商家售賣的雨傘和太陽鏡的價格每件都是20 元，那么如果未來的天氣是晴天，則太陽鏡的價格便會大幅上升，因此太陽鏡的價格也會上漲到40 元每副，而雨傘的價格便會下跌到10 元每把，而如果未來的天氣是雨天，那么和晴天相反，雨傘的價格便會上漲到40 元，而太陽鏡的價格便會下跌到10 元，如果假設未來的天氣出現晴天和雨天的概率分別都是50%，那么對于該商家，在囤貨的過程中，便有著很多的選擇，他可以選擇只囤太陽鏡，或者只囤雨傘或者采用雨傘和太陽鏡各囤一半等方式，那么我們接下來計算不同方式下這個商家的獲利數目和風險大小。

a.假設該商家的初始啟動資金為400 元，如果全部屯雨傘，那么該商家未來可以購買20 把雨傘，如果未來是晴天，那么銷售額為20*10=200 元，如果未來是雨天，則銷售額為20*40=800，那么出現盈利400 元（800-400=400），而因為出現雨天和晴天的概率一樣，所以綜合該商家的綜合盈利數目為0.5*400+0.5*（-200)=100 元。

b.同樣如果全部囤太陽鏡，那么就可以購買20 幅太陽鏡，那么如果未來是晴天，則銷售額是20*40 = 800 元，則會出現盈利400 元（800-400 = 400），如果未來是雨天，則銷售額是20*10 =200 元，則出現虧損200（200-400=-200）元。而因為出現晴天和雨天的概率一樣，所以綜合該商家的綜合盈利數目也為0.5*400+0.5*-200 = 100 元。

c.如果一半囤太陽鏡，一半囤雨傘，那么就可以購買10 幅太陽鏡和10 把雨傘，那么如果未來是晴天，那么太陽鏡的售價會上升到40 元，雨傘的價格便會下降到10 元，那么最終銷售額是10*40+10*10 = 500 元，則會出現盈利100 元（500-400=100），而如果未來是雨天，那么太陽鏡的售價會下降到10 元，而雨傘的價格會上升到40 元，那么最終的銷售額也會是10*10+10*40= 500 元，也會出現盈利100 元，所以最終不管在哪一種天氣情況下，該商家的最終盈利都會是100 元。

可以看出，三種投資模式下最終的獲利數目都是一樣，但是對于前兩種模式，投資者行為更加極端，更加受天氣的影響，比如對于囤雨傘，一旦出現晴天，便會出現虧損，可以看出這對商家的持續經營十分不利，所以商家需要進行多元的投資來控制風險，提高確定性。提高持續的盈利能力。而對于風險厭惡者來說，多元化的投資可以適當的降低風險并相應的提高確定性來提高投資者的效用。風險和收益控制也是金融市場上投資者需要面臨的核心問題。

2.5 概率論在決策分析中的應用

在很多的現實情況中，決策者需要就當前或者未來即將發生的問題來從若干個解決方案中選擇一個或者多個最佳的方案。所以決策者需要就發生的問題來進行比較科學的分析，選擇最優策略，并且盡量避免損失。而很顯然概率論可以幫助決策者顯著提高決策勝率和決策水平。我們選擇保險公司的投保問題來看概率論在決策分析中的運用。對于保險公司而言，公司一方面既要照顧到保險受益人的經濟利益，但是同時，公司作為一個整體也要考慮公司的盈利能力。

比如說某一個單位發生萬元以上損失事故的概率是p=1/100, 并且保險公司可以針對此項事故開辦一種一年期的保險，開辦此保險需要投保人繳納保險費用100 元，但是如果在一年內該單位出險，那么便可以從保險公司獲得賠償a(a＞100)元，我們為了使得保險公司基于盈利目的而要求該保險公司的預期收益不低于賠償金額的5%，那么請問在我們這只產品中，投保人能夠獲得的最大賠償金應該是多少?

我們可以用x 表示保險公司的收益，那么x=100 或者x=100-a

所以最終保險公司獲得收益的期望是0.99*100+0.01*（100-a）

所以最大賠償金額1666 元

我們選取另一個實例，也就是承包工程的決策，假設某一個工程隊需要去承包一項工程，如果能夠在三天內完成，那么就可以獲得利潤8000 元，如果在四天內能夠完成，那么也會相應獲利5000 元，但是如果五天完成，那么便會被罰款10000 元，而根據工程隊的過往項目經驗，工程隊三天，四天和五天完成此項工程的概率分別為0.3，0.4，0.3，那么請以此判斷，該工程隊是否適合承包該工程。

假設該工程隊獲得的利潤為X 元

則P(X = 8000) = 0.3，P(X = 5000) =0.4，P(x = -10000) =0.3

所以最后獲得利潤的數學期望是

所以最終該工程隊獲得的平均利潤是1400 元＞0，所以我們認為該工程隊適合承包該工程。

3 結論

20 世紀以來，由于各種理論課題和實踐過程的擴大深入，概率論已經被引入到多種工程和社會科學中，而目前來看概率論在經濟，金融統計和管理等領域已經成為了很有效的工具和方法。現在概率論已經發展成了一門比較完整并且和實際聯系較為緊密的學科，由于其獨特的數學概念和方法，也逐漸成為了數學里面一個很重要的分支。本文主要研究的是概率的基本定義和在實際生活中的主要應用等問題。我們研究的主要應用場景具體可以分為體育，金融，博彩，風險規避，決策分析等領域。而我們在這些領域所用到的概率論模型和算法主要包括隨機事件，條件概率，全概率公式，貝葉斯公式等。我們在研究這些生活中的具體問題時，希望能夠通概率達到認清問題本質的目的，這樣便可以讓我們在處理更多復雜、龐大的問題時做到更加的簡潔有效。并且我們也希望通過概率能夠對事情做出合理的預測，并采用相應的方法來合理的規避風險。總之，在現實生活中，存在很多的隨機事件，我們相信概率論在以后的生活中一定能夠發揮更巨大的作用。