線性規劃在工業生產中的應用

魏云帆 青島五十八中學

引言：隨著現代經濟的高速發展，市場競爭變得越發激烈，當工廠面臨這些挑戰的時候，在提升自身產品品質的同時，也應該注重科學管理的深入，可以將工廠生產的實際問題簡化為數學問題來解決，這便需要引入數學建模的方法。數學模型可將工廠中的實際問題進行抽象和簡化，轉化為可以直接量化求解的數學問題，從而有效地解決生產中的難題。線性規劃是數學模型的典型代表，同時也是運籌學的重要組成部分，被很好地利用在經濟分析、工程管理甚至軍事作戰等多個方面。在企業決策層面，線性規劃可以協助企業科學合理利用物、財、人等多方面資源，也在幫助工廠提高生產效率、提高經濟效益等方面發揮了重要作用。文是基于對線性規劃這類數學模型的深入探索，并通過對工廠生產中的相關原則進行學習以及搭建工廠生產模型，來分析線性規劃在企業生產中的具體應用。

一、基本概念

（一）線性規劃理論

1.線性規劃概況

線性規劃是一種利于科學管理工廠生產的數學方法，主要應用于存在線性約束關系的問題，在生產中存在的物料儲備、人力數量等限制條件下求解選定的目標值的最優解[1]。常用于求解日常工廠生產中利潤最大化、成本最小化等問題，資源總是有限的，此時，如何達到最高的經營效率，從而實現利用有限的資源達到經濟效益最優化的目的，就顯得特別重要[2]。線性規劃為工廠中日常的有效管理提供了十分科學的數據支持。而典型的線性規劃數學模型可以總結成為以下形式[3]：

目標函數：

約束條

公式中，我們用x來表示目標函數的自變量，z表示目標函數的因變量，我們把資源限制轉化為由若干不等式表示的約束條件，在這些約束條件所構成的線性關系范圍內求解z的最大化或者最小化時x的取值。

2.線性規劃模型的搭建

第一步：了解相關企業的生產背景，明確進行數學建模的對象以及建模的目的：若目標值為成本，則最小值即為最優解；若目標值為利潤，則最大值即為最優解。

第二步：在生產的基礎上，列出約束條件及目標函數：由于工廠的時間、財力、人力、物力以及工人效率等均為有限的資源，因此在取約束條件的時候應充分考慮這些方面的限制。

第三步：建立直角坐標系，并確定X、Y軸所代表的量

第四步：根據約束條件的表達式，在坐標系中畫出可行域

第五步：畫出目標函數線

第六步：在約束范圍內，尋找目標函數能夠取得的極大（小）值點，即為問題的最優解

式中,x為輸出向量,ε為加性噪聲污染。假設加性噪聲ε符合均值為0,方差為的正態分布,即則觀察值y的先驗分布為

（二）工廠生產中的相關理論

1.成本

成本是企業發展過程中需要面臨的多種考慮因素中最關鍵的部分之一。企業想要實現利潤最大化，很大程度上需要從如何取得成本最小化入手，在價格上如果能首先占據優勢地位，才能讓產品整體的發展有著更大的優勢。而降低成本需要制定嚴格而且合理的相關生產制度，結合企業的人力、物力、財力等多方面實際情況的考慮，同時也需要保證產品的高質量，進而達到成本的最小化。

2.利潤

在工廠的一切生產活動中，獲利是其最終目的，而實現這一目的，需要綜合考慮材料、人力、效率等多方面，從而達到在最短的時間內，以最少的人力，利用有限的物料以及保持最高的生產效率來獲得利益最大化的目標。同時，在企業的生產過程中，還要注意邊際收益和邊際成本的關系。而想要實現生產利潤的最大化，其中必要的條件就是邊際收益要與邊際成本相等。

3.經濟效益

在日常的生產生活中，如何實現經濟效益的最優化是工廠的生產管理所面臨的最核心的問題，也是企業進行生產活動的最終目標。經濟效益是代表生產總值與生產成本的相對比例，和利潤的關注點不一樣，利潤是生產總值減去生產成本得到的值，是絕對數額。所以，本質上來看，企業利潤的提高不一定能夠帶來經濟效益的提升。而為了提升企業的經濟效益，只有當成本盡量固定到某個較低值時去賺取更多利潤，才是提高經濟效益的關鍵[4]，對應到數學問題上就是本著“最優化”的準則，在客觀的實際條件下，尋找生產對象的“最優解”。而找到“最優解”必然需要進行嚴密的分析，這便不能脫離數學模型的構建。因此，應在搭建數學模型的基礎上進行嚴格的數量分析，從而實現效益最優化的目標。

二、模型搭建

假設有一家礦泉水生產工廠，生產A、B兩種類型的礦泉水，如果每天生產x瓶的A種礦泉水，y瓶的B種礦泉水，因為工廠的生產設備效率有限，且規定一臺機器一天只能生產一種類型的礦泉水（頻繁地更換生產模式會大大縮短設備的壽命），每臺機器每天只能生產A種礦泉水500瓶或B種礦泉水400瓶。且該工廠設備數量有限，每天最多能有20臺機器同時運作。每瓶A種礦泉水可以盈利1.4元，每瓶B種礦泉水可以盈利1.7元。根據多年市場調查顯示，該廠每天生產的礦泉水總量不得超過9000瓶，否則會造成供大于需的狀況。在這種條件下，企業應分別生產A、B種礦泉水多少瓶，才能使利潤達到最大？

1)生產背景：生產A、B兩種產品，且產量受設備效率、數量、壽命的限制，還受市場的限制；

2)明確自變量：生產x瓶的A種礦泉水，生產y瓶的B種礦泉水；

3)明確目標函數：求利潤的最大值，即求z=1.4x+1.7y的最大值；

4)列出所滿足的約束條件：

5)以x為橫坐標，以y為縱坐標建立平面直角坐標次，并在坐標系中畫出目標函數的可行域，以及目標函數線：

c.兩個可行域重疊的區域，即為此函數的可行域。

圖1 線性規劃求解圖

6)求出利潤最大值：

由5)中所框定的范圍當Z函數經過兩條約束條件線的交點（5000，4000）時可以取得最大值Zmax =13800。

綜上所述，該礦泉水廠通過線性規劃模型，在機器和供給的約束條件下，每天可獲得的最大利潤的狀態是生產5000瓶A種礦泉水和4000瓶B種礦泉水，利潤為13800元。

四、實際意義

根據上述模型構建可知，線性規劃在工廠的生產中，具有無可比擬的實際應用價值。線性規劃模型具有很強的直觀性，可以通過圖像來形象地表示出生產約束和生產目標，同時也可以通過函數的幾何意義來快速判斷最優解的取值點，也是數學問題當中條件極值點求解的一種思路。因為要想獲得利潤最大化，其實就是在求解除了獲得最大利潤之外，它在提高經濟效益、適當降低成本的方面也能發揮重要作用。因為在進行線性規劃的計算過程中，我們也發現了如何合理地分配有限的資源、不能進行極端生產對于工廠來說十分重要，這是保持工廠可持續發展的關鍵，有利于獲得長期穩定的最佳利潤[5]。線性規劃將物資、設備、時間、人力等多方面必備的因素充分考慮，從而獲得生產中的最優解，進一步能使企業獲得長遠的發展。因此，利用好線性規劃這個數學工具為促進工廠的穩定發展提供了一個十分有效的思路。