坐標測量機校準中三維探測誤差的計算方法的探討

李品

摘要：三坐標測量機是20世紀60年代發展起來的一種新型、高效、多功能的精密測量儀器。對于坐標測量機校準和性能評價中，其中最大允許探測誤差（MPEP）是一項重要指標。文章對探測誤差的計算方法從一種常見的數學模型出發，探討具體的算法、數學原理以及實現該方法的過程。為從事該項目校準的人員提供理論和實踐的參考。

Abstract： Coordinate measuring machine is a new type， high efficiency and multifunctional precision measuring instrument developed in the 1960s. For coordinate measuring machine calibration and performance evaluation， the maximum allowable detection error （MPEP） is an important indicator. This article starts from a common mathematical model for the calculation method of detection error， and discusses the specific algorithms， mathematical principles， and the process of implementing the method to provide theoretical and practical references for those engaged in the calibration of this project.

關鍵詞：三維探測誤差;最小二乘法;擬合球

Key words： three-dimensional detection error;least squares method;fitting sphere

中圖分類號：TH721? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1006-4311（2020）04-0240-02

0? 引言

坐標測量機（Coordinate Measuring Machine，簡稱CMM）是一種測量物體幾何特征的設備，通過機器上的探測器去感應（接觸式或非接觸式）被測物體表面上的分連續的點。在坐標測量機上有各種各樣的探測器，包括機械式探針，光學探測器，激光探測器，白光探測器。探測器的位置可以手動或者自動去調整。坐標測量機主要通過在三維笛卡爾坐標系中（帶有xyz軸）的探針相對于參考位置的位移來描述被測量的空間位置。很多坐標測量機還可以控制探針的角度來測量更多的不規則形狀物體。

1? 三坐標測量機的精度要求

根據《GBT 16857.2 產品幾何技術規范（GPS）坐標測量機的驗收檢測和復檢檢測 第2部分：用于測量尺寸的坐標測量機》中規定了兩項不同的誤差的檢測：尺寸測量的示值誤差和探測誤差。尺寸測量的示值誤差只涉及了探測系統的二維性能，作為補充，還需要評定三維探測誤差。常用的測量校準器具有量塊和標準球，分別用于尺寸測量的示值誤差及三維探測誤差的校準測量。

2? 探測誤差的校準方法

根據《JJF 1064-2010 坐標測量機校準規范》7.1.1（三維）探測誤差（P），探測誤差校準方法的原理：通過確定測量點到最小二乘擬合球球心距離的范圍，評價三維探測誤差P是否符合規定的最大允許探測誤差MPEP。

校準程序：

選擇合適尺寸的檢測球（標準球需經上級計量部門校準）。

再允許的極限內，用于可以任意選擇探針的方向和檢測球的安裝位置。

安裝檢測球。檢測球應安裝牢固，以減小晃動引入的誤差。

建議探針的方向不平行于坐標測量機的任一軸。（注：探針方向和檢測球安裝位置的選擇可能明顯地影響測量結果）。

測量并記錄25個點。這些點應盡量均勻分布再檢測球至少半個球上。點的分布位置應有用戶規定。如果用戶沒有規定，建議下列探測分布：

在檢測球的極點（探針方向所定義）一點;

極點下22.5°四點（均勻分布）;

極點下45°八點（均勻分布），相對于前一組點旋轉22.5°;

極點下67.5°四點（均勻分布），相對于前一組點旋轉22.5°;

極點下90°（即在赤道上）八點（均勻分布），相對于前一組點旋轉22.5°。

由此得到25個點的空間直角坐標P（xi，yi，zi）。使用所有25個測量點，計算最小二乘擬合球（實際上是得到擬合球的球心的坐標值和擬合球的半徑）。對25個測量點分別計算最小二乘半徑距離R（每一個測量點坐標與擬合球球心坐標之間的距離）。計算探測誤差P，為25個最小二乘半徑距離的范圍：P=Rmax-Rmin。

3? 探測誤差的計算方法

3.1 數學模型

3.2 數學原理

最小二乘法（又稱最小平方法），它通過最小化誤差的平方和尋找數據的最佳函數（本文中指上述誤差函數數學模型）匹配，找出最優解。文章中指球心坐標（a，b，c），半徑r的確切值。

3.3 計算方法

在這里，需要使用固定點迭代法，迭代法是通過一個初始估計出發，尋找一系列近似解來解決問題的數學過程。和直接法不同，用迭代法求解問題時，其步驟沒有固定的次數，而且只能求得問題的近似解，所找到的一系列近似解會收斂到問題的精確解。

3.4 固定點迭代算法程序

①輸入25個坐標點。

②計算平均值，作為初始迭代的點。

③賦值i=0，精確度e=10-6，將初始迭代點（x，y，z）分別賦值給（ai，bi，ci）。

④分別代入（ai，bi，ci）到表達式上中計算得到新的（ai+1，bi+1，ci+1）。

⑤計算迭代前后的差值ai+1-ai，bi+1-bi，ci+1-ci（確保收斂），分別與精確度e比較，循環執行第4步，直到三個差值都比e要小結束循環。

⑥輸出最后一次迭代計算的結果（ai+1，bi+1，ci+1）。

4? 使用Excel驗證此探測誤差計算方法正確性

使用Excel軟件，輸入根據坐標測量機采集到的25個點的坐標，利用絕對引入和相對引用的功能，只需要編輯一行計算公式，就可以通過拖拽單元格的方式實現迭代計算，通過Excel的計算，在第78次迭代計算時，三個差值都小于10-5mm，在第100次迭代計算時，三個差值都小于10-6mm。圖1為差值收斂的曲線。

這樣就得到了最小二乘擬合球的球心和半徑，再通過Excel就能很容易求出每一個測量點坐標與擬合球球心坐標之間的距離，并找出最大值和最小值，從而求出三維探測誤差P。

5? 總結

以上列出的只是求三維探測誤差P及最小二乘擬合球的一種計算原理、算法及驗證方法。還有其他的算法，在追求最優解的路上還有很多途徑，選擇何種算法，取決于更深層的計算機硬件，來達到程序最優，效率最高，值得更多人去探討。

參考文獻：

[1]全國幾何量長度計量技術委員會.JJF 1064-2010，坐標測量機校準規范[S].

[2]羅曉曄，王慧珍，陳發波.機械檢測技術[M].浙江大學出版社.

[3]李慶楊.數值分析[M].清華大學出版社.