基于虛擬陣元冗余平均的對稱嵌套MIMO雷達DOA估計

張宇樂, 胡國平, 周 豪, 朱明明, 趙飛龍

(1.空軍工程大學防空反導學院， 西安， 710051； 2.93951部隊， 青海格爾木， 816000)

MIMO雷達[1]具有良好的空間、頻率、波形分集特性，能形成有效的大觀測孔徑，對增大虛擬陣元孔徑[4]、優化檢測和跟蹤性能[5]、提高測向分辨力和精度[7]等具有重要意義，陸續有學者從DOA估計、多參數聯合估計、非理想陣列條件下陣列參數估計等方面系統開展了MIMO雷達測向研究。傳統MIMO雷達通常采用密布均勻線陣(Uniform Linear Array, ULA)作為發射和接收陣列進行DOA估計，其回波信號模型中的虛擬陣元個數受到物理陣元數限制，導致陣列的DOA估計性能受陣列孔徑影響。嵌套陣[8](Nested Array, NA)的高自由度特征可以突破物理陣元個數的限制，有效提高陣列孔徑，并且能得到確定的陣元位置和自由度閉式解。為提高嵌套陣虛擬陣元數，文獻[9]建立了超級嵌套陣結構，該結構具有傳統嵌套陣的所有優勢，同時有效降低了陣元間互耦。文獻[10]通過引入附加陣元建立了改進嵌套陣結構，自由度得到較大提升。上述算法僅僅利用了稀疏陣矢量化后形成的“差聯合陣列”來擴展有效孔徑，自由度擴展有限。MIMO雷達能夠通過匹配濾波得到“和聯合陣列”，實現虛擬孔徑的擴展，將嵌套陣列與MIMO雷達體制結合，便可實現從“差聯合陣列”到“和差聯合陣列”的轉變，從而進一步提升系統自由度。因此，將嵌套陣列與MIMO雷達體制結合起來開展多目標測向具有重要的理論意義和應用前景。

文獻[11]采用二階嵌套MIMO雷達，其發射和接收陣列均為二階嵌套陣，增大了系統自由度，但其“和聯合”陣列條件下的虛擬陣元存在不連續的問題，解決方法是選取連續的虛擬陣元進行DOA估計，但會損失掉離散虛擬陣元，自由度性能未得到充分利用。文獻[12]通過設計發射和接收陣元間距，提出一種優化嵌套MIMO的無孔差合陣列，但其“和聯合陣列”也不連續。文獻[13]將嵌套子陣重新排在嵌套陣的兩側，提出了一種高自由度低復雜度的增強嵌套陣，并給出了實際陣元位置的4種形式。

綜合考慮自由度、連續虛擬陣元等因素，本文提出一種對稱嵌套陣結構，其發射陣列和接收陣列分別由2個以零點為參考中心布列的密布均勻線陣和稀疏均勻線陣組成，該陣列結構將傳統虛擬陣元由“差聯合”結構形式轉化為對稱“和聯合”結構形式，形成的連續虛擬陣元數多，因此其可估計的目標數更多，角度估計性能更好，且接收陣元間距變大，互耦率更低，有助于提高測向精度。另外，針對現有算法都是刪除“和差聯合”陣列形成的重復虛擬陣元而丟失數據信息的問題，本文通過冗余平均處理后重構Toeplitz矩陣[14]，結合MUSIC算法實現DOA估計。該算法可以在不損失陣列有效孔徑的條件下實現更多目標的DOA估計。

1 對稱嵌套MIMO雷達系統模型

考慮單基地收發分置系統，對稱嵌套MIMO雷達系統見圖1，將2個均勻線陣以原點為中心對稱布列，發射陣列由密布均勻線陣組成，共有Mt=4M-1個陣元，陣元間距為d；接收陣列由稀疏均勻線陣組成，共有Nr=2N-1個陣元，陣元間距為2Md，d為單位陣元間距，一般等于半波長λ/2，λ為信號波長。

圖1 單基地對稱嵌套MIMO雷達結構圖

假設空間中存在K個遠場點目標，第k(k=1,2,…,K)個目標的波達方向和反射系數分別為θk和βk，則單基地對稱嵌套MIMO雷達回波信號模型可表示為：

(1)

式中：b(t)=[b-(2M-1)(t),…,b(-1)(t),b0(t),b1(t),…,b(2M-1)(t)]T為發射信號；w(t)=[ω-(N-1)(t),…,ω(-1)(t),ω0(t),ω1(t),…,ω(N-1)(t)]T為接收陣元處的加性高斯白噪聲；αt(θk)和αr(θk)分別為第k個目標的發射導向矢量和接收導向矢量，具體可表示為：

αt(θk)=[ej2πdQsin θk/λ,…,1,…e-j2πdQsin θk/λ]T

αr(θk)=[ej2π(2Md)Psin θk/λ,…,1,…e-j2π(2Md)Psin θk/λ]T

(2)

式中：Q=2M-1；P=N-1。

利用MIMO雷達發射波形為相互正交脈沖信號，即Rb=E[b(t)b(t)H]=I4M-1的特點,將回波信號進行廣義匹配濾波可得：

[αt(θ1)?αr(θ1),…,αt(θK)?αr(θK)]s(t)+

n(t)=(At⊙Ar)s(t)+n(t)

(3)

式中：At=[at(θ1),at(θ2),…,at(θK)]；Ar=[ar(θ1),ar(θ2),…,ar(θK)];s(t)=[β1,β2,…,βK]T；n(t)為加性高斯白噪聲矢量；?和⊙分別表示Kronecker積和Khatri-Rao積。

根據式(3)可得回波信號的協方差矩陣為：

R=E[x(t)x(t)H]=

(4)

向量化協方差矩陣R可得：

r=vec(R)=

(5)

式中：vec(·)表示向量化運算；

(6)

2 對稱嵌套MIMO雷達虛擬陣元擴展

如圖1所示，可得發射陣列陣元位置集合St為：

(7)

接收陣列陣元位置集合Sr為：

(8)

由式(3)可知，矩陣A=At⊙Ar的虛擬陣元位置由物理陣元位置的“和聯合陣列”組成。具體分為以下4種情況：

(9)

由式(6)可知，矩陣A*⊙A的虛擬陣元位置由物理陣元位置的“和差聯合陣列”組成。即：

(10)

通過以上分析可知，“和聯合陣列”和“和差聯合陣列”可以實現對稱嵌套MIMO雷達虛擬孔徑擴展，進一步提升自由度。

3 DOA估計

3.1 非相干目標DOA估計

根據式(9)，可從式(3)中選取與擴展后的虛擬陣元位置對應的數據，重新排列后建立新的觀測矢量：

x0(t)=A0s(t)+n0(t)

(11)

式中：A0=[a0(θ1),…,a0(θK)]，n0(t)為對應位置的噪聲矢量，且a0(θk)=[ej2πdZsinθk/λ,…,1,…,e-j2πdZsinθk/λ]T，其中，Z=2MN-1。

由式(11)可得協方差矩陣為：

(12)

因此，通過“和聯合陣列”估計非相干目標，可對式(12)進行特征值分解，然后采用MUSIC算法進行DOA估計。

非相干目標DOA估計也可以從“和差聯合陣列”角度求解，將A*⊙A中虛擬陣元進行冗余平均，并按照虛擬陣元位置從小到大重新排序，可構造(8MN-3)×K維的方向矩陣A1：

[a(θ1),a(θ2),…,a(θK)]

(13)

式中：Lε(1≤ε≤8MN-3)為式(10)中第ε個虛擬陣元位置的冗余度，即“和差聯合”陣列中虛擬陣元出現的次數；Bε(θk)為A*⊙A中能形成同一虛擬陣元位置的導向矢量的疊加；a(θi)=[e-jβiz1,e-jβiz2,…,e-jβiz8MN-3]，其中βi=2πsinθi/λ，zε(1≤ε≤8MN-3)為虛擬陣元位置。

此時，相應的回波信號矢量為：

(14)

為充分利用擴展的虛擬陣元，利用r1建立Toeplitz矩陣如下：

(15)

式中：

(16)

式中：zε和zμ均為虛擬陣元位置，ε,μ=1,2,…,8MN-3(ε+μ≤8MN-3),則式(15)可以寫成矩陣的形式：

(17)

式中：pi為p中的第i個元素；nε為第ε個虛擬陣元中的高斯白噪聲。

(18)

(19)

(20)

總結本文算法的具體步驟，見表1。

表1 基于虛擬陣元冗余平均的對稱嵌套MIMO雷達DOA估計算法算法步驟

3.2 全相干目標DOA估計

全相干目標DOA估計，采用“和聯合”陣列求解。根據式(12)，可利用空間平滑技術結合MUSIC算法求解目標角度，但會損失擴展的虛擬陣元孔徑。因此，本文采用1-SVD算法[15]進行DOA估計。此時，全部的虛擬陣元都可以利用，角度估計性能更佳，具體步驟見表2。

表2 1-SVD算法步驟

步驟1:根據式(11)獲得觀測矢量x0(t);步驟2:對觀測矢量x0(t)進行奇異值分解;步驟3:對觀測矢量x0(t)和稀疏信號進行降維(觀測矢量維度由陣元數×快拍數降為陣元數×信源數,稀疏信號維度由網格數×快拍數降為網格數×信源數);步驟4:求稀疏信號的?1范數;步驟5:利用CVX工具箱進行凸優化處理,求得目標角度。

通過“和差聯合陣列”進行全相干目標DOA估計時，單快拍測量矢量r的虛擬陣列方向矩陣中不同導向矢量之間由Khatri-Rao積關系變為Kronecker積，信源協方差矩陣由對角陣變為塊對角陣，其非主對角元素為非零值。因此，需要估計更多的元素，導致其難以應用于全相干目標的測向。

4 克拉美羅界(Cramér-Rao Bound, CRB)

定義DOA角度矢量為：

η=[θ1,θ2,…,θK]T

(21)

由文獻[15]可知Fisher信息矩陣的第i行第j列元素為：

(22)

式中：tr[·]表示矩陣的跡；ηi和ηj分別表示矢量的第i個和第j個元素。

假設

(23)

則式(22)可表示為：

(24)

其中，

(25)

Ad=D*⊙A+A*⊙D

(26)

(27)

由于R為正定矩陣，(R?R)-1和(R?R)-1/2均為正定矩陣。則式(24)可寫為：

FIM=LFHF

F=(R?R)-1/2ΑdP0,P0=blkdiag[Rs,Rs]

(28)

由此可得DOA估計方向的CRB為：

(29)

5 仿真實驗和結果分析

5.1 場景設定

假設單基地對稱嵌套MIMO雷達的發射和接收陣列的陣元數分別為Mt=7，Nr=5，即M=2，N=3，相應地設定傳統MIMO雷達的發射陣列和接收陣列陣元個數分別為6，二階嵌套MIMO雷達發射陣列和接收陣列均采用6陣元的嵌套陣，DOA估計的均方誤差(RMSE)的計算表達式為(共200次蒙特卡洛實驗):

(30)

5.2 自由度和互耦率

5.2.1 自由度

表3給出了“和聯合陣列”和“和差聯合陣列”結構下傳統MIMO、二階嵌套MIMO和對稱嵌套MIMO 雷達的物理陣元數、連續虛擬陣元數和總虛擬陣元數。從表3中可以看出，3種MIMO雷達物理陣元數相同，但對稱嵌套MIMO雷達在“和聯合陣列”條件下能夠獲得更多的連續虛擬陣元和總陣元數。對于向量化的樣本協方差矩陣，二階嵌套MIMO和對稱嵌套MIMO雷達得到相同的連續虛擬陣元和總虛擬陣元數。

表3 不同陣列結構虛擬陣元數

5.2.2 互耦率

根據文獻[17]，可求出不同陣列結構收發陣元互耦率，如表4所示。其中，Ωt和Ωr分別表示發射陣列和接收陣列的互耦率，互耦矩陣中的元素滿足c0=1，c1=0.5ejπ/4，c2=0.5ej0.5π/2，c3=0.5ej0.5π/3，c4=0.5ej0.5π/4，B=4。由表4可知，對稱嵌套MIMO雷達因接收陣元采用陣元間距更大的稀疏均勻線陣，相比于傳統MIMO和二階嵌套MIMO雷達，其互耦率大幅降低。

表4 不同陣列結構的互耦率

5.3 空間譜

本節比較了不同類型MIMO雷達可檢測目標個數。假設信噪比為10 dB，快拍數為500，搜索范圍為[-90°,90°]，搜索步長為0.01°，紅色點畫線表示真實角度方向。

5.3.1 非相干目標DOA估計

圖2給出了“和聯合陣列”結構下不同陣列結構的空間譜圖。對二階嵌套MIMO雷達形成的虛擬陣元選取連續部分，結合式(12)，采用MUSIC算法進行DOA估計。假設空間中存在20個非相干目標，由圖2可知，傳統MIMO雷達能夠估計[-40°∶10°∶40°]的9個非相干目標，二階嵌套MIMO雷達能夠估計[-60°∶10°∶60°]的13個非相干目標，而對稱嵌套MIMO雷達能夠估計[-70°∶7°∶63°]的20個非相干目標，且目標角度間隔最小。因此，通過利用對稱“和聯合陣列”提升虛擬陣元個數，對稱嵌套MIMO雷達能夠估計更多的非相關目標。

圖2 “和聯合陣列”結構下非相干目標空間譜

圖3給出了“和差聯合陣列”結構下對稱嵌套MIMO雷達和二階嵌套MIMO雷達空間譜圖。假設DOA角度為[-70°∶7°∶63°]，采用3.1節所提算法進行角度估計。由圖3可知，對稱嵌套MIMO雷達和二階嵌套MIMO雷達均能夠估計20個非相干目標。

圖3 “和差聯合陣列”結構下非相干目標空間譜

5.3.2 全相干目標DOA估計

圖4給出了“和聯合陣列”結構下不同陣列結構的空間譜圖。假設DOA角度為[-50°∶10°∶50°]，目標之間相干系數設為1。

圖4 “和聯合陣列”結構下全相干目標空間譜

由圖4可知，傳統MIMO雷達能估計[-20°∶10°∶20°]，即5個全相干目標；二階嵌套MIMO雷達能估計[-30°∶10°∶40°]，即8個全相干目標；而對稱嵌套MIMO雷達能夠估計全部11個全相干目標。因此，通過利用對稱“和聯合陣列”提升虛擬陣元個數，對稱嵌套MIMO雷達能夠估計更多的相干目標。

5.4 均方誤差

假設目標的角度為θ1=10°，θ2=20°，θ3=30°，搜索步長為0.01°。

5.4.1 非相干目標DOA估計均方誤差

圖5給出了“和聯合陣列”結構下不同陣列結構的均方誤差對比圖。圖5(a)為DOA估計誤差隨信噪比的變化關系圖，其中快拍數為500。圖5(b)為DOA估計誤差隨快拍數的變化關系圖，其中SNR=10 dB。結合圖5和表3可以看出，對稱嵌套MIMO雷達在“和聯合陣列”結構下能夠得到更多的連續虛擬陣元數和總陣元數。因此，估計性能更好。

圖5 “和聯合陣列”結構下非相干目標估計性能對比

圖6給出了“和差聯合陣列”結構下不同陣列結構的均方誤差對比圖。

圖6 “和差聯合陣列”結構下非相干目標估計性能對比

圖6(a)為DOA估計誤差隨信噪比的變化關系圖，其中快拍數為500。圖6(b)為DOA估計誤差隨快拍數的變化關系圖，其中SNR=10 dB。結合圖6和表3可以看出，對稱嵌套MIMO雷達和二階嵌套MIMO雷達在“和差聯合陣列”結構下連續的虛擬陣元和總陣元數均相同。因此，兩者估計性能接近。

5.4.2 全相干目標DOA估計均方誤差

圖7給出了“和聯合陣列”結構下不同陣列結構的均方誤差對比圖。圖7(a)為DOA估計誤差隨信噪比的變化關系圖，其中快拍數為500。圖7(b)為DOA估計誤差隨快拍數的變化關系圖，其中SNR=10 dB。結合圖7和表3可以看出，對稱嵌套MIMO雷達可利用“和聯合陣列”得到更多連續的虛擬陣元和總陣元數，因此，其估計性能更佳。

圖7 “和聯合陣列”結構下全相干目標估計性能對比

5.5 角度分辨率

以“和聯合陣列”結構下全相干目標的角度分辨率為例。假設2個全相干鄰近目標3°和6°，信噪比SNR=10 dB,快拍數為500，搜索范圍為[0°,10°]，步長為0.1°，黑色點畫線表示真實角度方向。由圖8可知，傳統MIMO雷達無法分辨上述兩個目標，而二階嵌套MIMO雷達和對稱嵌套MIMO雷達可以分辨，且對稱嵌套MIMO雷達測向精度更高，譜峰更尖銳。

圖8 “和聯合陣列”結構下鄰近全相干目標空間譜

6 結語

本文將陣列的“差聯合”陣列結構變成了對稱“和聯合”陣列結構，提升了自由度性能、抑制了接收陣元互耦，并將其應用于全相干和非相干目標DOA估計，提升了目標估計個數和角度估計性能；針對傳統算法通常采取刪除嵌套陣列的重復虛擬陣元進行DOA估計時存在數據丟失問題，算法向量化協方差矩陣，對“和差聯合陣列”形成的虛擬陣元進行冗余平均處理后重構Toeplitz矩陣，充分利用了所有的擴展虛擬陣元，結合MUSIC算法實現了欠定條件下目標DOA估計。仿真實驗表明本文所提陣列結構和算法提高了多目標角度估計性能和精度。