并聯3-URS踝關節康復機器人的機構與運動學研究

黃 鍵，李偉光，莊成忠（越南），蔡文偉

（華南理工大學 機械與汽車工程學院，廣州510641）

踝關節是人體遠端負重最多的運動關節，是人體站立行走的基礎。 傳統的踝關節康復訓練需要專業治療師協助完成，簡單重復的康復動作給治療師帶來巨大負擔，另一方面患者康復訓練效果受治療師經驗限制。 隨著技術發展，利用康復機器人代替治療師完成重復性康復動作，根據患者運動參數定量評估康復效果已成為可能。

1 踝關節康復機器人相關研究

現有的踝關節康復機器人研究，主要集中在外骨骼機器人、串聯機構和并聯機構3 個方向。

文獻[1]研制了帶動力的單自由度（背曲和趾曲踝關節在矢狀面旋轉） 動力型腳踝矯形器PAFO（powered ankle-foot orthosis），在患者步行時通過對肌肉信號的檢測識別患者的步態，經過系統的處理后，以驅動直流電機做出相應動作，協助患者行走，通常需要患者擁有基本能夠站立能力，不適用于初期康復訓練。

文獻[2]設計的MKA 系列踝關節康復機器人為典型的串聯機構。其利用3 個電機分別實現趾屈/背屈、內翻/外翻和內旋/外旋等動作，結構簡單控制容易， 但串聯機構存在致使誤差累積結構剛度較低，因為自由度少也無法根據病人差異性靈活調整。

并聯式結構是踝關節康復機器人研究的主要方向。 較早期的研究是美國新澤西州的羅格斯大學基于Stewart 平臺研制出六自由度Rutgers Ankle 的踝關節康復系統[3]，需要配備獨立氣源，噪音較大，不適用于醫院環境。 2010年文獻[4]設計2-RRR/UPRR，采用運動副螺旋矢量表示法求解計算了機構的正逆解；2015年文獻[5]研制3-RUPS/S 型康復機器人，在動平臺與靜平臺間設計了一根約束軸限制3 個移動自由度，剩下3 個方向的旋轉自由度，降低了控制難度，但也導致機器人旋轉中心與患者踝關節旋轉中心不匹配；2016年文獻[6]設計了并聯2-UPS/RRR 踝關節康復機構，包括2 根UPS 型并聯支鏈及1 根串聯RRR 型約束支鏈，采用非冗余電動機驅動，結構較簡單，避免了支鏈間不必要的干涉。

前期的踝關節康復機器人的研究各具特點，或多或少地存在機構自由度不足，無法根據患者情況靈活調整，結構復雜易干涉，工作噪音大等問題。

基于以上分類分析，在此首先簡化人體踝關節生理結構， 基于生理結構設計康復機器人機構模型，計算機構自由度；建立機構的運動學模型，給出正逆解的新型優化求解算法；以背屈訓練為例給出數值算例，驗證方法的可靠性，驗證由電機驅動的六自由度3-URS 機器人用于患者踝關節康復訓練的適用性。

2 基于踝關節康復訓練需求的機構設計

2.1 踝關節生理結構

踝關節由小腿的脛骨和腓骨遠端的關節面、距骨以及周圍的韌帶等幾部分共同組成[7]。 踝關節簡化模型如圖1 所示，踝關節可繞額狀軸、矢狀軸和垂直軸做旋轉運動，完成跖屈/背屈，內翻/外翻和內旋/外旋動作，故可把踝關節簡化為具有3 個旋轉自由度的球副結構，分別繞x，y，z 軸運動。踝關節運動參數指標見表1[8-9]。

圖1 踝關節簡化模型Fig.1 Ankle joint simplified model

表1 踝關節運動參數Tab.1 Ankle joint motion parameters

2.2 機構設計

基于人體的生理結構，在此設計了六自由度3-URS 結構并聯踝關節康復機器人。 該樣機如圖2 所示，通過3 條結構形式相同的支鏈，連接動平臺與靜平臺形成閉環。 支鏈2 與支鏈3 結構及尺寸完全相同，支鏈1 與支鏈2 結構相同，尺寸經過優化有所差異。 每條支鏈自下而上，下連桿與靜平臺通過一個二自由度的萬向節連接，上連桿與下連桿間是單自由度旋轉關節，上連桿與動平臺由一個等效三自由度球關節連接。 （原始設計采用球關節，經過仿真計算不能滿足訓練角度范圍要求，將結構優化為萬向節連接一根垂直旋轉軸的形式，等效為3 個旋轉方向相互垂直的球關節， 增大了機構工作范圍，滿足訓練角度范圍需求）

2.3 機構自由度計算

在此，采用螺旋理論計算并聯機構自由度[10]，3-URS 機構中一條鏈的螺旋系示意圖如圖3 所示。

圖2 3-URS 踝關節康復機器人樣機Fig.2 3-URS ankle rehabilitation robot prototype

圖3 URS 桿組的螺旋系Fig.3 URS rod set spiral system

由圖可見，以萬向節中心為原點建立坐標系，U（萬向節）可視為于y 軸和方向在x-z 平面內的2 個轉動副，螺旋量為＄1和＄2；R 運動副（鉸鏈）可視為在x-z 平面內的1 個轉動副，其螺旋量為＄3；S 運動副（球副）可視為分別平行于x，y，z 軸的3 個轉動副組成，其螺旋量分別為＄4，＄5和＄6。 萬向節的坐標為（0，0，0），鉸鏈的坐標為（0，y1，z1），球副的坐標為（0，y2，z2），則URS 桿組的螺旋系為

由此可得到螺旋系矩陣為

該矩陣的秩r=6。 由反螺旋與運動螺旋的互異積為0，可得該桿組的反螺旋為

由于該機構不存在反螺旋，同時也不存在公共約束、局部自由度和虛約束，所以該機構自由度為

在每條桿組的＄1和＄3軸線對應位置安裝控制電機，3 條桿組總共6 個電機實現機構空間位姿的準確控制。

3 運動學分析

3.1 運動學模型建立

機器人運動學研究是指建立起關節輸入與末端位置、姿態變換之間的相互作用關系包括運動學正解和運動學逆解。 3-URS 模型機構可簡化為圖4所示的形式，選擇靜平臺與3 條支鏈相連接的ABC三點構成的三角形重心為原點， 建立固定坐標系OXYZ，Y 軸沿OA 方向，Z 軸豎直向上。 選擇動平臺與支鏈連接的A′B′C′三點構成的三角形重心為原點，建立移動坐標系O′X′Y′Z′，Y′軸沿O′A′方向，Z′軸豎直向上。 初始狀態下，固定坐標系YOZ 面與移動坐標系Y′O′Z′面重合，姿態角α=0，β=0，γ=0。

圖4 并聯3-URS 機構簡圖Fig.4 Sketch of 3-URS parallel mechanism

根據閉環矢量原理，支鏈1 中存在的矢量變換關系為

設移動平臺參考點O′坐標為（px，py，pz），繞X，Y，Z 坐標軸旋轉的角度分別為α，β，γ；點A1在固定坐標系中為（xE1，yE1，zE1），點A1′在移動坐標系中為（xD1，yD1，zD1）。 點A1′從移動坐標系轉換到固定坐標系中，需要乘上變換矩陣ROO′，將該矢量關系表達為坐標形式：

為了將a1+b1+c1從結構參數代入計算公式，支鏈1 按照圖5 所示形式建立坐標參考系。

圖5 支鏈1 參考坐標系Fig.5 Coordinate system of limb 1

支鏈中θ11和θ31為電機驅動的主動角，θ21為隨動轉角。 借助所建立的輔助坐標系，可得

回代到式（5），有

同理，可求出a2+b2+c2和a3+b3+c3坐標表達式，根據支鏈2 和支鏈3 的閉環矢量關系，可得另外6個關于（px，py，pz）的等式方程。根據3 條支鏈所得的共9 個方程， 建立3-URS 并聯機器人運動學模型，即可描述動平臺空間位姿與輸入轉角之間的關系。

3.2 正逆解分析

3-URS 機構的位姿分析包括正解與逆解。 正解是指給定輸入角度θn， 求解動平臺在固定坐標系的位置坐標（px，py，pz）， 以及空間姿態角α，β，γ 的過程。 逆解是已知動平臺位置、姿態參數的條件下，求解驅動角θn對應角度。

并聯機器人運動學方程參數變量較多，采用數值解法求解精確結果， 通常較為困難。 在此結合Rosenbrock-Banana 優化函數[11-12]，將并聯機器人的等式關系轉換為優化算式，將數值計算轉換為優化問題，其數學模型為

式中：F 為優化目標函數；fk（θ1，…，θi）為由閉環矢量推導所得方程；p 為移動平臺參考點位姿參數；Lb，Ub為由機械結構確定的轉角運動范圍。

優化函數F 為各優化算式Fi（i=1，…，9）之和，結果大于或等于0。當F=0 時，說明對應的參數為精確解，但受輸入參數精度、計算設備、截斷誤差等多方面條件限制，通常ε≤1×10-10即認為滿足求解要求，對應的參數為最優解。根據正、逆解的求解需求，輸入對應已知變量即可求解出所需的空間位姿或控制轉角等未知變量，完成運動學正逆解運算。

4 運動學算例

背屈是踝關節沿額狀軸，足尖上移腳背接近小腿的動作，俗稱“勾腳尖”（如圖6 所示）。 在三維軟件中，采集一段3-URS 簡化模型的背屈軌跡，將軌跡細分為32 段，共計33 個軌跡點，每個點包含移動平臺參考點的位置與姿態信息（px，py，pz，α，β，γ），具體見表2。

圖6 3-URS 簡化模型背屈運動Fig.6 3-URS simplified model dorsiflexion

表2 背屈軌跡點位姿參數Tab.2 Dorsiflexion trajectory point parameters

在此，基于Microsoft Excel 2010 軟件作為數據輸入輸出窗口，編寫優化函數，利用規劃求解功能，求解F 最小值，得出角度參數，見表3。

表3 運動學逆解θ 結果Tab.3 Inverse kinematic solution of θ

求解過程中表征優化計算精度的優化函數F 數值在10-18～10-12之間，遠遠高于ε≤1×10-10的精度要求，滿足優化計算要求，逆解結果具有較高可靠性。

將逆解得出的角度參數作為輸入，正解運動平臺位姿所得結果見表4。

表4 運動學正解位姿結果Tab.4 Forward kinematics solution of position

對比正解結果（表4）與原始背屈軌跡（表1），得到軌跡位姿相對誤差，見表5。 由表可知，最大位置誤差處于10-7mm 水平，最大姿態誤差處于10-10rad水平，達到較高精度，滿足后續電機控制精度需求。兩者的軌跡對比如圖7 所示，曲線基本吻合。

表5 運動學正解與輸入軌跡誤差Tab.5 Error between forward kinematics solution and input trajectory

圖7 正解結果與原始背屈軌跡對比Fig.7 Forward position kinematics solution and dorsiflexion trajectories

利用虛擬樣機技術， 在動力學仿真軟件Adams中，建立與實物樣機關鍵結構、尺寸相同的機構簡化模型， 添加約束關系， 以每條支鏈θ1i，θ3i為主動角，輸入運動學逆解得到的角度參數，計算動平臺空間位姿，其動力學仿真分析模型如圖8 所示。Adams 仿真軌跡及原始背屈軌跡位姿對比如圖9 所示，仿真得到軌跡與原始背屈軌跡基本吻合，說明優化方法求解并聯機器人運動學問題可靠有效，適用于3-URS 并聯踝關節康復機器人控制。

圖8 動力學仿真分析模型Fig.8 Dynamic simulation analysis model

圖9 仿真得到軌跡與原始背屈軌跡對比Fig.9 Simulated trajectory and dorsiflexion trajectory

5 結語

從人體踝關節生理結構出發，分析踝關節康復訓練的基本要求，針對各類踝關節康復機器人存在的不足，設計了基于并聯3-URS 機構的踝關節康復訓練機器人。 對于并聯機構運動學求解問題，由支鏈的位姿矢量關系推導出位姿表達式，構造優化求解算式，求解機構運動參數。 以背屈訓練為例，給出一組求解算例，其正逆解結果基本吻合，精度達到10-10～10-7mm，滿足后續控制需求；通過虛擬樣機模擬仿真的方法，驗證了求解結果。 該機構結構簡單運動靈活，不僅完成訓練所需的三自由度旋轉運動，還可根據患者差異性靈活調整訓練平臺位置，滿足踝關節康復訓練所需的跖屈/背屈， 內翻/外翻和內旋/外旋動作。后續工作將開發出踝關節康復機器人控制系統，實現機器人控制，獲取傳感器反饋數據，通過臨床試驗以測試和改進并聯踝關節康復機器人。