例談幾何教學(xué)中的解題反思

邵瀟野

反思是數(shù)學(xué)思維活動的核心和動力，通過反思才能使學(xué)生的現(xiàn)實世界數(shù)學(xué)化，沒有反思，學(xué)生的理解就不可能從一個水平升華到更高的水平。解題反思即在解題之后反思該習(xí)題考核哪些方面的概念、知識和能力;驗證解題結(jié)論是否正確合理;命題所提供的條件的應(yīng)用是否完備;求解論證過程是否判斷有據(jù)，嚴(yán)密完善;有無其他解法，一題多解;眾多解法中哪一種最簡捷;把本題的解法和結(jié)論進(jìn)一步推廣，能否得到更有益的普遍性結(jié)論等等。

1、解題反思的意義

反思是一種有效的學(xué)習(xí)方式，它的基本特征是探究性，即在考察學(xué)習(xí)活動的經(jīng)歷中探究其中的問題和答案，重構(gòu)自己的理解，使學(xué)習(xí)活動成為一種有目標(biāo)，有策略的主動行為。通過反思可以更好地根據(jù)自己的需要和不斷變化的情況調(diào)整自己的策略，通過反思自己解題過程的成敗得失，不斷地有新的發(fā)現(xiàn)，新的體會，解題過程便不再枯燥乏味。

1.1發(fā)展思維能力

反思是培養(yǎng)學(xué)生良好思維品質(zhì)的有效途徑，誘導(dǎo)學(xué)生暴露其原有的思維框架，包括結(jié)論、例證、推論等對于突破學(xué)生的數(shù)學(xué)思維障礙會起到重要的作用，解題的目的并不單純?yōu)榱饲蟮脝栴}的結(jié)果，更是為了提高學(xué)生分析和解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造精神。反思能及時調(diào)整思維過程，修改思維方法和解決問題的手段，從而提高思維活動的有效性、自覺性和正確性。

1.2提高學(xué)習(xí)效率

對解題的結(jié)果和解法進(jìn)行細(xì)致的分析，對解題的主要思想、關(guān)鍵因素和同一類型問題的解法進(jìn)行概括，可以幫助學(xué)生擺脫題海戰(zhàn)術(shù)，從解題中總結(jié)出數(shù)學(xué)的基本思想和方法加以掌握，并將它們用到新的問題中去，充分挖掘、反思，并深化、改造、變式，可以有效地幫助學(xué)生提高學(xué)習(xí)效率。

2、解題反思的內(nèi)容途徑

引導(dǎo)學(xué)生反思、總結(jié)、歸納，既使他們看到自己思想的不全面，培養(yǎng)思維的邏輯性，完善解題過程，訓(xùn)練思維的嚴(yán)密性，豐富解題思路，又使他們學(xué)習(xí)揭示概念本質(zhì)的思想方法，使學(xué)生切實體驗了數(shù)學(xué)思想方法對解題的指導(dǎo)作用。

2.1反思習(xí)題多種變式

變式訓(xùn)練能培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的求異思維、發(fā)散思維、逆向思維，非常有助于學(xué)生提高分析問題、解決問題的能力。學(xué)生在分析和解決幾何問題時，往往只順著事物的發(fā)展過程去思考問題，注重由因到果的思維習(xí)慣，缺乏沿著多方面去探索解決問題的途徑和方法。要抓住問題的本質(zhì)特征，遵循學(xué)生認(rèn)知心理發(fā)展，根據(jù)實際需要進(jìn)行變式拓展，一題多問，一題多變。

2.2反思習(xí)題錯誤根源

學(xué)生對一些幾何問題缺乏多角度的分析和判斷，容易造成錯誤。通過反思，發(fā)現(xiàn)自己思維過程中的不足之處，有利于培養(yǎng)認(rèn)真細(xì)致的良好習(xí)慣。錯誤是一個等待被發(fā)掘的寶藏，利用得當(dāng)，就會產(chǎn)生巨大的效能。要剖析錯誤原因，使學(xué)生在糾正錯誤的過程中掌握基礎(chǔ)知識，理解基本概念，培養(yǎng)反思能力。

【范例2】已知：如圖4，在△ABC中，∠BAC與∠ABC的平分線相交于點(diǎn)E，延長AE，交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，連接BD，CD，CE。已知∠BDA=60?。

（1）求證：△BDE是等邊三角形，

（2）若∠BDC=120?，猜想四邊形BDCE是什么形狀的四邊形。

[解析]由∠DBE=∠DEB，∠BDA=60?證得。

錯解：（1）把點(diǎn)E為圓心直接當(dāng)成條件，

（2）把AD為直徑直接當(dāng)成條件，

（3）把△ABC為正三角形直接當(dāng)成條件，

反思錯誤原因：以主觀意想代替了客觀實在，沒有從題意出發(fā)，認(rèn)真審題，理性分析。“眼見不一定為實”，數(shù)學(xué)需要科學(xué)的探究精神和實踐。

2.3反思數(shù)學(xué)思維過程

要引導(dǎo)學(xué)生回顧和整理解題思路，概括解題思想，使解題的過程清晰、思維條理化、精確化和概括化。培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性。充分挖掘習(xí)題的教學(xué)功能，最大限度地調(diào)動學(xué)生的思維積極性，盡可能地觸學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”，充分暴露學(xué)生的思維過程。

【范例3】如圖5，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥DC，由4個這樣的等腰梯形可以拼成圖所示的平行四邊形。

（1）求四邊形ABCD四個內(nèi)角的度數(shù);

（2）試探究四邊形ABCD四條邊之間存在的等量關(guān)系，并說明理由;

（3）現(xiàn)有圖6中的等腰梯形若干個，利用它們你能拼出一個菱形嗎？若能，請你畫出大致的示意圖。

[解析]解法不一，如圖7（1）——（4），易證：

（1）∠A=∠B=60?，∠C=∠D=120?。

（2）AB=2BC=2CD=2AD。

（3）經(jīng)歷動手畫圖實驗后，學(xué)生的思考結(jié)果：如圖十一（1）——（4）。

[反思1]梯形的個數(shù)有什么規(guī)律？能用12個梯形拼嗎？4個，8個可以嗎？為什么？

證明：不妨設(shè)梯形ABCD中，AB=2BC=2CD=2AD=2，用x個梯形ABCD拼成的菱形邊長為a，則

由此可見，菱形邊長a一定是3的正整數(shù)倍，若a為3n，則x=6n2。即所用梯形個數(shù)只能是6，24，54……

[反思2]如果把梯形ABCD進(jìn)行分割：

（1）如圖9，先分割為三個等邊三角形，再把每個三角形分割為三個等腰梯形。

（2）把（1）中所得的9個等腰梯形以相同的方法分割下去……

（3）探索規(guī)律：設(shè)等腰梯形ABCD的周長為p，面積為q，則第n次分割所得的最小梯形的周長、面積如何表示？

總之，通過反思，學(xué)生能積累起幾何解題的經(jīng)驗，促進(jìn)知識的同化和遷移。要從解決問題的方法、規(guī)律、思維策略等方面進(jìn)行反思，總結(jié)解題經(jīng)驗教訓(xùn)，擴(kuò)展思路，縱橫聯(lián)系，有效的拓展和遷移，培養(yǎng)學(xué)生舉一反三、融會貫通的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]熊川武，反思性教學(xué)[M]。上海：華東師范大學(xué)出版社，1999

[2]幾何解題教學(xué)應(yīng)突出的三個關(guān)注點(diǎn)，[J]中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019，4

（作者單位：浙江省溫州市第十四中學(xué)）