熱交換管內壁子午面半橢圓裂紋應力強度因子數值計算*

李東方，楊海波，毛朝暉，張成龍

(1.衢州職業技術學院 機電工程學院，浙江 衢州 324000；2.北京科技大學 機械工程學院，北京 100083；3.中國一重集團大連工程技術有限公司 核電裝備技術部，遼寧 大連 116600；4.浙江遜龍機器人科技有限公司，浙江 金華 321000)

0 引 言

承受高溫高壓等復雜載荷下的核電站一回路的鎳基合金或奧氏體不銹鋼構件，其應力腐蝕開裂是影響核電安全的重要因素之一[1-4]。要對這類薄壁圓筒構件進行疲勞壽命預判或可靠性分析，就需研究其裂紋擴展情況，因而，開展其應力腐蝕機理研究具有重要意義。

應力強度因子(K)是反映裂紋尖端彈性應力場強弱的物理量之一。目前，國內外學者對K值的求解進行了大量的研究。黃士振等[5]用邊界元法計算了厚壁圓筒內壁軸向表面淺裂紋受內壓的應力強度因子，比較了形狀相同而深度不同以及同一深度的不同形狀裂紋的解，及表面裂紋與貫穿裂紋的解；白楊[6]用有限元法對帶有環向內裂紋的薄壁鋼管結構進行了斷裂力學計算分析；魯麗君等[7]利用ANSYS有限元軟進行實體建模法，建立了孔邊角裂紋和三維穿透裂紋的模型；徐呈祥等[8]采用ANSYS有限元軟件建立了受內壓作用的壓力管道，及其表面具有不同周向夾角斜裂紋的三維模型，并對裂紋尖端的應力強度因子進行了有限元計算及分析；張麗屏等[9]采用含真實裂紋的三維有限元法，研究了溫度與壓力作用下應力強度因子；Hongjun Yu等[10]提出了一種用于提取具有復雜界面的正交各向異性材料的應力強度因子的建模方法，并結合擴展有限元法和DII積分法，研究了板中的直裂紋和復合材料中的彎曲裂紋應力強度因子分布情況；Pavol Dlhy等[11]對注射成型聚合物部件由于材料收縮而產生的裂紋進行了研究，建立了求解應力強度因子的有限元模型，獲得了不同裂紋長度中心裂紋的應力強度因子；Matías Braun等[12]采用格點法和線性彈性本構模型，進行了裂紋擴展速度對應力強度因子的影響的研究。但是這些方法非常復雜，計算量大，而且模型建立時還需要使用多個不易獲得的參數。綜合來看，目前，熱-機耦合的復雜載荷下的內壁子午面含半橢圓裂紋的研究文獻較少。

本文將基于斷裂力學理論，采用有限元法，對I型裂紋的應力強度因子分布及影響因素進行分析與研究，研究結果可為熱交換管管道安全評估提供理論和數據依據。

1 三維有限元模型建立

筆者的研究對象為核電站熱交換管內壁子午面上的I型半橢圓裂紋，該裂紋所在位置及相關參數示意圖如圖1所示。

圖1 裂紋所在位置及相關參數示意圖A-裂紋尖端最深點；B-裂紋尖端表面點；a-橢圓裂紋短半軸長度；b-橢圓裂紋長半軸長度；δ-裂紋前沿離散點相對于短軸間夾角，即裂紋尖端角度；Ro-熱交換管外徑，為25 mm；Ri-熱交換管內徑，為22 mm；L0-熱交換管總長度，取為290 mm；L-裂紋面中心距管底部的長度，取為145 mm

1.1 應力強度因子KI外推法理論

在斷裂力學中，將裂紋分為I型(張開型)、II型(滑開型)和III型(撕開型)3種。在極坐標下，當裂紋尖端半徑r→0的應力場、應變場和位移場都稱作近場[13]，即裂紋尖端附近存在應力集中。目前，常用Irwin理論來確定裂紋尖端的應力強度因子。

在線彈性斷裂力學中，當受到I、II或III型中的一種或以上載荷作用，裂紋尖端附近的應力場和位移場用下式來表達，即：

(1)

(2)

式中：E′，μ′—材料當量彈性模量和泊松比；E，μ—材料彈性模量和泊松比；x—裂紋正前方方向；y—裂紋面法線方向；z—裂紋前沿曲線上某點的切線方向；r，θ—裂紋尖端極坐標下的極徑和極角；KI，KII，KIII—I，II和III型應力強度因子；σx，σy，σz，τxy，τyz，τzx—裂紋尖端應力場的6個分量。

當為平面應力狀態問題時，E′=E、μ′=μ；當為平面應變問題時，E′=E/(1-μ2)、μ′=μ/(1-μ)。對平面應變問題，取裂紋前沿位移場表達式的泰勒展開式的奇異項，則I型應力強度因子KI為：

(3)

式中：uy(r,π)—已知裂紋表面上某一點垂直于裂紋平面的位移。

1.2 裂紋求解有限元模型建立

基于前節的應力強度因子外推法理論，筆者在ANSYS軟件中編寫宏命令，用來求解(3)式，即可求得某一點裂紋尖端KI值。實際工作中，熱交換管承受著復雜載荷，軸向拉伸載荷，Ta，內外壁承受壓力，Pi與Po，內外壁溫度，Hi與Ho。有限元模型邊界條件為底端固定約束。

筆者采用參數化語言[14]直接建立裂紋三維模型[15]，奇異裂紋前緣單元最終是通過宏命令賦值語句對SOLID45(或70) 8-NODE單元進行添加、移動節點，而形成1/4 SOLID95(或90) 20-NODE等參奇異單元，最終建立得到了三維裂紋有限元模型及裂紋前沿圖，如圖2所示。

圖2 三維裂紋有限元模型及裂紋前沿圖

圖2中，模型材料為00Cr17Ni14Mo2[16]。00Cr17Ni14Mo2材料特性參數如表1所示。

表1 00Cr17Ni14Mo2材料特性參數

2 實驗驗證和結果分析

2.1 內壁子午面半橢圓裂紋實驗驗證

為了驗證有限元模型合理性，一方面要對相關建模參數進行調試，另一方面通過實驗進行驗證。

2.1.1 裂紋尖端建模尺寸r對KI影響

2016年及2017年水稻季不同水肥處理下稻田水量平衡要素如表3所示。從表3可知2016年水稻季降雨量幾乎是2017年的2倍，這也是2016年水稻季灌水量較少排水量較多的主要原因。2016年和2017年水稻季各處理平均灌水量分別為223.0 mm和342.5 mm，平均排水量分別為826.9 mm和215.4 mm，2016年水稻季約是2017年的4倍。從降雨量和排水量的對比可以發現，2016水稻季的單次降雨量較大。

為分析裂紋尖端建模尺寸r對KI值的影響，筆者列出KIA和KIB及其對應的相對誤差。

裂紋尖端建模尺寸r對KI影響如表2所示。

表2 裂紋尖端建模尺寸r對KI影響

當r分別為0.025 mm、0.030 mm以及0.035 mm時，KIA和KIB值穩定在某一數值。如，對應的KIA分別為52.309 MPa·mm0.5、52.604 MPa·mm0.5與52.832 MPa·mm0.5，其相對誤差在1%之內。因此，r可選范圍0.025 mm～0.035 mm，能夠保證模型穩定性。

2.1.2 KI數值解與實驗解、文獻解的對比

參照文獻[17]中的光彈性法的實驗方法，以及文獻[18]中的裂紋求解結果，筆者進行實驗驗證和分析。取內壁半徑Ri為60 mm，外壁半徑Ro為125 mm，裂紋深度a為3.25 mm，裂紋形狀比a/b為0.15，內壁及裂紋面上同時承受1 MPa壓力的驗證模型，采用機加工方法在試件上制作出裂紋，把管試件兩端進行封裝，然后施加上述載荷，利用光彈法測得KI值，將KI數值解與實驗解、文獻解進行對比。

將數據進行處理，可得：KIA數值解與實驗解、文獻解分別為4.640 MPa·mm0.5、4.935 MPa·mm0.5與4.667 MPa·mm0.5；KIB數值解與實驗解、文獻解分別為7.321 MPa·mm0.5、8.023 MPa·mm0.5、7.961 MPa·mm0.5。則A點與B點的KI有限元解相對于實驗解和文獻解的相對誤差分別為：-5.98%、-0.58%和-6.87%、-8.84%。結果表明：有限元解與文獻解的相對誤差在均不超過-8.84%，能滿足工程實際需要，上述誤差是可以接受的。因而，所建模型是合理的。

2.2 裂紋尺寸與形狀對裂紋尖端KI分布規律影響

本研究對裂紋深度a分別為1 mm、1.25 mm、1.5 mm與1.75 mm，裂紋形狀比a/b分別為0.1、0.2、0.3 … 0.8和0.9的36種基本模型計算結果進行分析與討論。

2.2.1 裂紋形狀比a/b對裂紋尖端KI分布規律影響

圖3 裂紋形狀比a/b對裂紋尖端KI分布規律影響

分析圖3(a)，在相同a條件下，隨著裂紋的擴展，當a/b較小時，KI值從B點到A點呈現先逐漸減小而后又增大到某一極值的變化趨勢，且在裂紋尖端A點達到最大值，總體上，呈“W”形分布，KI值在δ約為±60°處出現明顯轉折；隨著a/b逐漸變大，這種趨勢越發不明顯，KI值從B點到A點逐漸減小到某一最小值(A點)，而在B點到達最大值，總體上，呈“U”形分布；當a/b分別為0.6、0.7、0.8和0.9的KIB值分別為100.080 MPa·mm0.5、100.624 MPa·mm0.5、100.612 MPa·mm0.5和100.198 MPa·mm0.5。KI分布曲線出現轉折，說明KI值沿裂紋尖端B點到A點變化過程中，最小值KImin有可能出現在A點或是B點，還有可能出現在A點到B點的某個位置。

分析圖3(b～d)，有上述相似結論。此外，在裂紋形狀按照從扁圓擴展到近似圓，即a/b從0.1到0.9的變化過程中，a越大，KIB值越小，在a/b較小時出現穩定的分布值。如：a為1.25 mm，a/b分別為0.5、0.6、0.7、0.8和0.9的KIB值分別為110.514 MPa·mm0.5、111.369 MPa·mm0.5、111.475 MPa·mm0.5、111.077 MPa·mm0.5和110.337 MPa·mm0.5；而a為1.5 mm，a/b分別為0.4、0.5、0.6、0.7、0.8和0.9的KIB值分別為120.215 MPa·mm0.5、121.616 MPa·mm0.5、121.881 MPa·mm0.5、121.441 MPa·mm0.5、120.563 MPa·mm0.5與119.416 MPa·mm0.5；當a為1.75 mm，a/b分別為0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8和0.9的KIB值分別為128.928 MPa·mm0.5、131.423 MPa·mm0.5、132.092 MPa·mm0.5、131.663 MPa·mm0.5、130.601 MPa·mm0.5、129.189 MPa·mm0.5與127.591 MPa·mm0.5。

2.2.2 裂紋深度a對裂紋尖端KI分布規律影響

裂紋深度a對裂紋尖端KI分布規律影響如圖4所示。

在a/b較小時，相同a/b條件下，隨著a增大，KI分布趨近于圓滑，KIA值逐漸減小，在δ約為±60°處，不同a的KI值大致相等；當a/b較大時，KImin出現在A點；KIA值隨著a增加而急劇減小。當a/b趨近于1時，即裂紋形狀趨近于圓形時，KI分布曲線也越接近橢圓形。

2.3 不同復雜載荷對裂紋尖端KI分布規律的影響

不同復雜載荷的組成如表3所示。

表3 不同復雜載荷的組成

通過對不同復雜載荷下的模型進行KI的求解，對KI值進行數據處理，得到了不同復雜載荷下的KI分布，如圖5所示。

圖5 不同復雜載荷下的KI分布

圖5中，KI分布呈現“W”型，而隨著載荷中的Pi的下降，KI值下降；同時，分布曲線逐漸呈現“U”字型。

從圖5可看出，從KI分布曲線形狀和數值上，耦合載荷中的Pi對KI分布規律影響較大。隨著載荷中的Po的下降，KI值也下降，同時分布曲線逐漸也呈現“U”字型。說明從形狀和數值上，耦合載荷中的Po對KI分布規律影響也較大。但是，Pi對KI值分布影響大于Po。在L1、L6及L9條件下，KIA分別為74.821 49 MPa·mm0.5、126.407 MPa·mm0.5以及252.724 MPa·mm0.5，L9的KImax比L6下的KImax要小49.98%。由此可知，裂紋對內壁所受壓力載荷變化比較“敏感”。復雜載荷中的內外壁溫度差ΔT均勻增大時，KI分布趨勢完全相同，均呈“W”字型，KI值呈均勻增大，這一點，從圖5(b)中可清晰地看出。

從圖5中還可看出：KIA、KIB及KImin值隨ΔT的變化曲線均為線性變化。在L1、L2與L3下，KI分布曲線完全重合在一起，其KImax出現在B點，為98.761 MPa·mm0.5。由此可知，軸向載荷對KI分布影響較小，這也和裂紋模型的受力情況吻合。

3 結束語

本文進行了內壁子午面上含半橢圓裂紋的熱交換管在復雜載荷下的應力強度因子KI分布規律的分析與研究，分析了復雜載荷對裂紋擴展的影響，并通過實驗解和文獻解，驗證了數值解模型的可靠性；可出以下結論：

(1)分析了不同裂紋尖端尺寸的KI，表明r可選定在0.025 mm～0.035 mm范圍內，其結果相對誤差不超過1%。取Ri為60 mm，Ro為125 mm，a/b為0.15，內壁及裂紋面上同時承受1 MPa壓力的模型，將數值解和實驗解、文獻解進行對比，其相對誤差最大為-8.84%，3種解相互之間吻合情況良好，能滿足工程實際計算需求；

(2)系統地分析了復雜載荷作用下的裂紋擴展趨勢。其中，裂紋深度和形狀比的增大將會使KI分布從W字型趨近于U字型。得出了內外壁溫度差ΔT很大程度上決定了KI值大小，幾乎呈線性增長趨勢；同時，裂紋對內壁所受載荷變化更加敏感。因而，在熱交換管工作過程中，應極力避免載荷峰值的出現，尤其是要關注管內外壁間壓力和溫度波動，做好監測工作。