有耗介質(zhì)層上多導(dǎo)體傳輸線的電磁耦合時(shí)域分析方法*

葉志紅 張杰 周健健 茍丹

(重慶郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院, 重慶400065)

(2019 年 8 月 9日收到; 2020 年 1 月 5日收到修改稿)

目前, 針對(duì)空間電磁場(chǎng)作用有耗介質(zhì)層上傳輸線的電磁耦合, 仍缺乏有效的數(shù)值分析方法. 因此, 本文提出一種高效的時(shí)域混合算法, 很好地解決了有耗介質(zhì)層上傳輸線電磁耦合建模難的問(wèn)題. 首先, 對(duì)經(jīng)典傳輸線方程進(jìn)行改進(jìn), 推導(dǎo)了適用于有耗介質(zhì)層上多導(dǎo)體傳輸線電磁耦合分析的修正傳輸線方程. 然后, 結(jié)合時(shí)域有限差分方法和相應(yīng)插值技術(shù), 求解修正傳輸線方程, 獲得多導(dǎo)線及其端接負(fù)載上的電壓和電流響應(yīng), 并實(shí)現(xiàn)空間電磁場(chǎng)輻射與多導(dǎo)線瞬態(tài)響應(yīng)的同步計(jì)算. 最后, 通過(guò)相應(yīng)計(jì)算實(shí)例的數(shù)值模擬, 與CST軟件的仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比, 驗(yàn)證了時(shí)域混合算法的正確性和高效性.

1 引言

非金屬導(dǎo)電材料具備質(zhì)量輕和導(dǎo)電性好的特點(diǎn), 廣泛應(yīng)用于工業(yè)和軍事等領(lǐng)域作為設(shè)備制造材料, 例如飛機(jī)蒙皮使用的復(fù)合材料就是典型的非金屬導(dǎo)電材料. 在飛機(jī)等復(fù)雜目標(biāo)中, 大量的傳輸線鋪設(shè)在非金屬導(dǎo)電材料上, 實(shí)現(xiàn)不同設(shè)備之間的數(shù)據(jù)通信. 當(dāng)這類(lèi)目標(biāo)處于復(fù)雜電磁環(huán)境中時(shí), 空間強(qiáng)電磁干擾源將通過(guò)目標(biāo)內(nèi)的傳輸線耦合產(chǎn)生強(qiáng)電流信號(hào), 該信號(hào)必然流入傳輸線端接電路, 對(duì)電路上的敏感元件造成干擾或破壞. 因此, 實(shí)現(xiàn)對(duì)非金屬導(dǎo)電材料上傳輸線的電磁耦合建模, 是分析飛機(jī)等電大尺寸目標(biāo)電磁環(huán)境效應(yīng)的前提.

由傳輸線理論可知, 在空間電磁場(chǎng)的激勵(lì)下,傳輸線與其鄰近的非金屬導(dǎo)電材料之間將形成電流回路. 為了便于分析, 將非金屬導(dǎo)電材料等效為具有一定介電常數(shù)和電導(dǎo)率的有限尺寸大小和厚度的有耗介質(zhì)層. 全波算法是模擬有耗介質(zhì)層上傳輸線電磁耦合的最直接方法, 其中時(shí)域有限差分(FDTD)方法[1?4]是應(yīng)用非常廣泛的時(shí)域算法. 但是, 采用FDTD方法進(jìn)行模擬, 需要對(duì)有耗介質(zhì)層和傳輸線精細(xì)結(jié)構(gòu)直接建模, 剖分所需網(wǎng)格量較大, 勢(shì)必造成計(jì)算效率低. 因此, 國(guó)內(nèi)外學(xué)者基于傳輸線方程理論, 開(kāi)展了大量的數(shù)值算法研究, 實(shí)現(xiàn)傳輸線電磁耦合的高效計(jì)算. 這類(lèi)算法的核心思想是在避免對(duì)傳輸線直接建模的前提下, 獲得與全波算法具有相同精度的計(jì)算結(jié)果. 其中, 主流的算法有 3類(lèi): Beam-Liu-Tesche (BLT)方程[5?11]、FDTD-SPICE (simulation program with integrated circuit emphasis)算法[12?17]和 FDTD-TL(transmission line)算法[18?20]. BLT 方程是將傳輸線看作管道, 激勵(lì)源和負(fù)載看作節(jié)點(diǎn), 構(gòu)建節(jié)點(diǎn)電壓電流經(jīng)管道傳播的關(guān)系矩陣, 進(jìn)而求解矩陣以獲得負(fù)載上的電壓和電流響應(yīng). 但是, BLT方程是一種頻域方法, 當(dāng)入射波為寬頻帶信號(hào)時(shí), 計(jì)算效率不高. FDTD-SPICE算法是一種時(shí)域方法, 其首先使用傳輸線理論建立傳輸線的SPICE等效電路模型[21], 然后通過(guò)FDTD方法模擬傳輸線的激勵(lì)場(chǎng)并引入 SPICE軟件作為激勵(lì)源, 最后, 采用SPICE軟件仿真得到傳輸線端接負(fù)載上的電壓和電流響應(yīng). 但是, 該算法在推導(dǎo)SPICE等效電路模型時(shí)需要用到大量的理論推導(dǎo), 且算法中負(fù)載瞬態(tài)響應(yīng)與傳輸線激勵(lì)場(chǎng)需分開(kāi)計(jì)算, 因此計(jì)算效率不高. FDTD-TL算法是本文的前期研究成果, 首先使用傳輸線方程構(gòu)建空間電磁場(chǎng)作用傳輸線的電磁耦合模型, 然后通過(guò)FDTD方法模擬傳輸線周?chē)臻g的電磁場(chǎng)分布, 并在FDTD的每個(gè)時(shí)間步上引入到傳輸線方程作為等效分布源項(xiàng), 最后采用FDTD的中心差分格式離散傳輸線方程[22], 迭代求解得到傳輸線和端接負(fù)載上的瞬態(tài)響應(yīng). 相較于其他算法, 該算法實(shí)現(xiàn)了空間電磁場(chǎng)輻射與傳輸線瞬態(tài)響應(yīng)的同步計(jì)算. 然而, 這類(lèi)算法針對(duì)的研究對(duì)象均是理想地和實(shí)際地面上的傳輸線, 而對(duì)于有耗介質(zhì)層上傳輸線的研究還未開(kāi)展, 其原因是現(xiàn)有的傳輸線方程不適用于有耗介質(zhì)層上傳輸線的電磁耦合分析.

因此, 本文首先基于經(jīng)典傳輸線方程, 推導(dǎo)了適用于有耗介質(zhì)層上傳輸線電磁耦合分析的修正傳輸線方程. 然后, 結(jié)合FDTD-TL算法和插值技術(shù), 提出了一種高效的時(shí)域混合算法, 實(shí)現(xiàn)有耗介質(zhì)層上多導(dǎo)體傳輸線瞬態(tài)響應(yīng)的快速計(jì)算. 最后,通過(guò)相應(yīng)計(jì)算實(shí)例的數(shù)值模擬, 驗(yàn)證了時(shí)域混合算法的正確性和高效性.

2 時(shí)域混合算法理論

2.1 有耗介質(zhì)層上傳輸線電磁耦合分析的修正傳輸線方程推導(dǎo)

時(shí)域混合算法的核心是建立適用于有耗介質(zhì)層上傳輸線電磁耦合分析的傳輸線方程. 經(jīng)典的傳輸線方程包含兩個(gè)方程, 稱(chēng)之為第一和第二電報(bào)方程, 其均由Maxwell方程組推導(dǎo)得到. 下面以經(jīng)典傳輸線方程為原型, 詳細(xì)介紹修正傳輸線方程的推導(dǎo)過(guò)程.

建立第一電報(bào)方程時(shí), 需在傳輸線與接地面零電勢(shì)位置之間選取合適的閉合回路. 當(dāng)接地面為金屬地時(shí), 零電勢(shì)位于金屬地表面. 接地面為實(shí)際地面時(shí), 零電勢(shì)為無(wú)窮遠(yuǎn)處. 適用于金屬地和實(shí)際地面上傳輸線電磁耦合分析的傳輸線方程及其推導(dǎo)過(guò)程, 已在文獻(xiàn) [23]中給出. 然而, 有耗介質(zhì)層是具有一定介電常數(shù)和電導(dǎo)率的有限厚度的損耗介質(zhì), 已有的傳輸線方程無(wú)法滿(mǎn)足電磁波作用有耗介質(zhì)層上傳輸線的電磁耦合建模需求.

圖 1 閉合回路和閉合曲面的選取Fig. 1. Selections of closed loop and surface.

當(dāng)空間電磁場(chǎng)進(jìn)入有耗介質(zhì)層之后, 隨著深度的增加而不斷衰減, 因此可以將有耗介質(zhì)層下表面近似看成零電勢(shì)位置. 按照?qǐng)D1中的閉合回路, 應(yīng)用電磁感應(yīng)定律并按照積分形式展開(kāi)得到:

其中,d和h分別表示有耗介質(zhì)層的厚度與傳輸線架設(shè)的高度;,和均為總場(chǎng). 考慮到傳輸線為良導(dǎo)體, 導(dǎo)體表面切向電場(chǎng)為零, 而且電磁場(chǎng)到達(dá)有耗介質(zhì)層下表面時(shí)衰減到近似為零, 即此時(shí), 將 (1)式對(duì)y求導(dǎo), 可得

y處傳輸線與有耗介質(zhì)層下表面之間的電壓可表示為

基于此, (4)式可以表示為

其中,

建立第二電報(bào)方程時(shí), 需要在傳輸線上選取合適的閉合曲面, 如圖1所示. 根據(jù)安培環(huán)路定律方程兩邊同時(shí)進(jìn)行閉合面積分,并應(yīng)用奧氏公式和旋度的散度恒等于零的結(jié)論可得

其中,E為總電場(chǎng),H為總磁場(chǎng),J為傳輸線上的電流密度. 將電場(chǎng)E分解為入射電場(chǎng)Einc和散射電場(chǎng)Esca的疊加, 可得

將(10)式代入(9)式, 并將兩邊對(duì)y求導(dǎo), 可得

(11)式即為修正以后的第二電報(bào)方程.

將(5)和(11)式由頻域轉(zhuǎn)換為時(shí)域, 即可獲得適用于有耗介質(zhì)層上傳輸線電磁耦合分析的時(shí)域傳輸線方程. 該方程可擴(kuò)展到多導(dǎo)體傳輸線的情況, 表示為

修正傳輸線方程的方程結(jié)構(gòu)形式與經(jīng)典傳輸線方程[18]保持一致, 兩者最大的區(qū)別在于等效分布源項(xiàng)的計(jì)算. 修正傳輸線方程的項(xiàng)表示有耗介質(zhì)層下表面與傳輸線位置之間的垂直入射電場(chǎng)分量的沿線積分,為傳輸線位置的切向入射電場(chǎng)分量與有耗介質(zhì)層下表面的切向電場(chǎng)分量之差. 換言之, 修正傳輸線方程考慮了有耗介質(zhì)層內(nèi)部的電場(chǎng)對(duì)傳輸線電磁耦合的影響.

2.2 有耗介質(zhì)層上多導(dǎo)線電磁耦合的FDTD求解

修正傳輸線方程建立了空間電磁場(chǎng)與有耗介質(zhì)層上多導(dǎo)線之間的電磁耦合關(guān)系, 通過(guò)求解傳輸線方程, 即可獲得多導(dǎo)線上的瞬態(tài)響應(yīng). 需要說(shuō)明的是, 傳輸線方程中的傳輸線單位長(zhǎng)度分布參數(shù)和等效分布源項(xiàng)均為未知量, 其計(jì)算精度決定了傳輸線方程的建模準(zhǔn)確度. 因此, 在求解傳輸線方程之前, 需要準(zhǔn)確計(jì)算有耗介質(zhì)層上多導(dǎo)體傳輸線的單位長(zhǎng)度分布參數(shù)和等效分布源項(xiàng).

2.2.1 多導(dǎo)線單位長(zhǎng)度分布參數(shù)的計(jì)算

多導(dǎo)線單位長(zhǎng)度電感參數(shù)矩陣L可由經(jīng)驗(yàn)公式和計(jì)算得到, 其中i和j分別表示第i根和j根傳輸線,和分別表示第i根傳輸線的自電感以及與第j根傳輸線的互電感;,和分別表示第i根和第j根傳輸線的高度以及兩根傳輸線之間的距離, 如圖2所示. 電容參數(shù)矩陣C由公式計(jì)算得到.

圖2 多導(dǎo)體傳輸線的橫截面幾何結(jié)構(gòu)Fig. 2. Cross section geometry of multi-conductor transmission lines.

2.2.2 多導(dǎo)體傳輸線等效分布源項(xiàng)的計(jì)算

多導(dǎo)體傳輸線等效分布源項(xiàng)由傳輸線周?chē)目臻g電磁場(chǎng)獲得, 而空間電磁場(chǎng)由FDTD方法計(jì)算得到[24,25]. 由 (16)和 (17)式可以發(fā)現(xiàn), 等效分布源項(xiàng)只與入射電場(chǎng)有關(guān), 而與多導(dǎo)線的散射電場(chǎng)無(wú)關(guān), 這是因?yàn)? 一方面, 導(dǎo)線的橫截面較小, 散射場(chǎng)較弱; 另一方面, 根據(jù)鏡像原理, 有耗介質(zhì)層對(duì)入射波的反射會(huì)抵消導(dǎo)線的部分散射場(chǎng). 因此, 采用FDTD方法模擬多導(dǎo)線周?chē)臻g電磁場(chǎng)時(shí), 只需對(duì)有耗介質(zhì)層進(jìn)行網(wǎng)格剖分, 而無(wú)需對(duì)多導(dǎo)線直接建模. 但是, 多導(dǎo)線的高度和間距可為任意值,即多導(dǎo)線未必落在FDTD網(wǎng)格的棱邊上. 因此, 多導(dǎo)線等效分布源項(xiàng)所需的電場(chǎng)分量需要采用插值技術(shù)由相鄰棱邊上的FDTD電場(chǎng)分量計(jì)算得到,如圖3所示.

圖3 多導(dǎo)線沿線和垂直電場(chǎng)分量的插值示意圖Fig. 3. Interpolation schemes of the electric fields along and perpendicular to the multi-conductor transmission lines.

將計(jì)算得到的傳輸線激勵(lì)場(chǎng)在FDTD的每個(gè)時(shí)間步進(jìn)上引入到傳輸線方程作為等效分布源項(xiàng).建立好傳輸線方程之后, 采用FDTD方法的中心差分格式進(jìn)行離散, 獲得傳輸線電壓和電流的FDTD迭代求解公式, 從而求解得到多導(dǎo)線及其端接負(fù)載上的電壓和電流響應(yīng). 具體的迭代求解公式可由文獻(xiàn)[15]獲得.

對(duì)于多導(dǎo)線端接負(fù)載上的電壓V0和VN不滿(mǎn)足中心差分格式, 需分別采用前向差分和后向差分進(jìn)行離散. 假定多導(dǎo)線按照FDTD網(wǎng)格劃分成N段, 如圖4所示, 負(fù)載上的電壓迭代公式表示為

圖4 傳輸線的 FDTD網(wǎng)格劃分Fig. 4. FDTD grid division of transmission lines.

3 數(shù)值仿真與分析

采用時(shí)域混合算法對(duì)有耗介質(zhì)層上單導(dǎo)體傳輸線和多導(dǎo)體傳輸線的電磁耦合進(jìn)行數(shù)值模擬, 并與商業(yè)電磁仿真軟件CST的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,來(lái)驗(yàn)證算法的正確性和高效性.

算例1有耗介質(zhì)層上單導(dǎo)線的電磁耦合模型如圖 5所示, 有耗介質(zhì)層大小為 0.2 m × 0.4 m,厚度為 0.01 m, 相對(duì)介電常數(shù)為 10, 電導(dǎo)率為20 S/m. 單導(dǎo)線長(zhǎng)度為 20 cm, 高度為 1.9 cm, 端接負(fù)載分別為50和100 W. 入射波為高斯脈沖垂直照射單導(dǎo)線, 幅度為 1000 V/m, 脈寬為 2 ns. 為了保證計(jì)算精度, 時(shí)域混合算法選用的網(wǎng)格大小為 5 mm. 在計(jì)算空間電磁場(chǎng)分布時(shí), 選用各向異性介質(zhì)完全匹配層(UPML)截?cái)噙吔? 入射波距離多導(dǎo)線的高度為4個(gè)空間網(wǎng)格大小. 圖6給出了時(shí)域混合算法與CST微波工作室計(jì)算得到的負(fù)載R2上的電壓響應(yīng)對(duì)比曲線. 可以看出, 兩種方法的計(jì)算結(jié)果振蕩周期保持一致, 且幅值吻合度非常高. 表1列出了兩種算法計(jì)算所需內(nèi)存和時(shí)間的對(duì)比, 可以看出, 時(shí)域混合算法相較于 CST, 節(jié)省了47%左右的計(jì)算時(shí)間, 是因?yàn)闀r(shí)域混合算法無(wú)需對(duì)單導(dǎo)線直接建模. 這里需要說(shuō)明的是, CST軟件雖然提供線纜工作室模擬傳輸線的電磁耦合, 但是只適用于接地面為金屬體的情況.

圖5 有耗介質(zhì)層上單導(dǎo)線的電磁耦合模型Fig. 5. Coupling model of single transmission line on the lossy dielectric layer.

圖6 負(fù)載 R2 上的電壓響應(yīng)Fig. 6. Voltages on the load R2 computed by the two methods.

表 1 兩種方法計(jì)算算例1時(shí)所需內(nèi)存和時(shí)間對(duì)比Table 1. Memories and computation time needed by the two methods for the first example.

算例2有耗介質(zhì)層上多導(dǎo)體傳輸線的電磁耦合模型見(jiàn)圖7, 有耗介質(zhì)層的大小為0.4 m ×0.7 m, 厚度為 0.01 m, 相對(duì)介電常數(shù)為 10, 電導(dǎo)率為50 S/m. 5根導(dǎo)線平行放置在有耗介質(zhì)層上,長(zhǎng)度為 0.5 m, 高度為 1.1 cm, 間距為 4 mm, 半徑為 1 mm. 始端負(fù)載R1—R5均為 50 W, 終端負(fù)載R6—R10均為100 W. 入射波類(lèi)型和算法選用的網(wǎng)格大小與算例1的相同.

圖7 有耗介質(zhì)層上多導(dǎo)體傳輸線的電磁耦合模型Fig. 7. Coupling model of multi-conductor transmission lines on the lossy dielectric layer.

圖8 入射波垂直照射下的多導(dǎo)線端接負(fù)載的電壓響應(yīng)(a)負(fù)載R1上的電壓; (b)負(fù)載R7上的電壓Fig. 8. Voltages on the terminal loads of multi-conductor transmission lines under the condition of ambient wave perpendicular to the multi-conductor transmission lines:(a) Voltages on R1; (b) voltages on R7.

首先, 入射波角度設(shè)置為q= 180°,f= 90°和a= 180°, 即垂直照射多導(dǎo)線. 采用時(shí)域混合算法與電磁仿真軟件CST計(jì)算得到負(fù)載R1和R7上的電壓響應(yīng)對(duì)比曲線, 如圖8所示. 可以看出, 兩種算法的計(jì)算結(jié)果基本保持一致.

然后, 考慮入射波斜照射的情況, 將入射角度設(shè)置為q= 135°,f= 45°和a= 180°, 同樣采用兩種方法計(jì)算得到負(fù)載R1和R7上的電壓響應(yīng)對(duì)比曲線, 如圖9所示. 可以看出, 在入射波斜照射的情況下, 兩種算法的計(jì)算結(jié)果仍能保證很好的吻合度. 另外, 表2列出了兩種算法計(jì)算所需內(nèi)存和時(shí)間的對(duì)比. 相較于算例1, 時(shí)域混合算法比CST節(jié)省了更多的計(jì)算時(shí)間, 是因?yàn)閷?dǎo)線數(shù)量增加, 導(dǎo)致CST剖分所需網(wǎng)格量增多.

圖9 入射波斜照射下的多導(dǎo)線端接負(fù)載的電壓響應(yīng)(a)負(fù)載R1上的電壓; (b)負(fù)載R7上的電壓Fig. 9. Voltages on the terminal loads of multi-conductor transmission lines under the condition of ambient wave oblique to the multi-conductor transmission lines: (a) Voltages on R1; (b) voltages on R7.

表2 兩種方法計(jì)算算例2時(shí)所需內(nèi)存和時(shí)間對(duì)比Table 2. Memories and computation time needed by the two methods for the second example.

4 結(jié)論

經(jīng)典傳輸線方程不適用于電磁波作用有耗介質(zhì)層上傳輸線的電磁耦合問(wèn)題. 因此, 基于經(jīng)典傳輸線方程, 推導(dǎo)了適用于有耗介質(zhì)層上多導(dǎo)體傳輸線電磁耦合分析的修正傳輸線方程. 然后, 結(jié)合前期研究的FDTD-TL算法和相應(yīng)的插值技術(shù), 提出了一種高效的時(shí)域混合算法, 實(shí)現(xiàn)修正傳輸線方程的快速求解, 獲得多導(dǎo)體傳輸線及其端接負(fù)載上的瞬態(tài)響應(yīng). 該時(shí)域混合算法避免了對(duì)多導(dǎo)線精細(xì)結(jié)構(gòu)的直接建模, 并實(shí)現(xiàn)了空間電磁場(chǎng)輻射與多導(dǎo)線瞬態(tài)響應(yīng)的同步計(jì)算. 通過(guò)相應(yīng)計(jì)算實(shí)例的數(shù)值模擬, 驗(yàn)證了時(shí)域混合算法能夠與CST微波工作室的全波仿真保持相同的計(jì)算精度. 當(dāng)使用相同網(wǎng)格大小時(shí), CST軟件所需內(nèi)存和計(jì)算時(shí)間較時(shí)域混合算法有優(yōu)勢(shì), 但由于在時(shí)域混合算法中精細(xì)的傳輸線結(jié)構(gòu)無(wú)需剖分網(wǎng)格, 因此, 在獲得相同精度的條件下, 時(shí)域混合算法相較于CST軟件具有顯著的優(yōu)勢(shì).