虛擬波場(chǎng)變換方法在電磁法中的進(jìn)展

林 超， 嚴(yán)家斌

(1.中南大學(xué) 地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，長(zhǎng)沙 410083;2.有色金屬成礦預(yù)測(cè)與地質(zhì)環(huán)境監(jiān)測(cè)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙 410083)

0 引言

電磁法勘探是基于分析電磁波在大地介質(zhì)中的傳播特性，達(dá)到研究地下地質(zhì)體的賦存或構(gòu)造特性的目的。通過(guò)使用天然或人工場(chǎng)源在大地中激發(fā)的交變電磁場(chǎng)，研究電磁場(chǎng)的時(shí)間和空間分布，分析觀測(cè)到的電磁響應(yīng)信號(hào)，來(lái)獲得地下目標(biāo)體電性分布的一種勘探方法[1]。在工程勘查[2-3]、資源勘探[4-5]、地下水探測(cè)[6-7]、地質(zhì)填圖[8-9]和礦井災(zāi)害預(yù)測(cè)[10-11]等方面都有廣泛地應(yīng)用。電磁法方法的研究與應(yīng)用是基于麥克斯韋方程組，為了避免電磁場(chǎng)特性的復(fù)雜分析以及降低各種干擾，提高電磁法方法的實(shí)用性，大部分電磁法方法都是采用準(zhǔn)靜態(tài)近似的麥克斯韋方程組(如瞬變電磁法、海洋可控源電磁法等)，但擴(kuò)散場(chǎng)方程是不利于成像的，為了滿足高分辨率和精細(xì)成像以及快速解決復(fù)雜問(wèn)題的要求，必須尋找新的數(shù)據(jù)處理方法，由此開(kāi)展了虛擬波場(chǎng)變換研究。

虛擬波場(chǎng)變換方法是指通過(guò)數(shù)學(xué)上的積分變換，將麥克斯韋擴(kuò)散方程轉(zhuǎn)換為與電磁波類似的虛擬波動(dòng)方程，在虛擬波場(chǎng)中進(jìn)行計(jì)算和分析，該方法的初始研究是借鑒波動(dòng)方程的性質(zhì)，通過(guò)虛擬波場(chǎng)變換將地震中一些成熟的方法引入到電磁法的數(shù)據(jù)解釋中，提高電磁法數(shù)據(jù)解釋的分辨率，后來(lái)研究發(fā)現(xiàn)它在提高數(shù)值模擬的計(jì)算效率以及其他方面也可發(fā)揮重要作用。

電磁法虛擬波場(chǎng)變換的方法研究開(kāi)始于上世紀(jì)70年代。Kunetz[12]首先發(fā)現(xiàn)了擴(kuò)散的電磁場(chǎng)和波動(dòng)方程之間存在著聯(lián)系；Lavrent'ev[13]用數(shù)學(xué)方法證明并提出了擴(kuò)散方程和波動(dòng)方程之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系；Lee等[14]通過(guò)在準(zhǔn)靜態(tài)擴(kuò)散的麥克斯韋方程組中引入“q函數(shù)”實(shí)現(xiàn)了擴(kuò)散電磁場(chǎng)到虛擬波場(chǎng)的轉(zhuǎn)換,將虛擬波場(chǎng)變換方法運(yùn)用到電磁法中；de Hoop[15]通過(guò)借助格林函數(shù)，在麥克斯韋方程組中應(yīng)用拉普拉斯變換，推導(dǎo)出了擴(kuò)散電磁場(chǎng)和虛擬波場(chǎng)的變換關(guān)系；Maa?[16]將最初的麥克斯韋方程通過(guò)數(shù)學(xué)變換，轉(zhuǎn)換到較低頻率依賴性的復(fù)頻率域中，提出一種基于復(fù)頻率域的虛擬波場(chǎng)方法；Mitte[17]在對(duì)麥克斯韋方程組進(jìn)行變換時(shí)利用傅里葉變換，使得虛擬波場(chǎng)的變換過(guò)程更簡(jiǎn)單。伴隨著虛擬波場(chǎng)變換理論方法的逐漸完善，虛擬波場(chǎng)的應(yīng)用也越來(lái)越受到重視。為了充分認(rèn)識(shí)波場(chǎng)變換技術(shù)和它的應(yīng)用價(jià)值，這里對(duì)虛擬波場(chǎng)變換的方法原理以及應(yīng)用做了簡(jiǎn)要的分析與綜述。

1 虛擬波場(chǎng)變換理論

虛擬波場(chǎng)變換方法一般用在低頻電磁法中，從麥克斯韋基本的擴(kuò)散方程出發(fā)，對(duì)于準(zhǔn)靜態(tài)情況下的時(shí)域擴(kuò)散場(chǎng)，麥克斯韋方程組可以表示為：

▽×H(r,t)-σ(r)E(r,t)=-J(r,t)

(1)

▽×E(r,t)+μ?tH(r,t)=-K(r,t)

(2)

式中：H(r,t)表示時(shí)間域磁場(chǎng)分量；E(r,t)表示時(shí)間域電場(chǎng)分量；J(r,t)表示外加電性源；K(r,t)表示外加磁性源；r表示空間變量；σ(r)表示電導(dǎo)率；μ表示磁導(dǎo)率。式(1)和式(2)經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)物理變換最終可變?yōu)槿缦滦问剑?/p>

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：FE(r,g)為虛擬波場(chǎng)中的電場(chǎng)；FH(r,g)為虛擬波場(chǎng)中的磁場(chǎng)；SE(r,g)和SH(r,g)分別為虛擬波場(chǎng)中電場(chǎng)和磁場(chǎng)的源時(shí)間函數(shù)；c為虛擬波波速，與電導(dǎo)率、磁導(dǎo)率有關(guān)；g為虛擬波場(chǎng)中的時(shí)間變量與擴(kuò)散場(chǎng)的時(shí)間對(duì)應(yīng)；r為虛擬波場(chǎng)中的空間變量和擴(kuò)散場(chǎng)中的一致。需要注意的是，從擴(kuò)散場(chǎng)到虛擬波場(chǎng)的變換方法并不是唯一的，主要體現(xiàn)在引入的函數(shù)上，式(1)～式(6)是麥克斯韋擴(kuò)散方程到虛擬波動(dòng)方程的變換形式，通過(guò)積分變換可得虛擬波場(chǎng)恢復(fù)到時(shí)域擴(kuò)散場(chǎng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，其對(duì)應(yīng)關(guān)系由如下方程表示：

(7)

(8)

(9)

(10)

2 虛擬波場(chǎng)變換的方法

虛擬波場(chǎng)變換中引入不同的函數(shù)就會(huì)有不同的變換形式以及波和擴(kuò)散場(chǎng)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。目前，已知的波場(chǎng)變換方法有三種：Lee[14]提出的“q域法”方法、Maa?[16]提出的基于復(fù)頻率的方法及Mittet[17]提出的方法。

2.1 q域法

q域法是通過(guò)在時(shí)域擴(kuò)散的麥克斯韋方程組中引入定義的“q函數(shù)”，實(shí)現(xiàn)了虛擬波場(chǎng)的變換，然后通過(guò)積分變換得到波場(chǎng)到擴(kuò)散場(chǎng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，大致過(guò)程如下：

定義“q函數(shù)”：

(11)

式中：ω0為比例伸縮系數(shù)；t′為虛擬波場(chǎng)的時(shí)間。將“q函數(shù)”引入到時(shí)域的擴(kuò)散麥克斯韋方程組(1)、方程組(2)中，即用q替代方程中的時(shí)間t，得到一組虛擬波場(chǎng)方程：

(12)

(13)

虛擬波場(chǎng)與擴(kuò)散場(chǎng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系為:

(14)

H″(r,q)=H′(r,q)

(15)

J″(r,q)=J′(r,q)

(16)

(17)

將式(14)～式(17)代入到式(12)～式(13)之中可得重構(gòu)的虛擬波動(dòng)方程：

-▽×H″(r,q)+σ(r)?qE″(r,q)=-J″(r,q)

(18)

▽×E″(r,q)+μ?qH″(r,q)=-K″(r,q)

(19)

最后通過(guò)積分變換可從虛擬波場(chǎng)恢復(fù)到擴(kuò)散場(chǎng)：

(20)

(21)

(22)

2.2 基于復(fù)頻率的方法

復(fù)頻率域方法是通過(guò)在頻率域的麥克斯韋擴(kuò)散方程組中引入定義的復(fù)頻率函數(shù)實(shí)現(xiàn)虛擬波場(chǎng)的變換，再通過(guò)積分變換從虛擬波場(chǎng)恢復(fù)到擴(kuò)散場(chǎng)，其過(guò)程如下：

復(fù)頻率函數(shù)定義為：

iω=iω′(1-iω′a)

(23)

式中：a為常數(shù)，它的取值影響著時(shí)間步長(zhǎng)的大小，一般根據(jù)實(shí)際情況選取合適的值，但不能取小于零的數(shù)；ω′為虛擬的角頻率；ω為擴(kuò)散場(chǎng)的角頻率。將復(fù)頻率函數(shù)iω帶入到頻率域麥克斯韋擴(kuò)散方程組中，其他量保持不變:

-▽×H(r,ω)+σ(r)E(r,ω)=-J(r,ω)

(24)

▽×E(r,ω)-iω′(1-iω′a)H(r,ω)=

-K(r,ω)

(25)

在虛、實(shí)波場(chǎng)中對(duì)應(yīng)關(guān)系為：

E′(r,ω′)=E(r,ω)

(26)

H′(r,ω′)=(1-iω′a)H(r,ω)

(27)

J′(r,ω′)=(1-iω′a)J(r,ω)

(28)

K′(r,ω′)=K(r,ω)

(29)

利用對(duì)應(yīng)關(guān)系可得重構(gòu)的虛擬波動(dòng)方程:

-▽×H′(r,ω′)+(1-iω′a)σ(r)E′(r,ω)

=-J′(r,ω′)

(30)

▽×E′(r,ω′)-iω′μH′(r,ω) =

-K′(r,ω′)

(31)

通過(guò)積分變換得到虛擬波場(chǎng)恢復(fù)到擴(kuò)散場(chǎng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系為：

(32)

(33)

(34)

2.3 Mittet方法

通過(guò)定義一個(gè)虛擬的介電常數(shù)，將虛擬介電常數(shù)代入到頻率域擴(kuò)散麥克斯韋方程組中，然后直接在方程中乘以一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，最后通過(guò)定義一個(gè)虛擬的角頻率以及對(duì)應(yīng)關(guān)系實(shí)現(xiàn)虛擬波場(chǎng)的變換，該方法從虛擬波場(chǎng)恢復(fù)到擴(kuò)散場(chǎng)需要利用格林函數(shù)，其過(guò)程如下：

定義一個(gè)虛擬的介電常數(shù)：

(35)

式中：ω0為比例伸縮系數(shù)，它的取值也影響時(shí)間步長(zhǎng)的大小，需要根據(jù)實(shí)際情況選取合適的值，且不能小于零。將虛擬的介電常數(shù)代入到頻率的擴(kuò)散麥克斯韋方程組中可得：

-▽×H(r,ω)+2ω0ε′(r)E(r,ω)=

-J(r,ω)

(36)

▽×E(r,ω)-iωμH(r,ω)=-K(r,ω)

(37)

(38)

=-K(r,ω)

(39)

定義虛擬波動(dòng)場(chǎng)中的角頻率以及對(duì)應(yīng)關(guān)系：

(40)

E′(r,ω′)=E(r,ω)

(41)

(42)

(43)

K′(r,ω′)=K(r,ω)

(44)

式中：ω′為虛擬波場(chǎng)的角頻率，將式(40)～式(44)代入到式(38)或式(39)之中可得頻率域的虛擬波動(dòng)方程，經(jīng)過(guò)傅里葉變換可得時(shí)域的虛擬波動(dòng)方程：

-▽×H′(r,t′)+ε′(r)?t′E′(r,t′)=

-J′(r,t′)

(45)

▽×E′(r,t′)+?t′H′(r,t′)=-K′(r,t′)

(46)

從時(shí)域波場(chǎng)恢復(fù)到時(shí)域擴(kuò)散場(chǎng)的過(guò)程如下:

首先，根據(jù)類傅里葉變換積分將虛擬波場(chǎng)中的時(shí)域電磁場(chǎng)響應(yīng)變換到虛擬波場(chǎng)中的頻率域電磁場(chǎng)響應(yīng)：

(47)

(48)

(49)

其次,構(gòu)造格林函數(shù)：

(50)

(51)

最后，通過(guò)對(duì)所得格林函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換可得到真實(shí)擴(kuò)散場(chǎng)的時(shí)域電磁響應(yīng):

(52)

(53)

3 虛擬波場(chǎng)的應(yīng)用

虛擬波場(chǎng)方法可以有效地提高數(shù)值模擬的計(jì)算效率，目前主要針對(duì)三維的數(shù)值模擬和擬地震反演成像等數(shù)據(jù)處理與解釋方面。

3.1 在提高數(shù)值模擬計(jì)算效率方面的應(yīng)用

虛擬波場(chǎng)變換方法能提高數(shù)值模擬的計(jì)算效率主要是基于它滿足的波動(dòng)方程(式(5)～式(6))的性質(zhì)，在擴(kuò)散電磁場(chǎng)中，由于電磁波在地下介質(zhì)中的傳播的速度很大，利用有限差分進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)，需要很小的時(shí)間步長(zhǎng)才能滿足穩(wěn)定性條件。在虛擬波場(chǎng)中滿足的方程是波動(dòng)方程，虛擬波的波速不再是現(xiàn)實(shí)中電磁波波速，可以選擇較小的虛擬波波速來(lái)獲得較大的時(shí)間步長(zhǎng)且滿足它的穩(wěn)定性條件，這使得在虛擬波場(chǎng)中有限差分法的計(jì)算效率很高，最后再恢復(fù)到擴(kuò)散場(chǎng)。積分方程和有限元等數(shù)值模擬方法也可以求解，只是顯示有限差分法具有占用內(nèi)存小，建模簡(jiǎn)單等優(yōu)勢(shì)，所以在該方法中比較適用。

Maa?[16]提出了一種基于復(fù)頻率的波場(chǎng)變換方法之后，在虛擬波場(chǎng)中利用有限差分方法求解的巨大時(shí)間效益才體現(xiàn)出來(lái)。St?ren 等[18]在利用局部梯度優(yōu)化方法對(duì)海洋可控源數(shù)據(jù)進(jìn)行三維反演時(shí)，在三維正演建模過(guò)程中采用Maa?[16]提出的虛擬波場(chǎng)變換方法，加快了失配梯度的計(jì)算速度。Mittet[17]提出了一種相對(duì)更簡(jiǎn)單的虛擬波場(chǎng)變換方法，其主要是在Maa?提出的基于復(fù)頻率的波場(chǎng)變換方法上進(jìn)行改進(jìn)，并采用傅里葉變換去代替Lee等[14]的拉普拉斯變換。Mittet[22]將該方法引入到海洋大地三維數(shù)據(jù)反演的正演建模之中，同時(shí)，在正演計(jì)算過(guò)程中提出了一種非均勻網(wǎng)格垂直節(jié)點(diǎn)間距設(shè)計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)以及采用了卷積完全匹配層進(jìn)行邊界條件的處理，減少了計(jì)算區(qū)域的尺寸，提高了計(jì)算效率。Imamura等[19-20]在對(duì)海洋可控源電磁法三維全波形反演研究時(shí)，在正演建模時(shí)采用了Mittet[17]提出的虛擬波場(chǎng)變換方法，提高了正演的計(jì)算效率。Liu等[21]將Mittet[17]提出的虛擬波場(chǎng)變換方法用于瞬變電磁實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的二維正演，取得了良好效果。Hu等[23]將該方法引用到三維瞬變電磁的數(shù)值模擬，在正演計(jì)算中利用卷積完全匹配層處理邊界條件，并且在計(jì)算時(shí)將空氣層作為有限高阻引入到計(jì)算區(qū)域內(nèi)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)帶地形模型的模擬，最后將所得結(jié)果和SLDMA方法的對(duì)比，兩者具有良好的一致性，證明了該方法的有效性和計(jì)算的高效性。

3.2 虛擬波場(chǎng)擬地震反演成像的應(yīng)用

虛擬波場(chǎng)擬地震反演成像主要是利用虛擬波場(chǎng)中與電磁波波傳播的有關(guān)特性，它的實(shí)質(zhì)是通過(guò)數(shù)學(xué)上的積分變換提取電磁波中與波傳播有關(guān)的信息，使得虛擬波場(chǎng)類似于地震子波具有諸如反射、折射、衍射和透射等特征。虛擬波場(chǎng)擬地震成像可簡(jiǎn)單的概述為：根據(jù)擴(kuò)散場(chǎng)和虛擬波場(chǎng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，利用奇異值分解等優(yōu)化算法將擴(kuò)散電磁場(chǎng)信號(hào)轉(zhuǎn)換成虛擬波信號(hào)，然后借助于偏移成像、層析成像等地震方法以及一些其他的方法來(lái)對(duì)獲得的虛擬波信號(hào)進(jìn)行成像等數(shù)據(jù)處理。

虛擬波場(chǎng)擬地震成像的應(yīng)用最早開(kāi)始于20世紀(jì)90年代，Lee等[24]提出利用奇異值分解來(lái)進(jìn)行波場(chǎng)逆變換，從獲得的穩(wěn)定波形中估計(jì)源到接收器的旅行時(shí)間，再用獲得的旅行時(shí)間進(jìn)行層析成像來(lái)反映地下電阻率結(jié)構(gòu)，并通過(guò)費(fèi)馬原理的兩點(diǎn)光線追蹤算法來(lái)進(jìn)行高效迭代。Lee等[25-26]提出一種直接從頻率擴(kuò)散場(chǎng)垂直磁場(chǎng)中提取旅行時(shí)間的方法，在虛擬波場(chǎng)中利用提取的旅行時(shí)間進(jìn)行非線性層析成像，成功地估算了合成電磁數(shù)據(jù)的電阻率，并在實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)中應(yīng)用，證明了該方法的有效性。Kusuda等[27]在研究如何提高海洋可控源電磁法對(duì)甲烷水合物檢測(cè)時(shí)，利用奇異值分解的方法，將海洋可控源數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成虛擬波場(chǎng)數(shù)據(jù)，分離出甲烷水合物異常區(qū)的波形。利用分離出的波形進(jìn)行成像分析，提高了海洋可控源電磁法對(duì)甲烷水合物的分辨率。Amani等[28]提出利用地震中的逆時(shí)偏移成像和克希霍夫偏移成像的方法對(duì)虛擬波場(chǎng)變換得到的穩(wěn)定波形成像，并將這兩種方法用于海洋可控源電磁法數(shù)據(jù)的二維反演成像，通過(guò)綜合比較得出逆時(shí)偏移成像的精度較高。

國(guó)內(nèi)的瞬變電磁擬地震成像開(kāi)始于20世紀(jì)90年代，研究方向可分為：波場(chǎng)優(yōu)化算法、反褶積壓縮子波寬度、三維曲面延拓成像、合成孔徑成像。波場(chǎng)優(yōu)化算法主要是用于在波場(chǎng)逆變換中，減少不適定問(wèn)題帶來(lái)的高度欠定的影響，從而使波場(chǎng)逆變換獲得的波形穩(wěn)定，在這方面的研究可參考文獻(xiàn)[29-32]；反褶積壓縮子波寬度是削弱波場(chǎng)逆變換中核函數(shù)隨時(shí)間的增加分布范圍增大帶來(lái)的波形較寬的問(wèn)題，其實(shí)是對(duì)波場(chǎng)逆變換中獲得的波形進(jìn)行濾波處理，在這方面的研究可參考文獻(xiàn)[33-34]；三維曲面延拓是為了消除地形起伏帶來(lái)的曲面以及測(cè)線不規(guī)則對(duì)反演成像帶來(lái)的影響，提高反演成像的分辨率。在這方面的研究可參考文獻(xiàn)[35-37]；合成孔徑處理是借鑒合成孔徑雷達(dá)成像的方法，即通過(guò)利用機(jī)載真實(shí)孔徑發(fā)射線圈與目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，把尺寸較小的真實(shí)天線孔徑用數(shù)據(jù)處理的方法合成一較大孔徑的發(fā)射線圈，提高它的分辨能力和穿透力，由于雷達(dá)滿足的偏微分方程和虛擬波場(chǎng)滿足的偏微分方程都是波動(dòng)方程，所以該方法可用于虛擬波場(chǎng)逆變換反演成像中，在這方面的研究可參考文獻(xiàn)[38-40]。

3.3 其他方面的應(yīng)用

在利用有限差分求解方程時(shí)，對(duì)函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的離散一般用含算子系數(shù)的中心差分近似來(lái)表示， Pasalic等[41]研究發(fā)現(xiàn)，可以通過(guò)對(duì)算子系數(shù)進(jìn)行最優(yōu)化然后取高階的差分算子來(lái)減少離散網(wǎng)格的尺寸，并將該方法應(yīng)用到虛擬波動(dòng)方程的離散中，進(jìn)一步提高了虛擬波場(chǎng)-有限差分法的計(jì)算效率。Imamura等[42]在虛擬波動(dòng)方程離散上采用了粒子法，并提出了交錯(cuò)粒子法和非交錯(cuò)粒子法，通過(guò)模擬對(duì)比，交錯(cuò)粒子在數(shù)值上比非交錯(cuò)粒子有效率更高，主要是在同等的空間間隔中，交錯(cuò)粒子只需要一半的數(shù)目就能達(dá)到和非交錯(cuò)一樣的精度。Mittet[43]在對(duì)虛擬波域的波場(chǎng)和地震波波場(chǎng)關(guān)系研究過(guò)程中，為了使兩者條件一致，利用聲波來(lái)近似代替地震波，通過(guò)對(duì)虛擬波場(chǎng)中的波形和聲波波形的分析，證明了地震波場(chǎng)和海洋可控源電磁波場(chǎng)之間的相似性，以此來(lái)了解從虛擬波域到擴(kuò)散域的轉(zhuǎn)換效果。

4 虛擬波場(chǎng)存在的問(wèn)題

虛擬波場(chǎng)變換是通過(guò)數(shù)學(xué)上的變換實(shí)現(xiàn)的，從式(7)～式(10)可知，它有兩個(gè)過(guò)程:①波場(chǎng)到擴(kuò)散場(chǎng)的正變換；②擴(kuò)散場(chǎng)到虛擬波場(chǎng)的逆變換。虛擬波場(chǎng)方法的主要應(yīng)用思路基本上都是圍繞這兩個(gè)不同的過(guò)程。但是這兩個(gè)不同的過(guò)程各有不足，在逆變換中，獲得的虛擬波類似于地震子波一樣具有傳播、反射、透射的特征，雖然在理論模型和一些實(shí)際應(yīng)用中驗(yàn)證確實(shí)可行，實(shí)際上它是存在著一些問(wèn)題的，例如：逆變換是第一類Fredholm型算子方程的反問(wèn)題，它本身是非常復(fù)雜的，現(xiàn)在一般的解法都是求線性逼近系統(tǒng)的最小二乘解，但是這種求解方法會(huì)帶來(lái)一定的誤差，該誤差很難估計(jì)；兩種波場(chǎng)的物理背景不同，一個(gè)是客觀存在的波場(chǎng)，一個(gè)是由數(shù)學(xué)變換得到的虛擬波場(chǎng)，將地震方法用于虛擬的波場(chǎng)中是否能反映出地下真實(shí)情況；擴(kuò)散場(chǎng)具有頻散和吸收的特性，十分復(fù)雜，用簡(jiǎn)單的虛擬波場(chǎng)來(lái)代替是否符合實(shí)際情況，以及擴(kuò)散場(chǎng)的波速跟頻率有關(guān)，而虛擬波場(chǎng)中的波速跟頻率無(wú)關(guān)，這種不一致帶來(lái)的影響等。在正變換中，雖然最終恢復(fù)到擴(kuò)散場(chǎng)，但是在恢復(fù)過(guò)程中，積分變換帶來(lái)的誤差也很難估計(jì)，以及可能會(huì)引入高頻成分、噪聲等干擾因素。

5 結(jié)論

筆者詳細(xì)介紹了虛擬波場(chǎng)變換的基本原理和方法，評(píng)價(jià)了它的優(yōu)缺點(diǎn)，并對(duì)其在地球物理中的應(yīng)用做了綜述。虛擬波場(chǎng)在現(xiàn)實(shí)中是不存在的，在應(yīng)用中，從擴(kuò)散場(chǎng)到虛擬波場(chǎng)的變換相當(dāng)于一個(gè)提取電磁波中有用信息的過(guò)程，虛擬波場(chǎng)相當(dāng)于一個(gè)包含必要信息的容器。該方法為基于麥克斯韋擴(kuò)散方程的電磁法方法的數(shù)據(jù)解釋提供了高效的數(shù)值模擬和新的思路，有助于提高數(shù)據(jù)解釋的效率和分辨率，豐富了電磁法數(shù)據(jù)解釋的方法。

致謝：

感謝評(píng)審專家們提出的中肯的有建設(shè)性的修改意見(jiàn)，對(duì)本文的改進(jìn)有很大的幫助。